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1、八年级上册13.4课题学习最短路径问题引言：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”引入新知问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？探索新知BAl精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题这个问题后来被称为“
2、将军饮马问题”你能将这个问题抽象为数学问题吗？探索新知BAl追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线探索新知BAl探索新知现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小（如图）BAlC作法：（1）作点B关于直线l的对称点B；（2）连接AB，与直线l相交于点C则点C即为所求探索新知如图，点A，B在直线l的同侧点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？BlABC证明：如图在直线l上任取一点C(与点C不重合）连接ACBCBC.则B
3、C=BC，BC=BCAC+BC=AC+BC=AB，AC+BC=AC+BC你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？BlABCC在ABC中，ABAC+BC，AC+BCAC+BC即AC+BC最短探索新知回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？BlABCC运用新知如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径ABCPQ山河岸大桥运用新知基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q在直线BC的同侧，如何在BC上找到一点R
4、，使PR与QR的和最小”ABCPQ山河岸大桥造桥选址问题如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）BA思路分析BA1.如图假定任选位置造桥，连接和，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？2.如何利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？思维火花思维火花思维火花思维火花1、把A平移到岸边.2、把B平移到岸边.3、把桥平移到和A相连.4、把桥平移到和B相连.BAA1MN如图，平移A到A1，使
5、AA1等于河宽，连接A1交河岸于作桥，此时路径最短.理由；另任作桥M1N1，连接AM1BN1A1N1.由平移性质可知，AMA1NAM1A1N1.AA1MNM1N1，AM+MN+BN=AA1A1B，AM1+M1N1+BN1=AA1A1N1BN1.在11B中，A1N1+BN1A1B因此AM1+M1N1+BN1AM+MN+BN问题延伸一如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）思维分析如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+桥MN和PQ在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，
6、线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.平移的方法有三种：两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处，PQ平移到B点处思维方法一1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至AA1使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题型两点（A1、B点）和一条河建桥（PQ）2、利用基本问题的解决方法确定桥PQ：（1）在沿垂直于第二条河岸的方向平移A1至A2，使A1A2=PQ.（2）连接A2B交A2的对岸Q点，在点处建桥PQ.3、确定PQ的位置，也确定了BQ和PQ，此时问题可转化为由A点、P点和第一条河确定桥MN的位置.连接A1P交的对岸于点，在点处建桥问题解决沿垂直于河岸方向依
7、次把点、，使，；连接交于点相邻河岸于点，建桥；连接交的对岸于点，建桥；从点到点的最短路径为MMN思维方法二沿垂直于第一条河岸方向平移点至点，沿垂直于第二条河岸方向平移点至点，连接A1B1分别交A、B的对岸于N、P两点，建桥MN和PQ.最短路径AM+MN+NP+PQ+QB转化为AA1+A1B1+BB1.思维方法三沿垂直于河岸方向依次把B点平移至B、B，使BBPQ，BBMN；连接BA交于A点相邻河岸于M点，建桥MN；连接BN交B的对岸于P点，建桥PQ；从点到点的最短路径为MMNNP转化为AB2+B2B1+B1B问题延伸二如图，A和B两地之间有三条河，现要在两条河上各造一座桥MN、PQ和GH.桥分别
8、建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）思维分析如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+G+GH+HB桥MN、PQ和GH在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.平移的方法有四种：三个桥长都平移到A点处；都平移到B点处；MN、PQ平移到A点处；PQ、GH平移到B点处问题解决沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A、A、A3，使AAMN，AAPQ，A2A3=GH；连接A3B交于B点相邻河岸于H点，建桥GH；连接A2G交第二河与G对岸的P点，建桥PQ；连接A1P交第一条河与A的对岸于N点
9、，建桥MN.此时从A到B点路径最短.沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A、A、A3，使AAMN，AAPQ，A2A3=GH；连接A3B交于B点相邻河岸于H点，建桥GH；连接A2G交第二河与G对岸的P点，建桥PQ；连接A1P交第一条河与A的对岸于N点，建桥MN.此时从A到B点路径最短.问题解决沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A，使AAMN，平移B点至B1、B2使BB1GH，B1B2=PQ；连接A1B2交第一条河与A点相对河岸于N点，交第二条河与N相邻河岸于P点，建桥MN、PQ；连接B1Q交第三条河与Q相邻河岸的G点，建桥GH；此时从A到B点路径最短.问题解决沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A、A2，使AAMN，平移B点至B1使BB1GH；连接AB交第三条河与点相对河岸于点，交第二条河与相邻河岸于点，建桥、PQ；连接1交第一条河与相邻河岸的点，建桥；此时从A到B点路径最短.问题解决延伸小结延伸小结延伸小结同样，当、两点之间有、，条河时，我们仍可以利用平移转化桥长来解决问题例如：沿垂直于河岸方向平移点依次至、3，An平移距离分别等于各自河宽，AnB交第n条河近B点河岸于Nn建桥MnNn连接MnAn-1交第(n-1）条河近B点河岸与Nn-1建桥Mn-1Nn-1，.，连接M1A交第一条河近B点河岸于N1，建桥M1N1此时所走路径最短.
