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1、2 0 1 1 年 第 9期 中学 数学 月刊 2 1 知识 自主建构 课 堂别样精彩 “ 归纳推理” 教 学案例 杨春松 ( 江苏省常州高级 中学 2 1 3 0 0 3 ) 读 中学 数 学 教 学 参 考 2 0 0 9年 第 8期 ( 上 旬 ) “ 归 纳 推理 ” 赛 课 活 动 的 反 思 、 建 议 与 教学 设 计 一文 ， 受 益 匪浅 正好 笔 者 也 上 过 相 同内容 的 公开课 ， 感悟尤深 为此提供参加常州市同题异构 公开课的教学案例 ， 希望得到同行的指教 1 教 学过程 实录 1 1 情 境 创设感 知概 念 情 境 1 刘翔 1 1 0米跨 栏 师 ： 刘翔
2、在刚结束 的广州亚运会上取得 了怎 样 的成 绩 ? 生 ： 1 3秒 0 9 师 ： 赛 前有位 记 者 问刘 翔 的教 练 ： “ 刘 翔 在 亚 运会上会取得怎样的成绩? ” 教练回答 ： “ 根据他最 近 训练 的成 绩 都在 1 3秒 2 0内 ， 可 以猜 测 他 在 亚 运 会上 会跑 在 1 3秒 2 0内 ” 这 种思 维 过程就 是 推 理 情 境 2 佛 教 百 喻 经 中 有 这 样 一 则 故 事 从前有一位富翁想吃芒果 ， 打发他 的仆人到果 园 去 买 ， 并 告 诉 他 ： “ 要 甜 的 ， 好 吃 的 ” 仆 人 到 了果 园， 园主说 ： “ 我这里树上的
3、芒果个个都是甜的， 你 尝 一个 看 ” 仆 人说 ： “ 我 尝 一个 怎 能 知 道全 体 呢 ， 我应 当个 个 都尝 过 ， 尝一个 买 一个 ， 这样 最可 靠 ” 师 ： 故事 中仆人的做法实际吗?换作你 ， 你会 怎么做? 生 ： 我先 尝 三个 ， 如果 第 一 个 芒 果 是 甜 的 ， 第 二个 芒果 是 甜 的 ， 第 三个芒 果 也是甜 的 ， 就可 以猜 测这 个果 园的芒果 都 是甜 的 1 2过 程体 验构 建概念 师 ： 这种 思维 过程 也是 推理 我们 一 起研究 这 个思 维过 程 ， 这三 个芒 果有 什 么共 同点 ? 生 ： 都是 甜 的 ； 都是
4、这个 果 园 的 师 ： 很好 ， 第一 个 芒 果 是 甜 的 ， 第 二 个 芒 果 是 甜的， 第三个芒果也是甜的， 在得到这个果 园的芒 果都是甜的结论之前它们是 已知判断 ， 我们称它 为 生 ： 已知命题 师 ： 那么这个果园的芒果都是甜的是 生 ： 未知 命题 师 ： 我们称它为新命题 我们再欣赏其他推理方式的两个案例 ( 限于 篇 幅 ， 此 略 ) 师 ： 由以上几 个 案 例 你 能 不 能说 一说 什 么 是 推 理 ? 生 ： 从一个或几个 已知命题得出另一个新命 题 的思 维过 程称 为推 理 师 ： 任何 推理 都包 括前 提 和结论 两个 部分 ， 前 提 是推
5、理所 依据 的命 题 ， 结 论 是 根 据 前 提推 得 的 命 题 再 看这 几个 推理 案例 ： ( 1 ) 第一个芒果是甜的， 第二个芒果是甜 的， 第 三个 芒果 是甜 的 推 出 ： 这 个果 园 的芒果 都是 甜 的 ( 2 ) 与圆心距离相等的两条弦的长都相等 ， 推 测 ： 与球 心距 离相 等 的两个 截 面 圆的面积 相等 ( 3 ) 所有 的金属都能导 电， 铜是金属 ， 推断： 铜 能 导 电 师 ： 从特 殊 和一 般 的 角 度 思考 上 述 三 个 案 例 的推理过程 ， 它们各有什么特点?其结论 的准确 性 如何 ? 生 ： ( 1 ) 是特殊 到 一般 的推
