《方程的根与函数的零点》的课堂教学案例的比较研究.pdf

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1、 2 0 中学教研 ( 数学) 2 0 0 9盘 方 程 的根 与 函数 的零 点 的 课 堂 教 学 案例 的 比较 研 究 白改平 ( 浙江师范大学 教师教育学院浙江金华3 2 1 0 0 4 ) 刘芳佳 ( 大同县第二中学山西大同0 3 7 3 0 0 ) 1 问题的提出 2 O世纪初 ， 德 国数学家克莱 因提出了一 个重 要的思想以函数概念和思想统一数学教育的 内容 ， 认为 函数概 念应该 成 为数学教 育 的灵 魂 1 9 0 8年 ， 克莱 因当选 为国际数 学教育委员会的第 一 任主席 ， 并在之后 的演讲和著作 中一再强调： 教 育应该是发生性的 ， 因此空间的直观、 数学

2、上 的应 用 、 函数的概念是非常必要的 ， 应该把算术 、 代数和 几何学方面的内容 ， 用几何 的形式以函数为中心的 观念综 合起来 由此可 见 ， 高 中数 学新课程 引入 “ 零点” 的概念是 数学教育发展 的必然趋势 ， 是符 合数学教育发展规律 的 然而 ， 教材内容发生变化仅是课程改革的第一 步 ， 教师作为教学的实施者 ， 理应尽快适应并理解 新教材 只有这样 ， 课程改革才能得 以顺利实施 因 此 ， 有必要了解教师对教材 、 内容及编写意图的理 解深度究竟如何 ； 在课堂教学中是否得以体现等一 系列问题 为了结论 的可靠 性， 在研究 中选取 了 2 位在同一所重点 中学任

3、教 的、 经验丰富的优秀数学 教师 ， 深入课堂教学进行研究 2 研究方法 2 1 研究对象 考虑到教师教学年限的不 同， 其教学经验和教 学行为有所差异 ， 本研究对象 为 2位数学教师 ( 均 为男性 ) 这 2位教师都是金华地区某重点中学 的 优秀数学教师 ， 教学年限较长 ， 分别具有 1 7年 、 2 8 年教龄 ( 职称分别为一级 和高级 ) ， 都有着丰 富的 教育教学经验 ， 但教学 风格不尽相同 由于这 2位 教师的教学质量比较高， 其教学风格在2种不同类 型的教师中具有一定的代表性， 当然分析 2 节优秀 课例不一定能概况地说明所有教师的教法和思想 ， 只是试图以一些特定背

4、景和视角进行课例比较 ， 由 它们来透视和展现我国数学教师对现行数学教材 的理解与把握 2 2研 究 方 法 质的研究方法是近几年来社会科学研究 中受 到青睐的一种研究方法 ， 它是 “ 以研究者本人 ” 为 研究工具 ， 在 自然情境下采用多种资料收集方法对 社会现象进行整体性探究 ， 使用归纳法分析资料和 形成理论 ， 通过与研究对象互动对其行为和意义建 构获得解释性理解 的一种活动” 基 于这样 的研究 规范 ， 我们扎根于数学课 堂， 选取 中学教师 2节课 ( 各一节新授课 ) 作为研究个案 为了尽量真实地 反 映教学情况 ， 又不对教师 与学生产生过 多 的干 扰 ， 我们采用了摄

5、像机录下课 堂教学 的全过程 ， 同 时又做了现场笔记 ， 记下板书内容 、 学生行 为与重 要反应 3 案例聚焦的几个问题 3 1 教与学的流程 3 1 I 一级教师的教与学流程 ( I ) 定义 板书课题； 让学生回忆一元二次方程求根公式， 并求一 个具体方程的根； 叙述并板书函数零点的定义； 教师叙述并板书函数的零点与方程的关系 ( 2 ) 函数零点的性质 教师画出二次函数的图像并让学生回答零 点的个数和区间； 教师询问原因； 叙述性质， 并举例解释性质应注意的地方 ( 3 ) 解题 教师先出示一道题 目， 学生 口述教师追问细 节并板书 ； 教师再出示一道综合性题 目， 请学生 口述解

