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1、 湖南大学毕业设计(论文) 第II 页HUNAN UNIVERSITY毕业设计(论文)论文题目 学生姓名学生学号专业班级自动化三班学院名称电气与信息工程学院指导老师学院院长2015 年5 月 25日基于低秩约束的图像复原研究摘要稀疏低秩矩阵分解，也叫鲁棒主成分分析，目前应用在许多计算机图像处理领域，如图像去噪、人脸识别、填充信息、低秩纹理结构、背景恢复等。本文重点讨论低秩矩阵分解模型的求解过程，讨论了如何在原有基础上加快算法运行速度及提高精度的问题，应用于图像去噪及修复中。低秩矩阵恢复，指当原矩阵是低秩的或者近似低秩，矩阵的一小部分元素被破坏后，自动识别出被破坏的元素，并将其恢复。所以低秩矩阵
2、恢复又被命名为鲁棒主成分分析(RPCA,RobustPrincipal Component Analysis),或者低秩稀疏矩阵分解(LRSMD,The low rank and sparsematrix decomposition)。假设矩阵 D，是由一个低秩矩阵受到一个稀疏噪声矩阵的破坏，这样就可以运用LRMR来进行问题的求解,通过凸优化问题，以A的秩最小为目标，满足D=A+E的条件下，不断迭代矩阵A和E，最后输出矩阵，A即为原矩阵，E为稀疏噪声矩阵。关键词：低秩；稀疏；APG；图像恢复；F范数Low rank constraints based on image restoration
3、research AbstractSparse matrix low rank decomposition, also called robust principal component analysis, the current application in many fields of computer image processing, such as image denoising, face recognition, filled with information, low rank texture, background restoration etc. This paper fo
4、cuses on the process of solving the low rank matrix decomposition model, discusses how to speed up the running speed of the algorithm and improve the accuracy of the problem on the basis of the original, used in image denoising and restoration.Low rank matrix recovery, when the original matrix is of
5、 low rank or approximate low rank matrix, a small part of the elements are destroyed, automatically identify the damaged elements, and its recovery. If the matrix D, is composed of a low rank matrix is a sparse matrix of noise damage, so you can use LRMR to solve the problem, through the convex opti
6、mization problem, whose objective is to minimize the rank of A, to meet the condition of D=A+E, A and E iterative matrix, the final output matrix, A for the original matrix, sparse matrix E noise.Keywords：low rank; sparse; APG; image restoration; F norm目录摘要IAbstractII第一章 绪论11.1图像修复的背景及目的11.2低秩矩阵恢复国内
7、外研究现状2第二章 低秩分解理论基础32.1低秩矩阵数学理论32.1.1矩阵奇异值分解32.1.2范数32.1.3凸优化问题42.1.4稀疏矩阵42.2低秩矩阵恢复概述42.3低秩矩阵恢复应用52.3.1矩阵填充(Matrix Completion)：52.3.2鲁棒PCA：62.3.3背景建模：82.3.4变换不变低秩纹理（TILT）：9第三章 低秩矩阵分解求解算法93.1概述93.2 加速近端梯度法APG103.3 部分加速近端梯度法113.4 精确增广拉格朗日乘子法ALM123.5 非精确增广拉格朗日乘子法IALM13第四章 低秩图像去噪及复原实验154.1图像噪声模型154.2椒盐噪声
8、的去除164.3图像划痕修复194.4高斯噪声的去除21第五章 总结与展望25 湖南大学毕业设计(论文) 第 27 页第一章 绪论1.1图像修复的背景及目的Bertalmio在2000年首次提出图像修补（image inpainting），指利用损坏图像已知信息，按照一定规则对损坏区域进行修补。它是对图像上信息缺损区域进行信息填充的过程，其目的是恢复有信息缺损的图像，并使观察者无法察觉图像曾经缺损或已被修复。但他缺少足够信息保证唯一正确的修复结果，因此是一个病态问题，解得合理性取决于人类视觉系统的接受程度。该项技术在文物保护、影视特效制作、老照片的修复、图像中文本的去除、划痕的修复、障碍物的去
