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1、第一篇：怎么证明余弦定理 怎么证明余弦定理 证明余弦定理： 因为过c作cd垂直于ab，ad=bcosa;所以(c-bcosa)2+(bsina)2=a2。 又因为b2-(bcosa)2=(bsina)2，所以(c-x)2+b2-(bcosa)2=a2， 所以c2-2cbcosa+(bcosa)2+b2-(bcosa)2=a2， 所以c2-2cbcosa+b2=a2， 所以c2+b2-a2=2cbcosa， 所以cosa=(c2+b2-a2)/2bc 同理cosb=(a2+c2-b2)/2ac，cosc=(a2+b2-c2)/2ab 2 在任意abc中,作adbc. c对边为c，b对边为b，a对
2、边为a-> bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c 勾股定理可知： ac²=ad²+dc² b²=(sinb*c)²+(a-cosb*c)² b²=sin²b*c²+a²+cos²b*c²-2ac*cosb b²=(sin²b+cos²b)*c²-2ac*cosb+a² b²=c²+a²-2ac*cosb 所以，cosb=(c²+a²-
3、b²)/2ac 2 如右图，在abc中，三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得b点坐标是(ccosa，csina).cb=(ccosa-b，csina).现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而|ad|=|cb|=a，dac=-bca=-c，根据三角函数的定义知d点坐标是(acos(-c)，asin(-c)即d点坐标是(-acosc，asinc),ad=(-acosc，asinc)而ad=cb(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)asinc=csina-acosc
4、=ccosa-b由得asina=csinc，同理可证asina=bsinb，asina=bsinb=csinc.由得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由可得a2sin2c=c2sin2aa2=b2+c2-2bccosa.同理可证b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3abc的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明: mb=(1/2) mc=(1/2)ma=(c
5、2+(a/2)2-ac*cosb) =(1/2)(4c2+a2-4ac*cosb) 由b2=a2+c2-2ac*cosb 得，4ac*cosb=2a2+2c2-2b2，代入上述ma表达式： ma=(1/2) =(1/2)(2b2+2c2-a2) 同理可得： mb= mc= 4 ma=(c2+(a/2)2-ac*cosb) =(1/2)(4c2+a2-4ac*cosb) 由b2=a2+c2-2ac*cosb 得，4ac*cosb=2a2+2c2-2b2，代入上述ma表达式： ma=(1/2) =(1/2)(2b2+2c2-a2) 证毕。 第二篇：用复数证明余弦定理 用复数证明余弦定理 法一：证明
6、：建立如下图所示的直角坐标系，则a=(0，0)、b=(c,0)，又由任意角三角函数的定义可得：c=(bcosa,bsina)，以ab、bc为邻边作平行四边形abcc，则bac=-b， c(acos(-b),asin(-b)=c(-acosb,asinb). 根据向量的运算： =(-acosb,asinb)， =-=(bcosa-c,bsina), (1)由=：得 asinb=bsina,即 =. 同理可得：=. =. (2)由=(b-cosa-c)2+(bsina)2=b2+c2-2bccosa， 又|=a, a2=b2+c2-2bccosa. 同理： c2=a2+b2-2abcosc; b2
7、=a2+c2-2accosb. 法二：如图5， ,设轴、轴方向上的单位向量分别为、，将上式的两边分别与、作数量积，可知 ， 即 将(1)式改写为 化简得b2-a2-c2=-2accosb. 即b2=a2+c2-2accosb.(4) 这里(1)为射影定理，(2)为正弦定理，(4)为余弦定理. 2 在abc中，ab=c、bc=a、ca=b 则c2=a2+b2-2ab*cosc a2=b2+c2-2bc*cosa b2=a2+c2-2ac*cosb 下面在锐角中证明第一个等式，在钝角中证明以此类推。 过a作adbc于d，则bd+cd=a 由勾股定理得： c2=(ad)2+(bd)2，(ad)2=b
8、2-(cd)2 所以c2=(ad)2-(cd)2+b2 =(a-cd)2-(cd)2+b2 =a2-2a*cd+(cd)2-(cd)2+b2 =a2+b2-2a*cd 因为cosc=cd/b 所以cd=b*cosc 所以c2=a2+b2-2ab*cosc 题目中2表示平方。 2 谈正、余弦定理的多种证法 聊城二中魏清泉 正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法.人教a版教材数学(必修5)是用向量的数量积给出证明的，如是在证明正弦定理时用到作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受.本文试图通过运用多种方法证明正、余弦定
9、理从而进一步理解正、余弦定理，进一步体会向量的巧妙应用和数学中“数”与“形”的完美结合. 定理：在abc中，ab=c,ac=b,bc=a,则 (1)(正弦定理)=; (2)(余弦定理) c2=a2+b2-2abcosc, b2=a2+c2-2accosb, a2=b2+c2-2bccosa. 一、正弦定理的证明 证法一：如图1，设ad、be、cf分别是abc的三条高。则有 ad=b•sinbca， be=c•sincab， cf=a•sinabc。 所以sabc=a•b•csinbca =b•c•sincab
10、=c•a•sinabc. 证法二：如图1，设ad、be、cf分别是abc的3条高。则有 ad=b•sinbca=c•sinabc， be=a•sinbca=c•sincab。 证法三：如图2，设cd=2r是abc的外接圆 的直径，则dac=90，abc=adc。 证法四：如图3，设单位向量j与向量ac垂直。 因为ab=ac+cb， 所以j•ab=j•(ac+cb)=j•ac+j•cb. 因为j•ac=0， j•cb=|j|cb|cos(90-c)=a&
11、#8226;sinc， j•ab=|j|ab|cos(90-a)=c•sina. 二、余弦定理的证明 法一：在abc中，已知，求c。 过a作， 在rt中， 法二： ，即： 法三： 先证明如下等式： 证明： 故式成立，再由正弦定理变形，得 结合、有 即. 同理可证 . 三、正余弦定理的统一证明 法一：证明：建立如下图所示的直角坐标系，则a=(0，0)、b=(c,0)，又由任意角三角函数的定义可得：c=(bcosa,bsina)，以ab、bc为邻边作平行四边形abcc，则bac=-b， c(acos(-b),asin(-b)=c(-acosb,asinb). 根据向量的运算
12、： =(-acosb,asinb)， =-=(bcosa-c,bsina), (1)由=：得 asinb=bsina,即 =. 同理可得：=. =. (2)由=(b-cosa-c)2+(bsina)2=b2+c2-2bccosa， 又|=a, a2=b2+c2-2bccosa. 同理： c2=a2+b2-2abcosc; b2=a2+c2-2accosb. 法二：如图5， ,设轴、轴方向上的单位向量分别为、，将上式的两边分别与、作数量积，可知 ， 即 将(1)式改写为 化简得b2-a2-c2=-2accosb. 即b2=a2+c2-2accosb.(4) 这里(1)为射影定理，(2)为正弦定理，(4)为余弦定理. 第三篇：叙述并证明余弦定理 叙述并证明余弦定理 余弦定理(第二余弦定理)余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。 直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值 编辑本段余弦定理性质 对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的
