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1、几何体与球的体积表面积一选择题（共20小题）1平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为（）AB4C4D62已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（）ABC4D3已知三棱锥OABC，A，B，C三点均在球心为O的球表面上，AB=BC=1，ABC=120，三棱锥OABC的体积为，则球O的表面积是（）A544B16CD644四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB平面BCD，BCD是边长为3的等边三角形若AB=2，则球O的表面积为（）A8B12C16D325已知在三棱锥PABC中，VPABC=，APC=，B
2、PC=，PAAC，PBBC，且平面PAC平面PBC，那么三棱锥PABC外接球的体积为（）ABCD6已知正ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是（）AB2CD37已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（）A4B8C12D168三棱锥PABC中，PA平面ABC，ACBC，AC=BC=1，PA=，则该三棱锥外接球的表面积为（）A5BC20D49已知A，B，C点在球O的球面上，BAC=90，AB=AC=2球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为（）A12B16C36D2010如图，是一个空间几何
3、体的三视图，则这个几何体的外接球的表面积是（）A56cm2B77cm2CD11三棱锥SABC的所有顶点都在球O的表面上，SA平面ABC，ABBC，又SA=AB=BC=1，则球O的表面积为（）ABC3D1212已知在三棱锥PABC中，PA=PB=BC=1，AB=，ABBC，平面PAB平面ABC，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（）AB3CD213四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB平面BCD，BCD是边长为3的等边三角形若AB=2，则球O的表面积为（）A4B12C16D3214已知A，B是球O的球面上两点，AOB=90，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为3
4、6，则球O的表面积为（）A36B64C144D25615设三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，AB=AC=2，BAC=90，AA1=2，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A4B8C12D1616一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为（）AB9C4D17已知如图所示的三棱锥DABC的四个顶点均在球O的球面上，ABC和DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，则球O的表面积为（）A4B12C16D3618一个空间四边形ABCD的四条边及对角线AC的长均为，二面角DACB的余弦值为，则下列论断正确的
5、是（）A空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为3B空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为4C空间四边形ABCD的四个顶点在同一球上且此球的表面积为D不存在这样的球使得空间四边形ABCD的四个顶点在此球面上19已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SA=2，AB=1，AC=2，BAC=60，SA面ABC，则球O的表面积为（）A4B12C16D6420棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A3B4C3D6二填空题（共5小题）21已知正四棱锥OABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为22已知H是球O的直径A
6、B上一点，AH：HB=1：2，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为23如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于24正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为25设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45角的平面截球O的表面得到圆C若圆C的面积等于，则球O的表面积等于几何体与球的体积表面积参考答案与试题解析一选择题（共20小题）1（2012新课标）平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为（）AB4C4D6【分析】利用
7、平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，求出球的半径，然后求解球的体积【解答】解：因为平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，所以球的半径为：=所以球的体积为：=4故选B【点评】本题考查球的体积的求法，考查空间想象能力、计算能力2（2010广东模拟）已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（）ABC4D【分析】由AB=BC=CA=2，求得ABC的外接圆半径为r，再由R2（R）2=，求得球的半径，再用面积求解【解答】解：因为AB=BC=CA=2，所以ABC的外接圆半径为r=设球半径为R，则R2（R）2=，所
8、以R2=S=4R2=故选D【点评】本题主要考查球的球面面积，涉及到截面圆圆心与球心的连线垂直于截面，这是求得相关量的关键3（2016河南模拟）已知三棱锥OABC，A，B，C三点均在球心为O的球表面上，AB=BC=1，ABC=120，三棱锥OABC的体积为，则球O的表面积是（）A544B16CD64【分析】求出底面三角形的面积，利用三棱锥的体积求出O到底面的距离，求出底面三角形的所在平面圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求解球的体积【解答】解：三棱锥OABC，A、B、C三点均在球心O的表面上，且AB=BC=1，ABC=120，AC=，SABC=11sin120=，三棱锥OABC的体积为，A
9、BC的外接圆的圆心为G，OGG，外接圆的半径为：GA=1，SABCOG=，即OG=，OG=，球的半径为：=4球的表面积：442=64故选：D【点评】本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力4（2016衡水模拟）四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB平面BCD，BCD是边长为3的等边三角形若AB=2，则球O的表面积为（）A8B12C16D32【分析】取CD的中点E，连结AE，BE，作出外接球的球心，求出半径，即可求出表面积【解答】解：取CD的中点E，连结AE，BE，在四面体ABCD中，AB平面BCD，BCD是边长为3的等边三角形RtABCRtABD
10、，ACD是等腰三角形，BCD的中心为G，作OGAB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，BE=，BG=，R=2四面体ABCD外接球的表面积为：4R2=16故选：C【点评】本题考查球的内接体知识，考查空间想象能力，确定球的切线与半径是解题的关键5（2016河南模拟）已知在三棱锥PABC中，VPABC=，APC=，BPC=，PAAC，PBBC，且平面PAC平面PBC，那么三棱锥PABC外接球的体积为（）ABCD【分析】利用等体积转换，求出PC，PAAC，PBBC，可得PC的中点为球心，球的半径，即可求出三棱锥PABC外接球的体积【解答】解：由题意，设PC=2x，则PAAC，APC=，APC为等
11、腰直角三角形，PC边上的高为x，平面PAC平面PBC，A到平面PBC的距离为x，BPC=，PAAC，PBBC，PB=x，BC=x，SPBC=，VPABC=VAPBC=，x=2，PAAC，PBBC，PC的中点为球心，球的半径为2，三棱锥PABC外接球的体积为=故选：D【点评】本题考查三棱锥PABC外接球的体积，考查学生的计算能力，正确确定球心与球的半径是关键6（2016南昌三模）已知正ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是（）AB2CD3【分析】设正ABC的中心为O1，连结O1A根据球的截面圆性质、正三角形
12、的性质与勾股定理，而经过点E的球O的截面，当截面与OE垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值【解答】解：设正ABC的中心为O1，连结O1AO1是正ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，O1O平面ABC，球的半径R=2，球心O到平面ABC的距离为1，得O1O=1，RtO1OA中，O1A=又E为AB的中点，ABC是等边三角形，AE=AO1cos30=过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值此时截面圆的半径r=，可得截面面积为S=r2=故选C【点评】本题已知球的内接正三角形与球
13、心的距离，求经过正三角形中点的最小截面圆的面积着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，属于中档题7（2016湖南二模）已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（）A4B8C12D16【分析】由已知中三棱锥的三视图，我们可以求出三棱棱的高，即顶点到底面的距离，及底面外接圆的半径，进而求出三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式，即可求出外接球的表面积【解答】解：由已知中三棱锥的高为1底面为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为1，则底面的外接圆半径为1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上，由于顶点到底面的距离，与底面外接圆的半径相等，所以底面直角三角形斜边中点就是外接球的球心；则三棱锥的外接球半径R为1，则三棱锥的外接球表面积S=4R2=4故选：A【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据三视图出判断出三棱锥的几何特征，进而求出其外接球的半径是解答本题的关键8（2015佳木斯一模）三棱锥PABC中，
