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1、 2 6 中学 数学 月刊 2 0 0 9年第 9期 变式 3 ： 将 z 和 如分别改为对应 的中线和高 ， 如何求 解 ? 变式 4 ： 将 z 和 分别改为对应 的中线和 角平分线 ， 如何 求鹪? 变式 5 ： 将 z 和 z 分别改为对应 的角平分 线和高 ， 如 何求解 ? 进行变式训 练， 我们要在解 题后从 题 目实 际 出发 ， 深 入挖掘 ， 把原题“ 改 头换 面” ， 变成 为多个 与原题 内容 形式 不 同但解法类 似的题 目， 这样 可 以增 强变 通能力 ， 扩 大视 野 ， 深化知识结构 ， 实现“ 做一 题 ， 解 一类 ” ， 从 而提 高解题 能 力 3
2、指导 学生进行错解反思 。 帮 助学生减 少解题失误 做错 题是 数学 学 习中的一 个常见 现 象 对 于做 错题 的学 生 ， 如果 只知道 做错 了题 ， 而 不知 道错 在哪 里? 为什 么会错? 怎样避 免出错? 势必对 学生 顺利 完成整个 学 习过 程带来干扰 ， 影 响学习能力的提 高 ， 还会导 致学 习信心 的 丧失和学 习兴趣 的降 低 因此 ， 教学 过程 中 ， 教师 要 把学 生的错误 当作 宝贵 的教学 资源 ， 引导 学 生对 错解 进行 反 思 ， 以帮助学生减少解题失误 例 3 求过 点( O ， 1 )的直线 ， 使它 与抛物线 y 。一 2 x 仅有一个
3、交 点 错 解 设所求 的过点 ( O ， 1 ) 的直线为 y= k x+ 1 ， 则 它与 抛物 线 的 交 点 为J 。 十h 消 去 得( 如+1 ) z I Y。 2x 2x = 0 整理得 k 。 z 。 + ( 2 k一2 ) x+ 1= 0 因直线与抛物线仅有一个交点 ， 故 = 0 ， 解得七一 故所求直线为Y一z+1 反思 此处解法共有三处错误 ： 第一 ， 设所求直线为 y一 如 + 1 时 ， 没有考虑斜 率不 存在 的情形 ， 实际上就是承认 了该直 线 的斜率是 存在 的， 这是不严密 的 第 二 ， 题 中要求直线与抛 物线 只有一个 交点 ， 这 包含 相交 和
4、相切 两种情况 。 而上 述解法 没有考 虑相交 的情 况 ， 只考虑 相切 的情 况 原 因 是对 于 直 线与 抛 物线 “ 相 切” 、 “ 相交”和“ 只有一个交 点”的关系理解不透 第三 ， 将 直线方 程 与抛物 线方 程 消元后得 到一 个形 式上的一元 二次方程 ， 要 考虑 它的判 别式 所 以它的二次 项系数不能为零 ， 即 k 0 ， 而上述解 法没作考虑 ， 表现 出 思维不严密 指导学生进行错解反 思 ， 要 教给 学生反思 的方法 ， 让 他们学会反思解题 的思 维过程 ， 反思 题型 的解题 步骤 ， 反 思解题过程 、 解题 方法 等 ， 然 后进行 有针 对性
5、 的纠错 ， 让 错解发挥最大 的育人 功能 4 搞好试卷评讲 。 帮助学生掌握解题 规律 试卷评 讲是 教学 的 重要 环节之 一 试 卷评讲 的 范 围 包括知 识体 系 的评 讲 、 题 型归 类 的评讲 、 解 题 方 法 的评 讲 、 解题规 范 的评 讲等 我们 要通 过试 卷评讲 ， 总结 解题 规律 ， 帮助学生掌握解题 规律 例 4 ( 2 0 0 4 年 江 苏 卷 第1 2 题 ) 设厂 ( ) = 一 ( z R ) ，区间 M 一 n ， 6 ( 口 6 ) 。 集合 N = 1 TI z l Y I Y一 ， ( ) ， X M) ， 则 使 M = N 成立的实数
