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1、三角恒等变形1 两角和与差的三角函数课堂板书 1 两角和与差的余弦公式cos( ) = coscos sinsin,简记为：C 。2 两角和与差的正弦公式sin()=sincoscossin,简记为：S 。3 两角和与差的正切公式tan()=,简记为：T4 诱导公式sin()=cos,cos()= sintan()= cot,cot()= tansin()=-cos,cos()=sintan()= cot,cot()= tan简记为：“函数名互余，符号看象限”.互动学习 情境导课人们对任一事物所下结论应在对这一事物认真研究之后，而不是在之前认真研究之前可以猜想结论是什么样，可以大胆地猜，但是猜
2、完了要证明猜完了往往是先验证，经过验证发现猜错了可以再猜再验证经过多次验证没发现错，这时可以设想：猜想有可能是对的，但是要经过证明如果猜想经验证发现是错的，可再猜如果不好猜了，这时会估计结论可能不是一个非常简单的形式，难以猜测其结论这时要换一个方式去考虑，对公式C-就是把sin，cos，sin，cos当做已知量去求cos（-）这样就较自然地形成了本节对公式C-的证法重难点探究 要点1 推导和角公式与差角公式（1）推导公式cos（+）=coscossinsin.考虑如何运用两点之间的距离公式，把两角和的余弦cos（+）用、的三角函数表示的问题.公式推导思路总结：公式cos（+）的本质是用单角和的
3、三角函数表示和角+的余弦，作出角、及、+，尤其是这些角的始边应尽可能放在Ox轴上，这样才能正确地写出这些角的终边与单位圆交点的坐标.而这些坐标恰好包含了这些角的正弦和余弦，这是建立这些角的三角函数间的关系式的基础，同圆中等圆心角对等弦与平面内两点间的距离公式P1P2=为建立上述关系式提供了依据和可能.归纳公式推导过程，主要有单位圆内作角利用三角函数定义，写出各角终边与单位圆交点的坐标利用弦相等及距离公式建立等式化简这四步.（2）推导公式cos（）=coscos+sinsin.在上面的公式C（+）中，用代替，就得到cos（）=coscos（）sinsin（）=coscos+sinsin.即cos
4、（）=coscos+sinsin（C（）（3）推导诱导公式cos（）=sin,sin（）=cos.运用公式C（）可得到cos（）=cos+sinsin=0cos+1sin=sin.再把此式中的换成,可得到cos=（sin）.这样，得到诱导公式cos（）=sinsin（）=cos其中可为任意角.（4）推导公式sin（+）=sincos+cossin,sin（）=sincoscossin.运用C（+）和诱导公式，有sin（+）=cos（+）=cos）=cos（）cos+sin（）sin=sincos+cossin.即sin（+）=sincos+cossin（S（+）在公式S（+）中用代替，可以得到
5、sin（）=sincos（）+cossin（）=sincoscossin.即sin（）=sincoscossin（S（）（5）推导公式tan（+）=，tan（）=.当cos（+）0时，将公式S（+）,C（+）的两边分别相除，有tan（+）=.若coscos0时，将上式的分子，分母分别除以coscos,得tan（+）=（T（+）由于tan（）= =tan,在T（+）中以代，可得tan（）=.即tan（）=（T（）说明：公式T（）在k+,k+,+k+（T（+）需满足），k+（T（）需满足）kZ时成立，否则是不成立的.当tan、tan或tan（+）的值不存在时，不能使用T（）公式，处理有关问题时应改
6、用诱导公式或其他方法来解，比如化简tan（），因为tan的值不存在，不能用T（），而应改用诱导公式tan（）=cot.公式S（+）,C（+）,T（+）给出了任意角、的三角函数值（指正弦、余弦和正切）与其和角+的三角函数值之间的关系，为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式.类似地，公式S（），C（），T（）都叫做差角公式.要点2.理解和运用和角公式、差角公式需注意的几个问题（1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系：掌握好表中公式的内在联系及其推导线索，能帮助我们理解和记忆公式，是学好这部分内容的关键.熟悉并掌握cos（+）=coscossinsin的推导过程，它是本节和下一节所有
7、公式的根源.诱导公式是两角和与差的三角函数公式的特殊情况，、中有为的整数倍时，使用诱导公式更加灵活、简便，不要再用两角和差公式展开.（2）对于两角和与差公式的异同要进行对比和分析，便于理解、记忆和应用.明确角、函数和排列顺序以及公式中每一项的符号；要牢记公式，并能熟练地进行左右两边的互相转化；比如由sin20cos50sin70cos40能迅速地想到sin（2050）=.和差角公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成和差角公式的特例，比如cos（2+）=cos2cossin2sin=1cos0sin=cos.当、中有一个角为的整数倍时，要利用诱导公式.要点3.三个基本的三角恒等变换学习本