6、 理 ； ( 2 ) 是 特殊 到特 殊 的推理 ； ( 3 ) 是 一般 到特殊 的推理 第( 1 ) 、 ( 2 ) 个推理的结论不一定正确 ， 第 ( 3 ) 个推理的结论一定正确 师 ： 第 ( 1 ) 、 ( 2 ) 个 推理是 合 情推理 ， 第 ( 3 ) 个 推 理是 演绎 推 理 下 面 我 们研 究 第 ( 1 ) 个 推 理 ， 它 称 为 归纳推 理 分析 这个 案例 的思 维过 程 ， 思考 怎样 的推 理称 为 归纳推 理 ? 师 ： 观察 这个 归纳 推理 的过 程 ， 它在结 构上 有 什 么特点 ? 过程 性动 态展 示 如 图 1 ： 师 ： 第一个 、 第
7、二个 、 第三个我们用字母 S ， S ， S 。 表示 你能从 以上这个具体的案例 中发现归纳推理 的一般模式吗? 生 ： 前 提 ： S 具有 ( 或 不具有 )性质 P； 2 2 中学 数学 月 刊 2 0 1 1 年第 9期 第 个芒粜是甜的， 第 个芒果是甜的， 第 三个芒果是甜的， 这三个 芒果都是果园 的芒粜。 猜想 ： 这 个果嗣的芒 果都是甜的 。 图 l S 具有 ( 或 不具 有 ) 性 质 P； S 具 有 ( 或不 具有 ) 性 质 P s ， s z ， ， 5 都是 S类事物的对象 结 论 ： S类 事 物都 具有 ( 或 不具 有 ) 性 质 P 师 ： ( 在
8、 学生 回答 的基 础 上总 结归 纳 推理 的概 念 ) 归 纳推 理 是部 分推 出整 体 ， 个 别 推 出一 般 正 是 因为 阿 基 米 德 大 胆 地 猜 想 、 推 理 ， 然 后 小 心 证 明 ， 终于发现了伟大的“ 杠杆原理” 请 同学们思考 归纳 推 理 的过程 生 ： 首先 观 察 分 析 ， 然 后 找 出共 性 ， 最 后 合 理 猜测 师 ： ( 补充 完 善 ) 归 纳推 理 的思维 过程 ： 匮豳一匮圃一匾 团 师 ： ( 引领过渡) 下面我们再探讨归纳推理的 可靠性如何 先看下面的例 1 1 3 数学 应 用 。 领 悟概 念 例 1 设 ，( ， z )
9、一 + + 4 1 ， E N ， 计 算 ( 1 ) ， -厂 ( 2 ) ， ( 3 ) ， ， ( 1 0 ) 的 值并 观 察 ， 归 纳 一 般性结 论 ， 并 用 一4 0验证 猜想 是 否正 确 生 ： ( 验证 结 束 ) 猜想 不 正确 师 ： 归纳 推 理 所 得猜 想 不 一 定 正 确 !是 不 是 归纳 推理 无价 值 呢 ?结 论 错 了怎么 办 ? 例 2 观 察 下列不 等 式 ： 号 0 ， E N ) ； 0 ，b 0 ， m 0 ) 生 3 ： 第 4个结论 错 了 师 ： 那他得到这结论 的过程是归纳推理 吗? 你可 以稍加修改使它正确吗? 生 3 ：
10、是 归纳 推理 ， 加 一条 件 a b 就 可 以了 师 ： 以上几 位都 用 归纳 推理 得 到不 同的结 论 ， 但一般化程度不同， 可能正确也可能错误 如果正 确 ， 还需证 明， 这就是我们后面要学的演绎推理 从 “ 大 胆猜想 ” ， 到“ 小 心 求证 ” 例 3 观察 4 2 +2 ， 6 3 + 3 ， 8 3 +5 ， 1 0 5+ 5 3+ 7， 1 2 5+ 7 3+ 9， 1 4 7+ 7 3 + 1 1， 1 6 5+ 11 3+ 1 3， 根 据上 述等 式左 右 两边数 字 特征 ， 请你 填空 1 8一 + 一 + ， 由此 猜 想 ： 师 ： 同学 们相 互
11、交 流一 下 ， 看看 哪个 同学 的答 案更合理 ( 小 结)真厉 害 ， 著名 的 哥 德 巴赫 猜 想 就 这样 被大 家初 步 发 现 了 !我 国数 学 家 陈景 润 ， 他 在极 其 艰 苦 的条件 下完 成 了对 哥德 巴赫猜 想 最逼 近 的 证 明 ， 至 今 无 人 能及 !数 学 中很 多猜 想 都 是 归纳 出来 的 ， 同学 们 也 可 以去 研 究 ， 提 出 有 意 义 的猜 想 1 1 4 回顾 总结 。 提炼 概念 师生共 同总结推理和归纳推理的含义， 归纳 推理的形式、 特点和作用， 归纳推理的思维过程 ( 略 ) 2 案 例 评 析 2 1 深刻理 解 教