6、 法并追问 ； 变式提问， 并总结该类题 目 ( 4 ) 小结 教师作总结 3 1 2 高级教师的教与学流程 ( 1 ) 定义 根据二次函数图像写出函数解析式； 分析函数值等于 0时的情况与对应方程的 根之间关系 ， 并板书课题 ； 让学生叙述函数零点的定义； 对照书本让学生复述函数零点定义 第 1 O期 白改平， 等： 方程的根与函数的零点 的课堂教学案例的比较研究 2 l ( 2 ) 解题 让学生回答上述二次函数的零点； 出示2道求函数零点的题目， 教师提问学生 回答 ( 3 ) 性质 1 根据题 目再次强调 函数的零点与方程的关系 ， 并板书关系图 ( 4 ) 零点的性质 再次利用出示的

7、二次函数图像提问学生零 点附近的点 函数值的变化 ， 教师给以引导 ； 学生自 行得出函数零点的性质； 让学生阅读课本中函数零点的性质 ； 教师再次强调 函数零点的关系 ， 指出存在零 点个数等于方程的实根 ( 5 ) 解题 教师先出示 1道题 目， 学生 口述 ， 教师追 问 细节并板书 ； 学生独立做课本练习， 并叫2 位学生上黑板 板演 ； 教师出示综合性练习题一道， 教师分析 ( 6 ) 小结 教师作总结 从上面 2位教师的教学流程来看 ， 两者均经历 了“ 引人一建立函数零点概念一寻找零点性质一 练习一小结” 这样 5个环节 从 2堂课的感观来看 ， 它们的基本要素和教学策略很类似

8、： 具体教学内容 类似， 譬如有些例题、 练习题都是一样的； 他们也采 用 了相似的学生活动形式 ： 多种解法 、 师生问答 ， 等 等 这恰好反映了我 国数学教学 的基本特点 ： 在课 堂上， 我们 的优秀教师 十分重 视通过练 习加强对 “ 双基” 的训练， 意在培养高水平的思维能力 3 2 教 学 目标的预定与实现 2 0 世纪5 0 年代， 英国哲学家波兰尼提出人类 大脑 中的知识可 以分为 2大类 ： 明确知识 ( e x p l i c i t k n o w l e d g e ) 和 “ 默会知 识”( t a c i t k n o w l e d g e ) 前者 可以言传

9、， 后者却不能言传， 不能系统表达 明确知 识存在于书本之中， 它可编码、 传递、 反思， 它告诉 我们“ 是什么” 和“ 为什么” ， 主要是事实和原理； 而 “ 默会知识” 存在于个人经验之中， 镶嵌于实践活 动之中， 它告诉我们“ 怎么想” 和“ 怎么做” ， 其本质 是理解力和领悟性 在 教学中， 基于 明确知识 的教 学 目标往往是显性 的， 教师 比较易 于把握 ； 而基 于 “ 默会知识” 的教学 目标往 往是 隐性 的， 教师容易 忽视并难以把握 从本节课的教学流程看 ， 2位教师都 比较注重 学生对外显性知识的理解 ， 而对 内隐性知识 的关注 度都比较淡薄 人民教育出版社

10、数学 ( 必修 1 ) 课本中涉及“ 方程的根与函数的零点” 教学内容以 及高中数学课程标准中的教学建议， “ 方程的根与 函数 的零点 ” 教学 目标如下 ： ( 1 ) 通过对二次 函数图像 的描绘 ， 了解 函数零 点的概念 ， 渗透 由具 体到抽象思想 ， 领会 函数零 点 与相应方程实数根之间的关系 ( 2 ) 理解提出零点概念的作用， 沟通函数与方 程 的关 系 ( 3 ) 通过对现实问题 的分析 ， 体会用 函数系统 的角度去思考 方程 的思想 ， 理解 动与静 的辩证关 系， 掌握函数零点存在性的判断 ( 4 ) 在 函数与方程 的联 系 中体验数形 结合思 想和转化思想的意义

11、和价值， 发展学生对变量数学 的认识， 体会函数知识的核心作用 按照这样 4个 目标 ， 学生的学习任务有 3个主 要方面 ： 一 是建立 “ 函数零 点”的概念 ； 二 是掌 握 “ 函数与方程的关系” ； 三是体会“ 函数方程思想与 数形结合思想” 该学习任务对应的教学任务从学 生认知 的角度 ， 就应当是 “ 让学生理解 什么是 函数 的零点 ” 、 “ 让学生理解为什么要学习函数零点 ” 以 及“ 渗透函数方程思想与数形结合思想” 从这个 角度来 分 析 ， 2位教 师在进行 函数零点 概念 教学 时 ， 并没有搭建出完成这个 学习任务 的合理 “ 脚手 架 ” ， 数学概念 的引 出

