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1、Southwest University of Science and Technology, Mianyang, Sichuan 西南科技大学第3章 薛定谔方程的建立 Southwest University of Science and Technology, Mianyang, Sichuan 西南科技大学第3章 薛定谔方程的建立 3.1 波粒二象性 光的波动性：光的干涉、衍射、偏振现象证明了光具有 波动性; 光的粒子性：光电效应、康普顿效应和黑体辐射说明了 光具有粒子性。 光的本质是什么？究竟是波还是粒子？ 光的波粒二象性：光同时具有波动和粒子二重性，就是 说光既粒子也是波，是粒子和波
2、动两重性矛盾的统一。 光有时表现出其中的矛盾主要方面，或者是粒子或 者是波。但波粒二象性更能本质地描述光的特性。 u光的波粒二象性 Southwest University of Science and Technology, Mianyang, Sichuan 西南科技大学第3章 薛定谔方程的建立 描述粒子性的时，爱因斯坦用了一个简单的公式来描述光子： 式中，E为光子能量；为光子的频率；为圆频率；h为普朗克常数 ， ，此式称为爱因斯坦关系。通过这个关系式爱因斯坦把描 述光的粒子性和波动性的两个特征量能量和（圆）频率联系起 来了。它很好地解释了光电效应和康普顿效应。 请回忆一下，光波波长和频率
3、的关系： 其中c是光速，而光的静止质量为零，则 。 由上述爱因斯坦关系，得到光的波长与动量或波矢量大小之 间的关系 Southwest University of Science and Technology, Mianyang, Sichuan 西南科技大学第3章 薛定谔方程的建立 德布罗意关系：与粒子相联系的物质波的波长 德布罗意物质波实验验证：戴维孙-革末实验和汤姆孙实验。 微观粒子的波粒二象性用爱因斯坦关系和德布罗意关系定量描 述，它们把描述粒子性的能量、动量与描述波动性的频率、波 长联系在一起，其中有一个重要的常数是普朗克常数h。 上述表达式仅对于光才适合吗？答案是否定的。 德布罗意
4、的物质波假设：一切实物粒子都具有波动性 u 微观粒子的波粒二象性 此式称为德布罗意关系。 Southwest University of Science and Technology, Mianyang, Sichuan 西南科技大学第3章 薛定谔方程的建立 3.2 波函数的态与叠加原理 （一）波函数及其统计解释 u波函数： 概率波的数学表达形式,描述微观客体的运动状态。 描述微观粒子的函数一般用 表示，按照玻恩的统计解释： 表示时刻 t 在位置 r 出现的概率密度。若知道了体系的波函数， 就可以知道体系的全部性质。 本身则表示概率幅。 注意：波函数的数学形式一般说来是复数域中的函数，即复数函
5、数。 Southwest University of Science and Technology, Mianyang, Sichuan 西南科技大学第3章 薛定谔方程的建立 u概率密度：单位体积内粒子出现的概率 在非相对论情况下，实物粒子没有产生和甄灭，所 以，在随时间的演化过程中，粒子数目保持不变。对一 个粒子来说，在全空间中找到粒子的概率之总和应不随 时间变化, 即: 此式被称为波函数的归一化条件。注意这里的积分体积微元 的具体形式会因坐标系的不同而不同，常用的三维空间坐标系 有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系，请分别自行写出。 （二）波函数的统计解释玻恩诠释 Southwest Univ
6、ersity of Science and Technology, Mianyang, Sichuan 西南科技大学第3章 薛定谔方程的建立 波函数 与 描述同一粒子的相对概 率密度相等，即 因此，描述同一粒子之间的波函数之间允许相 差一个常数因子。 一般地说，任一波函数的模方在全空间的积分 值并非等于1，而是一个有限的数值A，即 显然: Southwest University of Science and Technology, Mianyang, Sichuan 西南科技大学第3章 薛定谔方程的建立 u波函数标准条件：连续，单值，有限。 单值：任意时刻和任一确定位置粒子出现的概率是确定的
7、。 有限: 全空间找到粒子的概率为1，则任意时刻和任一位置的波 函数（或概率幅）的数值为有限值，而且其模方可积。 连续：由粒子概率的连续方程（稍后给出）所决定，即描述粒子 的波 函数处处连续。 另外，粒子处于连续变化或有限阶跃势场中的波函数，其一 阶导数也连续。 这样，波函数 就是归一化的波函数。但它与 只差一 个常数因子，它们描述同一个粒子的概率波。 Southwest University of Science and Technology, Mianyang, Sichuan 西南科技大学第3章 薛定谔方程的建立 （二）态的叠加原理 用波函数 来描述微观粒子的量子态。当 给定 后，则粒子
8、出现的概率率密度为 。 波函数的统计解释也是波粒二象性的一种体现。 经典波：遵从叠加原理，两个可能的波动过程迭加后也是 一个可能的波动过程。如：惠更斯原理。 描述微观粒子的波是概率波，是否可叠加？意义是否与经 典相同？ Southwest University of Science and Technology, Mianyang, Sichuan 西南科技大学第3章 薛定谔方程的建立 经典物理中，光波或声波遵守态叠加原理：二列 经典波1与2线性相加， = a1+b2, 相加后的也是 一列波，波的干涉、衍射就是用波的叠加原理加以说 明的。 量子力学中，如果1与2是体系的可能波函数（ 或状态函数
