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1、第四章 态态和力学量的表象 4.1 态的表象 4.2 算符的矩阵表示 4.3 量子力学公式的矩阵表述 4.4 么正变换 4.5 狄拉克符号 4.6 线性谐振子和占据数表象 量子力学1 4. 1 态的表象 到目前为止，体系的状态都用坐标(x,y,z)的函数表示： 1）波函数是坐标的函数 2）力学量则用作用于坐标函数的算符表示。 这种描述方式在量子力学中并不是唯一的，波函数也可以选用其它变量的函 数，力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符。 这正如几何学中选用坐标系不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球坐标 系、柱坐标系等，但它们对空间的描写是完全是等价的。 表象：量子力学中态和力学量的具体表
2、示方式称为表象。 （一）动量表象 ; （二）力学量表象 以前采用的主要是坐标表象，下面我们要介绍其他表象。 量子力学2 在坐标表象中，体系的状态用波函数(x,t)描写，这样一个态如 何用动量为变量的波函数描写在前面几章中已经有所介绍。 动量本征函数： 组组成完备备系，任一 状态态可按其展开 展开系数 假设设 (x,t) 是归归一化波函数 ，则则 C(p,t) 也是归归一。 命题题 证证 （一）动量表象 量子力学3 |C(p,t)| 2 d p 是在(x,t)所描写的状态中，测量粒子的 动量所得结果在p p + d p 范围内的几率。 |(x,t)| 2d x 是在(x,t)所描写的状态中，测量
3、粒子的 位置所得结果在 x x + d x 范围内的几率。 (x,t) 与 C(p,t) 一 一 对应对应 ，描述同一状态态。 (x,t) 是该该状态态在坐标标表象中的波函数； 而 C(p,t) 就是该该状态态在动动量表象中的波函数。 C(p,t) 物理意义义 量子力学4 若(x,t) 描写的态是具有确定 动量 p 的自由粒子态，即： 则相应动量表象中的波函数： 在动量表象中，具有确定动量p的粒子的波函数是以动量p为变量的函数。 换言之，动量本征函数在自身表象中是一个函数。 同样， x 在自身表象即坐标表象中对应有确定值 x本征函数是 (x-x)。这可由本征值方程看出： 量子力学5 那末，在任
4、一力学量Q表象中， (x,t) 所描写的态又如何表示呢？ 推广上述讨论： x, p都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象， 因此可以对任何力学量Q都建立一种表象，称为力 学量 Q 表象。 问题 （1）具有分立本征值的情况 （2）含有连续本征值情况 （二）力学量表象 量子力学6 （1）具有分立本征值值的情况 设设 算符Q的本征值为值为 ： Q1, Q2, ., Qn, .， 相应应本征函数为为：u1(x), u2(x), ., un(x), .。 将(x,t) 按 Q 的 本征函数展开： 若, un都是归归一化的， 则则 an(t) 也是归归一化的。 证： 由此可知，| an| 2 表示 在(
5、x,t)所描述的状态态 中测测量Q得Qn的几率。 而数列a1(t),a2(t), .,an(t), . 就是(x,t)所描写状态态 在Q表象中的表示。 写成 矩阵形式 量子力学7 共轭轭矩阵阵 归归一化可写为为 写成一列矩阵形式 数列a1(t),a2(t), .,an(t), . 量子力学8 （2）含有连续连续 本征值值情况 例如氢氢原子能量就是这样这样 一种力学量， 即有分立也有连续连续 本征值值。 设力学量 Q 的本征值和本征函数分别为 ： Q 1, Q2, ., Qn, ., q u1(x), u2(x), ., un(x), ., uq(x) 则则 归一化则变为： |an(t)|2 是
