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1、4.14 高斯光束通过复元素光学系统的变换 当高斯光束通过复元素光学系统时，4.5中的变换公式失效但 ABCD 定律仍成立，本节以含有高斯光阑的光学系统为例，说明高斯光 束通过上述光学系统的变换特性 （4.14.1） 分析图4.14.1所示薄透镜（焦距f）前置一高斯光阑GA的光学系统，该光 学系统的变换矩阵为 一、高斯光束通过C0复元素光学系统的变换 图4.14.1 高斯光束通过带有高斯光阑薄透镜光学系统的变换 式中 （ 为高斯光阑的宽度） 分别为物像空间折射率。 现研究物像空间中束腰q01，q02间的变换，由q01至q02的变换矩阵 (4.14.2) (4.14.3) 将式(4.14.3)代
2、入 ABCD 定律 （4.14.4 ） 分离实、虚部得到 （4.14.5） 二、高斯光束通过C = 0复元素光学系统的变换 在激光光学中也使用图4.14.2所示带高斯光阑的牢间滤波器，为一般起见，设 图中焦距为f1、f2的薄透镜F1 ，F2构成的滤波系统置于折射率n的介质之中， 物、像空间折射率分别为 ，两薄透镜间距离 （4.14.8） 图4.14.2 高斯光束通过带有高斯光阑的空间滤波器的变换 在薄透镜F1之右相距f l处置有一高斯光阑GA，于是 （4.14.9 ） 由q01至q02的变换矩阵 （4.14.10） 将式(4. 14. 10)代入式(4.14.4)，得到 （4.14.11） 4
3、.15 高斯光束强度的均匀化 在激光材料加工和其他一些应用中，常常希望光强的径向分布尽可能均匀， 这就需要把光强为高斯分布的激光变为均匀平顶分布，本节讨论用一种透过率 为反高斯分布的吸收滤光镜来实现强度均匀化的方法。 如图4.15.1所示，在平凹透镜和平面 镜组合的空腔部分充满折射率与平凹 镜相同的吸光液就构成了透过率为反 高斯分布的滤光装置，图4.15.2为装 置的示意图，高斯光束经显微物镜焦 点除去杂散光，由准直物镜变成平行 光后通过吸收滤光镜，设吸光液的吸 收系数为a，离吸收滤光镜光轴为r处 的液体厚度为l(r)，则该处的透过率 T(r)为 图4.15.1 吸收滤光镜 （4.15.1）
4、若液槽的半径为a，平凹镜曲率半径为 ，由简单几何关系求得 （4.15.2） 式中 （4.15.3） 为吸收滤光镜液体的中心厚度。 当 时，由式(4.15.1)、式(4.15.2)得 （4.15.4） 式中 （4.15.5） 为滤光镜中心的透过率，由式(4.15.4)知，滤光镜径向透过率呈反高斯分 布，设经准直后入射到滤光镜上的激光束宽为w，光束中心强度为I0，径 向强度为高斯分布： (4.15.6) 则通过滤光镜后，强度分布为 （4.15.7） 当用吸收系数为 （4.15.8） 的液体充满滤光镜空腔时，有 （4.15.9） 即可实现径向强度分布的均匀化， 实验中使用消色差平凹透镜，a=40mm
5、， =180mm和a =41 mm， = 560mm与平面镜组成滤光液槽用a溴荼(C10H7Br)和二甲苯(C8 H10)的混 合液体作为吸收液，折射率在1.58至1.60之间，比平凹透镜的折射率1. 62稍 低，调整吸收液的吸光强度使之满足式(4.15.9)时，在 = 560 mm，w=0. 75 mm情况下，所得实验结果和理论值比较示于图4. 15.3由图可见，从吸收 滤光镜的中心到边缘，与理论值相比实验所得光束透过率的偏差在2%以内 ，基木上实现了激光强度的均匀化。 光束或滤光镜半径mm 图4. 15.3 突验结果与理论的比较 (1)吸收滤光镜的透过率分布曲线；(2)经过小孔空间滤波后的
6、 激光束相对强度分布曲线；(3)通过吸收滤光镜后的激光束相 对 强度分布曲线 4.16 高斯光束通过光阑传输中的衍射损耗 高斯光束的衍射问题已做了研究，使用方法和物理光学中讨论平面 波、球面波的衍射一样，即从菲涅耳一基尔霍夫衍射积分公式出发，分别 在夫琅禾费和菲涅耳近似条件下，将高斯光束的场分布代入衍射积分公 式中进行计算结果表明，高斯光束通过单狭缝和圆孔的夫琅禾费衍射与 平面波的衍射相似，而高斯光束通过圆孔的菲涅耳衍射则与球面波的衍 射相似，其差别仅是零点和极值点的位置有所移动，当相对孔径 a/w（a 为光阑宽度）较小时，用激光做光源可以非常好地演示出夫琅禾费衍射和 菲涅耳衍射现象，现在讨论