8、节内容，要注意结合本节有关问题掌握好以下三个基本的三角恒等变换：（1）代换；（2）公式的逆向变换与多向变换；（3）引入辅助角的变换.这三种基本变换在以后解题中要经常用到.（1）代换这是一种十分常用的数学方法，代换法解数学题是重要的解题方法，解三角题更为突出.说明：若、均为锐角，且cos=,cos（+）=,则cos=_.如果展开cos（+）进行运算,则烦琐难解，但若利用=（+）的代换，也就是cos=cos（+）,则解法十分简便，大大降低问题的难度.本部分内容主要应用角的代换，常见的角的代换关系有=（+）,=（）,=（+）+（）,=（+）（）等.（2）公式的逆向变换、多向变换使用任何一个公式都要注
9、意它的逆向变换、多向变换，这是灵活运用公式所必须的.尤其是三角公式众多，把这些公式变活，显得更加重要，这也是学好三角知识的基本功.说明：cos（）cossin（）sin化简为A.sin（2+） B.cos（2） C.cos D.cos分析：将看作一个角，看作一个角.原式=cos（）+=cos,应选C.解答本题时不仅利用角的变换=（）+，同时运用了公式的逆向变换.又例如两角和的正切公式tan（+）=.除了掌握其正向使用之外,还需掌握如下的一些变换：=tan（+）；1tantan=；tan+tan=tan（+）1tantan；tantantan（+）=tan（+）tantan等.两角和的正切公式的
10、四种变形要熟悉，在以后解题中经常使用，要变活、用活.（3）引入辅助角的变换关于形如asinx+bcosx（a、b不同时为零）的式子引入辅助角变形为Asin（x+）的形式.基本想法是“从右往左”用和角的正弦公式，把它化成Asin（x+）的形式，现在，就a、b做一般的讨论.如果a=Acos,b=Asin,那么asinx+bcosx=A（sinxcos+cosxsin）,这样就可以把原式化为Asin（x+）了.现在问题转变为A与应当怎样来确定.由cos2+sin2=1,可得()2+()2=1,A2=a2+b2.这样就得到A=，不妨取A=，于是就得到cos=,sin=，从而得tan=,因为a、b是已知
11、的，所以可以确定.归纳上述，有asinx+bcosx=（sinx+cosx）.令cos=,sin=，则原式=（sinxcos+cosxsin）=sin（x+）.（其中角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定）.例1不查表求值（1）cos75;（2）cos15.分析本题关键是将75分解成两个特殊角的和75=45+30，而将15分解成15=4530=6045皆可.解：（1）cos75=cos（45+30）=cos45cos30sin45sin30=.（2）cos15=cos（4530）=cos45cos30+sin45sin30=+=.或cos15=cos（6045）=cos60cos4
12、5+sin60sin45=+=.小结 对于cos75、cos15的值要熟悉，以后在较复杂的问题时，遇到它们的值可以直接写出.同类变式1。化简例2求的值.分析观察被求式角度特点、函数名称特点，将7用158代换，可利用差角公式先化简.对于分式，约分是解决非特殊角的有效方法，对于特殊角可直接写出三角函数值.解：=tan15=tan（4530）= =.小结（1）根据本题的特点，将7用158代换，然后利用差角公式是解答本题的关键一步.（2）解决给角求值这类问题的主要手段是通过三角变换使其产生特殊角，或者出现正负项进行抵消，或者出现分式后实行约分达到求值的目的.同类变式2。化简（tan10）.例3求tan
13、（）+tan（+）+ tan（）tan（+）的值.分析首先看角度特点，发现（）+（+）=,是一个特殊角.再观察三角函数状况，是两角（）,（+）正切的和与正切积的形式，因此可灵活地利用正切和角公式的变形式tan+tan=tan（+）（1tantan）.由此可解决一类求值问题：tan+tan+tan（+）tantan=tan（+）.例如tan17+tan43+tan17tan43=.解：tan（）+（+）=tan=,又tan（）+（+）=,tan（）+tan（+）=1tan（）tan（+）.原式=1tan（）tan（+）+tan（）tan（+）=.小结 应注意公式的逆用、变形.掌握公式的结构特征，同时掌握公式的使用条件，搞清公式的功能与作用，抓住公式的本质特征，是正确灵活运用公式解决问题的基本要求.同类变式3。化简.例4已知0,cos（）=,sin（+）=,求sin（+）的值.分析注意（+）（）=+（+