6、在 (x,t) 态态中测测量力学量 Q 所得结结果为为 Qn 的几率； |aq(t)|2dq 是在(x,t) 态态中 测测量力学量 Q 所得结结果在 q q + d q之间间的几率。 在这样这样 的表象中， 仍可以用一个列矩阵阵 表示： 归归一化仍可表为为：+= 1 量子力学9 这类似于一个矢量可以在不同坐标系描写一样。矢量 A在直角坐标系由三分量Ax Ay Az 描述； 在球坐标系用三分量Ar A A 描述。 Ax Ay Az 和 Ar, A, A 形式不同，但描写同一矢量A。 态态矢量 基本矢量 同一状态态可以在不同表象用波函数描写，表象不同， 波函数的形式也不同，但是它们们描写同一状态态
7、。 （三）讨论讨论 量子力学10 波函数 是态矢量在Q表象中沿各基矢方向上 的“分量”。正如矢量A沿i,j,k 三个 方向的分量是（Ax, Ay, Az）一样。Q 表象的基矢有无限多个，所以态矢量 所在的空间是一个无限维的抽象的函 数空间，称为”Hilbert空间”。 所以在量子力学中，我们可以把状态看成是一个矢量 态矢量。 选取一个特定力学量 Q 表象，相当于选取特 定的坐标系， Q的本征函数u1(x), u2(x), ., un(x), . 是Q 表象的基本矢量简称基矢。这相当于直角 坐标系中的单位矢量i,j,k. 量子力学11 4. 1 算符的矩阵表示 （一）力学量算符的矩阵表示 （二）
8、Q 表象中力学量算符F的性质 （三）Q 有连续本征值的情况 量子力学12 坐标标表象： Q表象： 假设只有分立本征值，将, 按Q的本征函数un(x)展开： 两边左乘 u*n(x) 并对 x 积分 Q表象的 表达方式 代入 （一）力学量算符的矩阵表示 量子力学13 Q表象的表达方式 算符F 在 Q 表象中是一个矩阵阵， Fnm 是其矩阵阵元 =F 这这一组组方程写成矩阵阵形式 用F表示这个矩阵，用 表示左边的列矩阵， 用表示右边的列矩阵 坐标标表象： 量子力学14 写 成 矩 阵阵 例 1：求 Lx 在 L2, Lz 共同表象，=1子空间间中的矩阵阵表示。 令： u1 = Y11 u2 = Y1
9、0 , u3 = Y1-1 Lx矩阵阵是33矩阵阵 计计算中 使用了 公式 由此得Lx矩阵阵元 (Lx)11 = (Lx)22 = (Lx)33 = 0 (Lx)13 = (Lx)31 = 0 (Lx)12 = (Lx)21 = (Lx)23 = (Lx)32 = /21/2 Lz在自身表象中具有最简简 单单形式，是一个对对角矩阵阵， 对对角元素就是 Lz的本征值值。 同理可得Ly Lz 则则 Lx 的矩阵阵元可如下计计算： 量子力学15 （1）力学量算符用厄密矩阵阵表示 所以厄密算符的矩阵 表示是一厄密矩阵。 （二）厄米算符在Q表象中的矩阵表示的特点 量子力学16 例2：在例1中给出了 Lx
10、, Ly在 L2, Lz表象中的矩阵形式，下面我们 验证一下这两个矩阵是厄密矩阵。 量子力学17 （2）力学量算符在自身表象中的矩阵阵形式 Q的矩阵阵形式 结论： 算符在自身表象中是一对角矩阵 ，对角元素就是算符的本征值。 量子力学18 如果 Q只有连续本征值q ，上面的讨论仍然适用， 只需将u, a, b的角标从可数的 n, m 换成连续变 化的 q，求和换成积分，见下表。 分立谱连续谱 算符F在Q表象仍是一个矩阵，矩 阵元由下式确定： 只是该矩阵的行列是不是 可数的，而是用连续下标 表示。 （三） Q 具有连续本征值的情况 量子力学19 例3：求坐标标表象中 F的矩阵阵元 例4： 求动动量
11、表象中 F的矩阵阵元 要计计算此积积分，需要 知道 F的具体形式. 量子力学20 （一）平均值值公式 （二）本征方程 （三）Schrodinger方程的矩阵阵形式 4. 3 量子力学公式的矩阵表述 量子力学21 坐标标表象平均值值公式 在Q表象中，则则 式右写成矩阵阵相乘形式 简简写成 （一）平均值（期望值）公式 量子力学22 写成矩阵阵形式 上式是一个齐齐 次线线性方程组组 （二）本征值方程 久 期 方 程 在=F中 令= 表成显显式 量子力学23 方程组组有不完全为为零解的条件是系数行 列式等于零 求解此久期方程得到一组组 值值：1, 2, ., n, 就是F的 本征值值。 将其分别别代入