9、除以及隐藏视频错误等方面，有着很高的应用价值。该领域的研究，国外正在蓬勃发展，国内尚处于起步阶段。目前图像修复技术主要是两大类：第一类主要修复缺损比较小的数字图像。即，利用缺损区域的周边信息，估计等照度线的方向，并采用传播机制，推测出缺损区域的信息，达到修补原图的效果；第二类是用于填充丢失了大量信息的图像补全技术。目前，填充图像的技术又可以分为以下两种方法：一种是用图像分解来修复原图，其主要思想是将图像分为纹理部分和结构部分两部分。其中，结构部分我们可以用inpainting的技术，而纹理部分我们则可以用填充的方法。第二种方法我们可以用块的纹理合成技术，其主要思想是：首先选取缺损区域的边界上的
10、任意一个像素点，然后根据该像素点周围图像的纹理特征，确定合适纹理块的大小，然后在缺损区域的周围找到一个能与之匹配的纹理块来替代该纹理块。最近几年，利用纹理合成的图像合成技术来修复缺损大量信息的图像已经成为一个热点，也取得了相当大的成果。但是，图像修复技术是一种对视觉感知过程的学习和理解。它是一个不确定问题，没有唯一解的存在，解的合理性取决于视觉系统的接受程度。换言之，为了达到较好的视觉效果，我们必须让修复效果更加符合视觉感知的特性，使得图像看起来浑然一体，没有修改过的痕迹。按照适用范围的不同，图像修复算法可以范围三类：平缓区域的修复算法、结构性区域的修复算法、纹理区域的修复算法。基于结构的修复
11、算法适应于较小范围的损坏，但当缺损区域比较大时，由于算法局限性会使得图像变得模糊。并且它不能修复纹理图像。基于结构的修复算法通过一个点向周围扩散相应的信息，它是基于点来恢复图像；而基于纹理的修复方法是通过一个块来寻找全图中与之相似的另一个块来修补缺损，它是基于块的分析方法。这两种方法在信息的运用方面有所不同，基于结构的方法只能利用缺损区域周边的相关信息来恢复原图，它有很多信息没有运用到，具有一定的局限性，而基于纹理的方法则是通过检索全图所有的信息来恢复原图，能充分利用所有的信息。还从物理意义上讲，矩阵的秩度量的就是矩阵的行列之间的相关性。如果矩阵的各行或列是线性无关的，矩阵就是满秩的，也就是秩
12、等于行数。既然秩可以度量相关性，而矩阵的相关性实际上有带有了矩阵的结构信息。如果矩阵之间各行的相关性很强，那么就表示这个矩阵实际可以投影到更低维的线性子空间，也就是用几个向量就可以完全表达了，它就是低秩的。所以我们总结的一点就是：如果矩阵表达的是结构性信息，例如图像、用户-推荐表等等，那么这个矩阵各行之间存在这一定的相关性，那这个矩阵一般就是低秩的。1.2低秩矩阵恢复国内外研究现状 图像复原是数字图像处理领域中的一个重要分支，科研工作者已对它研究了很长一段时间，国内外都已经有了很多成熟的算法,现有的图像复原可分为两大类：图像非盲复原和图像盲复原。 图像非盲复原算法，指的是已知噪声的类型和大小参
13、数，它的恢复方法一般比较简单，比如均值滤波，去卷积的方法等。其中，去卷积算法主要包括功率谱均衡、维纳滤波和几何平均值滤波等，这些算法应用范围较小，需事先知道噪声的类型，才能选取合适的恢复算法，这要求获得大量的样本并建立相应的模型，并且这些算法只适合于噪声信号不相干系统和线性空间不变系统。线性代数算法主要是通过已知的降质因子和噪声特性，运用线性代数的方法求解图像复原问题，它也有很多弊端，比如如果退化函数有接近零的特征值时，图像复原就会对噪声特别敏感，并且该方法的处理对象是图像的整体，计算量比较大，在复原图像的纹理和边界时效果不理想。国外的学者们针对这些问题提出了很多改进的算法，比如全局最小二乘法
14、、约束总体最小二乘法和正则化约束总体最小二乘法。 近年来，发展迅速的小波理论在图像复原问题中也得到了广泛的应用。Belge 等人提出了一种基于小波域边缘保持正则化方法，给出了小波域图像复原的一般框架。第二章 低秩分解理论基础2.1低秩矩阵数学理论2.1.1矩阵奇异值分解假设M是一个mn阶矩阵，其中的元素全部属于域 K，也就是 实数域或复数域。如此则存在一个分解使得M = UV*，其中U是mm阶酉矩阵；是半正定mn阶对角矩阵；而V*，即V的共轭转置，是nn阶酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解。对角线上的元素i,i即为M的奇异值。2.1.2范数矩阵范数的概念 设ACmn，定义一个实值函数|A|
15、，若满足：(1) 非负性：|A|0，且|A|=0当且仅当A=0； (2) 齐次性：|aA|=|a| |A|，aC； (3) 三角不等式：|A+B|A|+|B|，A,B Cmn; (4) 相容性：|AB|A| |B|，则称|A|为A的矩阵范数。在许多优化问题中，我们经常用L1范数来代替L0范数，一是因为L0范数很难优化求解（NP难问题），二是L1范数是L0范数的最优凸近似，而且它比L0范数要容易优化求解。L0范数是指向量中非0的元素的个数。如果我们用L0范数来规则化一个参数矩阵W的话，就是希望W的大部分元素都是0。L1范数是指向量中各个元素绝对值之和，也叫“稀疏规则算子”（Lasso regularization）。L2范数是指向量各元素的平方和然后求平方根。我们让L2范数的规则项|W|2最小，可以使得W的每个元素都很小，都接近于0，但与L1范数不同，它不会让它等于0，而是接近于