6、 对( 口 ， 6 ) 有( ) ( A) O个 ( B ) 1个 ( C) 2 个 ( D )无数 多个 评讲 首 先 ，本 题 给 出 了 陌 生 的 函 数 ， ( )一 一 ，其次 ， 实 数 对 ( n ， 6 )的个数 必须 转化 为关 于 1 Tl z I n ， b的方程组 的解 的个数 ， 而根据 M N 建立 a， b 的方程 组 ， 必须研究 函数值在 z M 上 的范 围， 而研究值域需考 察 函数 的奇偶性 、 单调 性 、 图象等 本 题考 查 了函数 与方 程、 等价转化、 数形结合、 分类讨论等数学思想方法和逻 辑推理能力 解 题 的关 键是 通过对 函数在 R
7、上的单调 性 的判断 ， 转化 为 ， ( n ) = b 且，( 6 )= a ， 再通过简单 的计算 推理求得答案为 A 通过试卷 评讲 ， 我们 要侧 重于 帮助学 生掌 握一 系列 规律性的东西 ， 以便 于学 生 牢 固地掌 握 和熟练 地运 用这 些规律 ， 提高解题 能力 点到直线的距离公式 教学思路与反思 王思俭 ( 江苏省 苏州中学2 1 5 0 0 7 ) 1 课 堂 实录 教 学 目标 了解点 到直线距 离 的概 念 ， 掌握点 到 直线 的距离公式 学会探究点到直线 的距离公式 的推导方 法 运用 点到直 线 的距 离公式解 决简单 问题 ， 体 会相 关 的数 学思想
8、方法 教学重点 点到直线的距离公式的推导 教学难点 点到直线的距离公式推导的方法探究 教 学过程 ( 1 ) 复 习引入 前面我们学习了直线的方程、 两直线的位置关系、 求 两相交直线的交点坐标 点与直线( 板书这四个字)位置 关系有两种情况 ： 点在直线上 、 点在直线外 当 P在直线 Z 外时 ， 过 P作 P Q上 f ， 垂足为 Q， P Q的 长 叫做点 P到直线 z 的距离 在直 角坐标 系中 。 如 何求 点 2 0 0 9年第 9期 中学 数学 月 刊 2 7 P( x o ， y o ) 到 直线 z ： A x+B y+C= 0 ( A， B不 同时为零 ) 的距离 呢(
9、图 1 ) ? 这就是我们今天要探究 的课 题 ： 点 到直线 的距 离 ( 改 写课题 ) ( 依旧引新 、 改 写课 题 的做法 营造 了认 知 冲 突 ， 激 起 学生要进一步探索 的 兴趣 ， 这是 数 学课 堂 中最 为 重要 的 动机情感发展 ) ( 2 ) 讲授 新课 先看特例 ： ( 1 ) 点 P ( 一2 ， 2 ) 到直线 z ： = 1的距离 为 ； ( 2 ) 点 P ( 一2 ， 2 ) 到直线 Z ： Y=一 1的距离为 ； 生 ( 众) ： 都是 3 l D 图 1 ( 3 )点 P( 一 2 ，2 )到 直线 Y一 2= 0的距 离 为 _。_。_，一 生 l
10、 ： 求 出直线 P O 的方程 为 Y一一X， 解 出点 Q的坐 标( 1 ， 一1 ) ， 从而 P Q 一3 厄 生 2 ： 不求 Q点 坐标 ， 利用 面积 法求 P Q 作 P M _ l _ 轴 ， P N 上 3 ， 轴 ， 分 别 交 Z于 M， ( 图 2 ) ， 所 以 M ， N 的坐标分别是 M ( 一 2 ， 一 4 ) ， N( 4 ， 2 ) ， P M 一 6 ， P N = 6 故 MN = 6 ， 所 以 P Q = = 一 3 厄 y ， D 图 2 生 3 ： 不求 MN 的长 ， 因为 P Q MN = P M P N， 所 以 击一 丽P M + P
