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1、我们在解决问题时,往往把一 个问题分成若干个简单的小问题, 然后再各个击破.然而, 对有些问题, 我们的做法却与上述方法恰恰相反. 在解某些题时,通过仔细分析题目 的结构,把握问题的特征,展开联 想, 将各个局部因素合在一起, 进行 整体处理, 从而快捷、 简便地解决问 题,我们把这种方法称为整体思想 的方法.现就整体思想在整式加减 中的运用举例说明. 一、 化简运算 例1化简: 5 ( x - y ) + 3 ( y - x ) - ( x - y ) + 2 ( x - y ) - 2 ( x - y ) . 分析:观察本题中每一个小括 号的特点, 可以把(x - y)看作一 个 整体进行
2、运算, 这样可以简化运算. 整 体 思 想 江 苏 文 页 数学篇 路 新思 一、1 . B;2 . D;3 . B;4 . D; 5 . A;6 . C;7 . A;8 . B;9 . D;1 0 . C . 二、1 1 . 、;1 2 . 6 . 1 1 0 1 1 ;1 3 . 4 h;1 4 . 1;1 5 . 1、6;1 6 .通项( -1 ) n + 12n - 1 n 2 , 则应填上-1 1 3 6 ;1 7 . 0 . 三、1 8 .(1)3 0, (2)- 2 5 1 4 ,(3)5 0 7, (4)0;1 9 . y =5 + 2 ( x - 2 ) ( x 2 );2
3、0 .(1)2 7、 - 2 7; (2)会,如3,- 1,- 2或4,- 3,- 1等;2 1 .(1)x 3 - 3 x 2 - 2 2 x + 1 2, (2)8 4; 2 2 .(1)1 0 + 7 0 . 5 =1 3 . 5 c m, (2)l =1 0 + 0 . 5 F, (3)l =1 0 + 0 . 5 1 0 0 =6 0 c m; 2 3 .表格横着依次为:0、0、1、1、1,1、4、4、1、1,1 4、 3 2、 9 4、 1、1 , 4、- 4、1、9、9 , 1、 - 6、9、1 6、1 6 ;能;相同;相同;是;能. 四、2 4 .(1)略, (2)x不断增大时
4、,2 - 2 x-1 0 x 的值逐渐的减小, 最后趋近 0, (3)x非常大时,2 -2 x -1 0 x 的值接近于0;2 5 .略. 参考答案 ! 在 整 式 加 减 中 的 运 用 3 2 解: 5 ( x - y ) + 3 ( y - x ) - ( x - y ) + 2 ( x - y ) - 2 ( x - y ) = 5 ( x - y ) + 3 ( y - x ) - ( x - y ) + 2 ( x - y ) - 2 ( x - y ) = 7 ( x - y ) - 6 ( x - y ) =x - y . 说明: 若不把(x - y) 看作一个整体进行运算,
5、而是分别展开后化 简, 不但复杂,而且还容易出错. 二、 代换求值 例2代数式3 x 2 - 4 x + 6的值为9 , 则 x 2 -4 3x + 6 的值为(). A . 7B . 1 8C . 1 2D . 9 分析:要求代数式x 2 -4 3x + 6 的值,可以将代数式x 2 -4 3x + 6 变形, 再将其与已知条件对比,我们会发现可将3 x 2 - 4 x当作一个整体代入 求解. 解:因为3 x 2 - 4 x + 6的值为9 ,所以3 x 2 - 4 x = 3 . 又因为x 2 -4 3x + 6 = 1 3 (3 x 2 - 4 x)+ 6 , 所以当3 x 2 - 4
6、x = 3时,原式=1 33 + 6 = 7 . 故应选A . 说明:本题将待求的代数式经过适当地变形,再通过整体代入求 解,方法独特、 过程简洁. 例3已 知a = 2 , b = 3 , c = - 2 ,A = 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 4,B = a2 b + 1 1 a b 2 + a 4, C = 8 a b 2 + 2 a 2 b + c 4 .求A + B - C . 分析:分别将A、B、C看成一个整体, 即可列式计算. 解: A + B - C =( 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 4 )+(a 2 b + 1 1 a b 2 + a 4 )-(
7、8 a b 2 + 2 a 2 b + c 4 ) = 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 4 + a 2 b + 1 1 a b 2 + a 4 - 8 a b 2 - 2 a 2 b - c 4 = a 4 + 6 a b 2 + 2 a 2 b + b 4 - c 4 . 将a = 2 , b = 3 , c = - 2代入,得A + B - C = 2 1 3 . 说明: 在整体列式计算时, 应注意括号的添加和负号的运算. 三、 证明说理 例4设a表示一个两位数,b表示一个三位数,把a放在b的 数学篇 路 新思 3 3 数学篇 左边, 组成一个五位数x , 把 b放在a的左边,
8、 组成一个五位数y , 试 问9能否整除x - y?请说明理由. 分析: 根据题意, 先列出相应的等式, 然后从整体上去思考, 看 看能否找到9和x - y的关系. 解: 依题意可知x = 1 0 0 0 a + b , y = 1 0 0 b + a , 则x - y = ( 1 0 0 0 a + b ) - ( 1 0 0 b + a ) = 9 9 9 a - 9 9 b = 9 ( 1 1 1 a - 1 1 b ) . 由于a、b都是整数, 所以9能整除9 ( 1 1 1 a - 1 1 b ), 即9能整除x - y . 说明: 解答这个题目只能用整体思想的方法. 练习: 1 .
9、化简:- 3 ( 2 a - b ) - 1 - ( 2 a - b ) + 6 ( 2 a - b ) . 2 .已知代数式1 4 x + 5 - 2 1 x 2 = - 2 ,求6 x 2 - 4 x + 5的值. 3 .若代数式x 2 + 4 x - 2的值为3, 求代数式2 x 2 + 8 x - 5的值是多少? 4 .一位同学做一道题: “已知两个多项式A、B, 计算2 A + B”, 他 误将“2 A + B”看成“A + 2 B”, 求得的结果为 9 x 2 - 2 x + 7 .已知B = x 2 + 3 x - 2 , 求正确答案. 5 .学校准备好材料在花园里砌一个如图1形
10、状的喷水池, 有同 学提议改为如图2形状,且外圆直径不变,你认为原来的材料够用 吗?请说明理由. 答 案 :1 . 4 a - 2 b - 1 ; 2 .因 为1 4 x + 5 - 2 1 x 2 = - 2 ,所 以3 x 2 - 2 x = 1 ,即 6 x 2 - 4 x = 2 ,则 原 式= 7 ;3 .因 为x 2 + 4 x - 2的 值 为3 ,即x 2 + 4 x - 2 = 3 ,所 以 x 2 + 4 x = 5 , 2 x 2 + 8 x - 5 = 2 ( x 2 + 4 x ) - 5 = 2 5 - 5 = 5 ; 4 . 1 5 x 2 - 1 3 x + 2 0 ; 5 .材料够用, 设大圆的直径为d ,则其周长为 d ,三个小圆的直径为d 1、d2、d3, 则周 长之和为 d 1+ d2+ d3= ( d1+ d2+ d3) , 又因为d 1+ d2+ d3= d , 所以三个小圆 的周长之和恰好等于一个大圆的周长,因此,若材料损耗忽略不计,则 原有的材料够用. 路 新思 3 4