12、材 归纳 推 理是 学 生 比较熟 悉 的推 理形 式 ， 也 是 数 学 活动 常用 的推 理 形 式 本 节教 材 主要 关 注 归 纳 推理 的形 式 ， 提升 学 生对 归纳 推理 的理 性认 识 ， 即考察归纳推理的形式 、 特点和作用 ， 其中最重要 的是理 解归 纳 推理 的思 维 过 程 ， 掌 握 归 纳 推 理 的 方 法 ， 提高 数学 思维 能力 这 是本 节教 材 的重 点所 在 ， 也 是本 堂课 教学 应该 “ 给 力 ” 之 处 2 2 创 设 合理 情境 归纳推理是数学的标志性思维方式， 但并非 数 学所 独有 所 以本 节 课 通 过 生 活实 例 和数 学
13、 实 例 创设 情境 ， 激 发 学 习动 机 ， 增 强学 习兴 趣 ， 活 跃 课堂气氛 ， 收获 良好效果 课上问到刘翔比赛成绩 时 ， 学 生几 乎 异 口同声 地 回答 ， 兴 趣 盎 然 ， 很 快 融 入 到教 学情 境 之 中 案 例 的现 实性 和趣 味性 引领 学 生 自觉 地对 客观 事 物 中蕴 涵 的一些 数 学模 式进 行思考 ， 并逐步提升为一种数学意识 2 3 有效 突破 难 点 推理 和 归纳 推 理 概 念 的形 成 过 程 比较 抽 象 ， 所 以它 既是教 学 的重 点 ， 又是教 学 的难 点 为此 笔 2 0 1 1 年第 9期 中学 数学 月刊 2
14、 3 话 不 在 多 有 效 就行 对数 学教 学语言设计 的思考 杨家党 ( 浙 江 省 苍 南桥 墩 高 级 中 学 3 2 5 8 0 6 ) 林 光来 ( 浙江 省苍 南灵 溪第二 高级 中学 3 2 5 8 0 0 ) 语言是人和人之 间互相传递信息 ， 互相交流 思 想 感情 的工 具 对 于教 师来说 ， 语 言表 达更 是一 种外在风格和 内在涵养 的综合体现， 特别是课堂 教 学 语言更 是 关 系 到课 堂 教 学 的有 效 性 在 平 时 的教学中， 很多教师不讲究教学语言的设计 ， 以为 讲授知识就是把所有 的 内容讲给学 生听就可 以 了 ， 其 实 这 种做 法 是
15、 很低 效 的 子 日 ： “ 天何 言 哉 ? 四时行 焉 ， 百物 生焉 天何 言哉 ? ” 难 道我 们 的学生 只有你 多说 ， 他 才 明白么 ?其实 不然 ， 不 是经 常听 到 有 些 学 生 埋 怨 说 ： “ 老 师 不 说 还 好 ， 越 说 越 糊 涂” 、 “ 其实那些东西我们早就知道了， 老师还大说 特说 ， 真哕嗦” 等等厌烦教师话多的话语吗?对此 我 们不 得不 反思 自己的课 堂 ， 是 否在 低效 地瞎扯 笔 者通 过十 多年 的教 学实践 和对 本校 数学 教研 组 的 观课 、 议课 的 活动 ， 发 现 教 学 中应 该遵 循 “ 话 不 在多， 有效就行” ， 要针对内容的特点 ， 恰当地进行 语 言设计 ， 才 能使课 堂 教学更 有效 下 面就 课堂 教 学语言设计的有效性谈几点思考 ， 与同行商榷 1 引入 要“ 犹 抱 琵琶半 遮面 ”激 起学 生学 习欲 望 俗话说 ： “ 万事开头难” ， 数学课 的教学也是如 此 讲 课 也 要 有一 个 好 的 引入 ， 引入 设计 得 好 ， 会 给一堂课的成功奠定 良好的基础， 从而唤起学生 强烈的求知欲望， 引导学生积极思维， 活泼愉快地 学 习 案例 1 人教版必修 4 “ 平面向量的实际背景 及 基本 概念 ” ， 有 位教 师 的引入语