12、都显得欠 自然 两者 都是直 接从 一元二次方程出发展开讨论 ， 但是在课后访谈 中我们 了解到学生对学 习函数零点 的必要 性还是 不明白 教科书的编写是从学生 已有 的知识 出发 ， 回忆初中已经学习过二次函数 的图像与一元二次 方程 的关系引入 函数零点的概念 ， 这是正确 的 但 是在教学 中如何处理?如何呈现 ?是另一个值得 研究的教学处理 的问题 教师应 创造 性地使用 教 材 ， 根据学生、 教师 、 硬件等情况对教材进行适 当重 组 可见 ， 教师在备课过程中对教材编写者的意图 并没有研究清楚 ， 驾驭新教材的能力还有待提高 3 3 对教材 结构整体性的理解 高中课程标准中对新

13、增的 函数与方程 一节 的要求是 ： ( 1 ) 结合 二次函数 的图像 ， 判断一元二 次方程根的存在性及根 的个数 ， 从而 了解 函数零点 与方程 的关 系； ( 2 ) 根据具体 函数 的图像 能够借助 2 2 中学教研 ( 数学) 2 0 0 9盎 计算器用二分法求相应方程的近似值， 了解这种方 法是求方程近似解的常用方法 容易看 出 方程 的 根与函数的零点 这一节内容作为函数的应用， 其 主要意图是通过本节内容的学习为后面求方程的 根做准备， 应视为二分法求根的先期理论准备， 使 学生了解“ 逐步逼近” 的原理求方程 的根 可见 ， 新 教材增加这节 内容可谓匠心独运 ， 具有很

14、深刻 的作 用 从整个教学过程来看 ， 2位教师存在明显差异 ( 见以下教学片段) ， 相对而言高级教师对教学过 程更具有整体的考虑 ， 更能表现出关注新旧知识 的 衔接、 对学科知识前后一贯的通彻理解 4 高级教师教学片段 内容 ： “ 函数 Y= l n x+ 2 x一 6的零点个数” 探究过程 ： 师 ： 请同学们思考如何解决上述问题 ( 学生思考 ) 生 1 ： 函数 Y=l n x+2 x一6的零点就是求方程 l n x+ 2 x一 6= 0的根 师： 很好， 那怎么求方程 l n x+ 2 x 一 6 = 0的根? 生 1 ： 利用韦达定理 师 ： 韦达定理行吗? 生： 不行 ，

15、它仅适合一元二次方程 ( 学生沉默 ， 思考 ) 生 2 ： 画图像 师 ： 怎么画? 生 2 ： 列表描点 师 ： 好 ， 在定义与范围内如何列表 生3 ： 利用计算器操作， 如表 1 表 1 函数值统计表 Y 一41 3 0 6 8 51 0 9 8 61 2 3 3 8 6 2 9 4 5 6 0 9 4 3 8 7 1 7 5 9 9 9 4 5 9 1 生 ： 学生动手绘 图 生 3 ： 根据图像可知有一个零点 师 ： 为什么只有一个零点? 生 3 ： 不知道 生4 ： 因为函数Y= l n x+ 2 x 一 6 在 0 ， +。 。 上 是增 函数 师 ： 为什么? 生 4 ： 因为当 增大时 ， Y也增大 生5 ： 因为Y = l n x 在 0 ， + o o 上是增函数， Y = 2 x 一 6 在 0 ， +。 。 上也是增函数， 所以和函数 Y = l n x+ 2 x一 6在 O， + 上是增函数 师： 这里零点介于那个 区间? 生： 2 ， 3 ， 0 ， 3 ， 0 ， 5 ， ( 学生不断提 出) 师 ： 不错 ， 但哪个 区问更能 比较准确地反映 出 零点的范 围呢? 生： 2 ， 3 师 ： 很好 ， 说明零点介于整数 2与 3之间 ， 可不 可以再缩小范围呢? 生 ： 可 以 师 ： 请