11、 N 2 = 击+ ， 故 击= 1 十 1 = 西1 ， 从 而 P Q = 3 ( 利用“ 由特殊到一般 ”的手 法创设情境 ， 针 对教学 内 容 的特点 ， 结合 学生 的实际 ， 选 择问题 切人 点 ， 运用“ 数学 是常识 的精微化”特征及超 出预期和心理 匹配等策 略 ， 编 制具有“ 吸引力 ”的典 型问题 ， 突现一 定的“ 最近 发展 区” ， 形成学生急于想解 决 问题 ， 而又 暂 时力 不 能及 的 问题情 境 在这一认 知冲突的激发下 ， 进入 积极 的“ 应 战”活动状 态 ) 师 ： 很好 ， 这说明大家 爱动 脑筋 ， 现在 我们 来探 究一 般情况 ： 当
12、 A o ： 一 詈 ， P Q = I Y o + 詈I = I 毋 o + C J I B I 当 B = O时，z ： z =一 万 C ，P Q l X o+ 万 C l = l o +C I l A I ( 这两种特 殊情 况 的结论 ， 教者 应 保 留下来 ， 为 下面 的教学做个铺 垫 ) 下面探 究 AB 0时的情形 ： 生 4 ( 策略 1 ) ： 作 P Q 上 z ， 则 P Q 的直线方 程为 B x A F B x o + 4 2 0= 0 ， z 的方 程为 Az+ + C= 0 B o AByo AC 一 一 ABxo+ A。 0一 BC 一 这就是点 Q的坐标
13、 因此 ， P Q。 = ( x-X o ) 。 + ( y -Y o ) 。 = c 一x o ) 。 +c 堡一 = 案 所 以 P Q = ( 学 生叙 述 教师 板书 ， 将主要 的过 程保 留下 来 这样 做 主要是训练学 生 的数学 语言 表达 能力 ， 同时也 是 兼顾 本节课 的板书设计 ， 做到详略得 当 有 的学生 习惯 于基本 方法 ， 但计 算量 太 大 ， 有不 少学 生半途 而 废 ， 只有个 别学 生能 坚持到底 ， 正确导出结论 因为计算 能力 和意 志品质 也是 教 学 的 基本 要 求 ， 所 以坚 持 下 来 的 学 生 应 给 予 表 扬 ) 师： 利
14、用解 方程 的思 想和 两点 间距离公 式求 解 ， 很 好 ， 有毅力 ， 半 途而废 的同学 应该 向他学 习 请 同 学再交流你们 的想法 生 5 ( 策 略 2 ) ： 我 是 利 用 面 积 法 ， 先作 P N 上 X轴 ， P M 上 轴 ， 分 别交 Z于 N， M 两 点 ( 图 3 ) ，故 M ( 一 B y o+ C ， 。) ， N( 。 ， 一 Axo 。 + C) ，从 而 P M： l D ， 图 3 By _ o 广+ 一 C 一面I A 一 。 寺 刚一 斗 所以 M N = F = I A x 。 + B y 。 + C 卜 ， 中 由面积相 等 可得 P
15、 Q MN = P M P lN， 放 P Q = l 垒 ! 、 再。 生 6 ： 也可以利用瓦 1 = 而1 + 1 ， 得出 1 = 御 = ( 学生很 快想 到利用前面研究 特殊 情形 的方法 ， 同 时 他 们能想到直接 利用 A= 0 或 B= 0的结论 以活动过程 中的体 验为基 础 ， 交 流活 动形式 ， 修剪 、 整理 过程 知 识是 lJ = z ， J l ， L 出 解 、 由 2 8 中学数学月刊 2 0 0 9年第 9期 活动 教学 中不 可缺少 的环 节 数学 学 习不是 一种 简单 的 “ 授予 一 吸收”的过程 ， 而是学 习者 主动 建构新知 识的过 程 ， 教师不应仅扮演“ 知识 的传授者”的角色 ， 而应成为学 生学 习活动的促进者和指导者 ) 师 ： 请 同学们想 一想 ， 还有 其 他的方法吗? ( 学生沉思片刻 ) 生 7 ( 策 略 3 ， 平 几 法) ： 设 直 线 Z 交 X轴于 H，P N 上 X轴 交 z 于 N，交 z轴 于 P ( 图 4 ) ，则 P ( X o o ) ， NC x o ，一 ) ， H( -寻， o ) i