7、基模和高阶高斯光束在传输中通过不同形状 孔径光阑的功率透过率和衍射损耗问题 一、厄米一高斯光束传输中的衍射损耗 由式(4.2.4)知，厄米一高斯光束的光强公式为 （4.16.1） 当通过一个任意形状的通光孔时，功率透过率Tmn为 （4.16.2） 式中面积分的积分限由孔径的几何形状和尺寸确定，于是，m、n阶厄米- 高斯光束的衍射损耗Lmn可表示为 （4.16.3） 下面，设通光孔分别为：(1)边长2a、2b的矩形孔；(2)半长短轴为a、b的 椭圆形孔，对TEM00、TEM10、TEM11、TEM20模进行推导和数值计算 1. TEM00模（m = n =0） 在式(4.16.1)中令m = n
8、 =0 ，得 （4.16.4） (1)矩形孔 将式(4.16.4)代入式(4.16.3)，计算得到 （4.16.5） 式中 （4.16.6 ） (2)椭圆形孔 设 （4.16.7） 于是 （4.16.8 ） 将式(4.16.4)代入式(4.16.3)，利用式(4.16.7)、式(4.16.8)化为极坐标，积分 之，得 （4.16.9） 2.TEM10模（m = 1.n = 0) 在式(4.16.1)中m = 1.n = 0 ，得 （4.16.10） 由此得： (1)矩形孔 （4.16.11） (2)椭圆形孔 （4.16.12） 3.TEM11模 （m = n = 1） （4.16.13） (1
9、)矩形孔 （4.16.14 ） (2)椭圆形孔 （4.16.15 ） 4.TEM20模 （m = 2.n = 0) （4.16.16） (1)矩形孔 （4.16.17） (2)椭圆形孔 （4.16.18） 利用上面的公式，用辛卜生法作数值积分，所得计算结果列于表 4.16.1、表4.16.2，典型例示于图4.16. 1图4.16.6对公式和计算结 果进行分析，可知： (1)厄米-高斯光束衍射损耗酌大小与孔径形状、几何尺寸和横模 阶次m，n有关，在x、y方向光强最集中于中心轴线上的基模高斯光束 衍射损耗最小 (2)圆孔和方孔的结果可由相应公式中令a = b得出，对圆孔情况，还可得 到解析结果为
10、（4.16.19） (3)当m，n一定时，对矩形孔和椭圆形孔，衍射损耗只与相对孔径 a/w,b/w 有关，而与 a,b,w 的绝对大小无关，例如，对圆孔，a /w=1 时，T00=86.5%，L00=13.5%，这即束宽w的86.5%环围功率定义，而 当a /w =1.5时，T00=98.9%，L00=1.1% (4)各阶模通过不同形状通光孔的衍射损耗特性可总结为：对TEM00模，在相 同的相对通光面积情况下，方孔喊圆孔）的衍射损耗一般比其它比例的矩形 孔减椭圆形孔）要小，这是因为TEM00，模在x、y方向的光强分布是对称的， 对 ab 的孔，在一个方向上比 a=b 的孔对光束的限制要大，对同
11、一相对孔径 的矩形孔和椭圆形孔，矩形孔的相对通光面积大于椭圆形孔故通过矩形孔 的衍射损耗小于椭圆形孔TEM11，模因光强分布在x、y方向也是对称的，情 况与TEM00模相似，对TEM10模，在x方向有两个靠外的光强极大值，故在相 同的相对通光面积下，ab1的矩形孔（或椭圆形孔）比a/b =1的方孔（或圆 孔）的衍射损耗小，而TEM20模，在x方向的光强分布有三个极大值，其中两 个主极大更靠外，故欲减小TEM20模的衍射损耗，需要在x方向用更宽的孔， 由此可见，根据不同阶模光强分布的特征，可选用不同几何形状和尺寸的光 阑和空问滤波器，并在适当位置配置，就能改变光模横向场分布，实现光学 滤波的目的。 二、拉盖尔一高斯光束的衍射损耗 由式(4.2.1)知，拉盖尔一高斯光束的光强公式为 （4.16.20） 通过一任意形状通光孔径时的助率透过率为 （4.16.21 ） 衍射损耗 （4.16.22 ） 由此，可仿节一的方法进行分析计算，例如，对半径为a 的圆孔，前 几阶拉盖尔- 高斯光束的衍射损耗为 （4.16.23） 最后要说明的是，本节的方法适用于高斯光束在传输中单次通过有限几何 尺寸通光孔的功率透过率和衍射损耗的计算，对光学谐振腔内置限模光阑情况 ，腔的衍射损耗是激光多次通过限模孔径衍射的结果，应当用第九章讲述的方 法计算，与这里讨论的情况是不相同的