9、，简称态），那么它们的线性叠加态 = c11+c22是否也是这个体系的一个可能状态？ Southwest University of Science and Technology, Mianyang, Sichuan 西南科技大学第3章 薛定谔方程的建立 若1与2为描述粒子的两个不同状态的波函数，它们的 线性叠加态 =c11+c22，表示粒子既可能处于1态又可能 处于2态，处于这两个态的概率分别为 。 u态的叠加原理 描述粒子状态的波函数和态的叠加原理是量子力学的一 个基本假设。 Southwest University of Science and Technology, Mianyang,
10、 Sichuan 西南科技大学第3章 薛定谔方程的建立 u自由粒子：不受外力场的作用，在空间中其动量和能量都不 随时间变化的粒子。 （一）自由粒子薛定谔方程的建立 u如何确定自由粒子的波函数呢？ 回顾一下电磁学中平面电磁波的数学描述。即平面电磁 波的数学表达式 更方便地写为以下指数形式 因为在求解电磁场方程组时涉及到对上述函数的一阶或二阶 偏导数运算，最后的结果取其实部，由此为计算带来方便。 3.3 薛定谔方程的建立及其性质 Southwest University of Science and Technology, Mianyang, Sichuan 西南科技大学第3章 薛定谔方程的建立
11、u试分析一下平面电磁波和自由粒子的波函数有何异同？ l平面电磁波和自由粒子的能量和动量都不随时间和空 间变化，二者在空间中的运动都是“自由的”。 l 它们分别需要一个代表波的数学函数来描述。 l平面电磁波是一种纯粹的经典波，而微观粒子的波与 粒子属性密切联系。在波函数的数学形式上应当有相似 之处，但粒子的波函数应当包含其粒子性，即通过波粒 二象性来联系爱因斯坦关系与德布罗意关系。 u薛定谔的创造性思维：利用爱因斯坦关系和德布罗意关 系，把平面电磁波表达式中表述波属性的物理量波矢量与 圆频率用动量和能量替换，便得到自由粒子的波函数 Southwest University of Science
12、and Technology, Mianyang, Sichuan 西南科技大学第3章 薛定谔方程的建立 u自由粒子薛定谔方程的建立 l自由粒子能量与动量之间的关系 l自由粒子薛定谔方程的建立 对自由粒子波函数分别求出关于时间一阶偏导数和空 间的二阶偏导数，可以得到 由此可以得到 Southwest University of Science and Technology, Mianyang, Sichuan 西南科技大学第3章 薛定谔方程的建立 即 以上方程便是自由粒子波函数随时间演化的方程，称为 自由粒子的薛定谔方程。 注意！以上过程并非薛定谔方程的推导，而是通过简单 的微分运算建立起自由
13、粒子波函数的时间与空间的演化 关系，从而得到一个“抛物型”的拟线性偏微分方程。 这是薛定谔的一个重要的思维突破。 若引进以下两个算符： Southwest University of Science and Technology, Mianyang, Sichuan 西南科技大学第3章 薛定谔方程的建立 把上述算符替代能量与动量关系，并作用于波函 数就可得到自由粒子的薛定谔方程。 其中有两个算符：梯度算符与拉普拉斯算符在直 角坐标系下的表达式为 注意！自由粒子的波函数形式是薛定谔方程的一 个解，但不是唯一解。因为按照态的叠加原理，任意 一个波包可以通过傅里叶变化展开为平面波的叠加， 即 此波函
14、数也满足薛定谔方程。请自己证明。 Southwest University of Science and Technology, Mianyang, Sichuan 西南科技大学第3章 薛定谔方程的建立 （二）一般形式的薛定谔方程 按照一般经典粒子的能量公式，粒子除了动能外还应当有 势能，即 对自由粒子的薛定谔方程进行推广，就可以得到如下一般 形式下的薛定谔方程： Southwest University of Science and Technology, Mianyang, Sichuan 西南科技大学第3章 薛定谔方程的建立 把单粒子的情况推广到多粒子体系，则多粒子体系的 薛定谔方程为
15、势能动能 电子之间排斥能 其中，电子之间的排斥势能可以进一步写为 自此，有了多粒子体系的薛定谔方程，加上初始条件和 边界条件，原则上可以求解出波函数和体系的能量。但 能得到精确解析解的问题非常少，大多数问题需要借助 计算机求解。后续的章节针对一些简单的体系或常见的 量子力学问题开展进一步的学习和研究。 Southwest University of Science and Technology, Mianyang, Sichuan 西南科技大学第3章 薛定谔方程的建立 关于薛定谔方程的讨论 l如果已知粒子质量m及势函数V的具体形式,则可以写出 具体的薛定谔方程。这是一个二阶偏微分方程，若给定初
16、 始条件和边界条件即可求解。 l薛定谔方程是建立，不是导出，薛定谔方程是量子力学 的一个基本假设，是否正确，由实验检验。 l薛定谔方程的适用范围：非相对论情况。 Southwest University of Science and Technology, Mianyang, Sichuan 西南科技大学第3章 薛定谔方程的建立 （三） 定域的概率守恒 描述微观粒子的波函数，粒子在空间某点出现的概率 密度为 在非相对论情况下，实物粒子没有产生和甄灭现象所以 在随时间演化的过程中粒子数保持不变。 粒子在一定空间区域内出现的概率怎样随时间变化？ Southwest University of Science and Technology, Mianyang, Sichuan 西南科技大学第3章 薛定谔方程的建立 薛定谔方程为 由 ，得 取其复共轭得