12、原齐齐次线线性 方程组组就能得到相应应于各i 的本征矢 于是求解微分方程的问题就化成了求解代数方程根的问题。 量子力学24 例1： 本征函数 um(x) 在自身表象中的矩阵表示。 同样将 um(x) 按 的本征函数展开： 显显 然 有 所以 um(x) 在自身表象中的矩阵表示如下： 例如： L2, Lz的共同本征函数 Y11, Y10, Y1-1.在 L2, Lz 的共 同表象中的矩阵形式就特别简单。 例2：求 Lx本征态在 Lz表象中的矩阵 表示，只讨论(=1)情况。 Lx的本征方程为为： 解 欲得a1, a2, a3 不全为为零的解，必须须要求系数行列式等于零 (-2 + 2) = 0 解
13、得本征值值 = 0, . 量子力学25 取= 代入本征方程得： 解得： a1=(1/21/2) a2 a3=(1/21/2) a2 由归归 一化 条件 定 a2 为简单计为简单计 取实实数 同理得另外两个本征值值相应应本征函数 则则 =1, Lx = 的本征态态 可记为记为 ： 量子力学26 其中 按力学量算符 Q的本征函数展开 左乘 um*(t) 对对 x 整个空间积间积 分 简写 （三）Schrodinger方程的矩阵形式 和H都是矩阵 写 到 Q 表 象 量子力学27 （一）不同表象之间的变换和幺正变 换矩阵 （二）波函数和算符的变换关系 （ 三）幺正变换的性质 4. 4 幺正变换矩阵
14、量子力学28 （一）不同表象之间的变换和幺正变换矩阵 量子力学29 量子力学30 量子力学31 量子力学32 量子力学33 量子力学34 量子力学35 量子力学36 量子力学37 量子力学38 （1）么正变换变换 不改变变算符的本征 值值 设 F 在 A 表象中的本征方程为：F a = a 在B 表象， = S-1 a F = S-1 F S b = S-1 a F b = = S-1 F a = S-1 a=b 可见，不同表象中，力学量算符 F对应同一状态（a 和 b 描写同一状态）的本征值不变。基于这一性质，解F的本 征值问题就是把该力学量从某一表象变到自身表象，使F矩 阵对角化。 S-1
15、 F S S-1 a （三）么正变换的性质 量子力学39 （2）么正变换变换 不改变变矩阵阵的迹 矩阵的迹定义为该矩阵对角元素之和，即 F 的迹等于 F 的迹，也就是说：么正变换不改变矩阵的迹。 （3）矩阵阵方程式经经么正变换变换 保持不变变 表象 A F = 表象 B F= 矩阵阵方程式 证证 = F = S-1 F S b = S-1 a F=(S-1 F S ) (S-1) = S-1 F = S-1 F = 证毕证毕 量子力学40 例：设设在 A 表象中对对易关系： 在B表象 对易关系在么正变换下保持不变 （4）么正变换变换 不改变变厄密矩阵阵的厄密性 设设：B表象：A 表象 F =
16、S-1 F S = S-1 F S= F= S+ F+ (S-1)+= (S-1 F S)+ F+ 量子力学41 4. 5 Dirac 符号 n前四章给出的都是 X - 表象中的形式，本章中给出了任一力 学量 Q-表象中的形式，它们都是取定了某一具体的力学量空 间,即某一具体的力学量表象。 n量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何 学和经典力学中也可用矢量形式 A 来表示一个矢量，而不用 具体坐标系中的分量(Ax, Ay, Az)表示一样:具体的物理规律不 依赖于坐标系的选择（矢量的具体表示形式）。 n量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。 这种抽象的描述方法是由 Dirac 首先引用的，所以该方法所 使用的符号称为 Dirac 符号。 (一）引言
