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1、椭圆的定义及其标准方程教学设计 作者： 日期：2 个人收集整理，勿做商业用途课题：2.1.1椭圆的定义及其标准方程鹿城中学 田光海一、教案背景：1.面向对象：高中二年级学生2.学科：数学3.课时：2课时4.教学内容：高中新课程标准教科书数学北师大版选修1-1第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程二. 教材分析本节课是圆锥曲线的第一课时，它是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础。因此这节课有承前启后的作用，是本章的重点内容之一。 1.
2、 教法分析结合生活经验观察发现、启发引导、探究合作。在学生的生活体验、直观感知、知识储备的基础上，引导学生逐步建构概念，为学生数学思想方法的形成打下基础。利用多媒体课件,精心构建学生自主探究的教学平台,启发引导学生观察,想象,思考,实践,从而发现规律、突破学生认知上的困难，让学生体验问题解决的思维过程，获得知识,体验成功。主要采用探究实践、启发与讲练相结合。2. 学法分析从知识上看，学生已掌握了一些椭圆图形的实物与实例，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步的认识。从学生现有的学习能力看，通过一年多的学习，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一
3、定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。从学生的学习心理上看，学生头脑中虽有一些椭圆的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给椭圆以数学描述?如何“定性”“定量”地描述椭圆是学生关注的问题，也是学习的重点问题。他们渴望将感性认识理性化，渴望通过自己动手作图、观察来辨析和完善概念，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。3.教学目标知识与技能：掌握椭圆的定义；理解椭圆标准方程的推导过程，掌握椭圆标准方程的两种形式，会运用待定系数法求椭圆的标准方程。过程与方法：经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，逐步提高学生的观察、分析、归纳、类比、概括能力；通过椭圆
4、标准方程的推导，进一步掌握求曲线方程的一般方法坐标法，并渗透数形结合、等价转化的数学思想方法。情感、态度与价值观：通过课堂活动参与，激发学生学习数学的兴趣，提高学生审美情趣，培养学生勇于探索的精神。4.教学重点与难点重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式难点：椭圆的标准方程的建立和推导教学方法 5.教学准备通过百度搜索与椭圆有关的图片资料，利用百度搜索相关的教学资料制作多媒体课件，自制教具：绘图板、图钉、细绳。三、教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图创设情景引入新课情景1：用圆柱状水杯盛半杯水，将水杯放在水平桌面上，截面为圆形当端起水杯喝水时，水杯倾斜，再观察水平面，此时截面为椭圆形（演
5、示）问题1：联想生活中还有哪些是椭圆图形？情景2：问题2：（1）圆是怎么画出来的？（2）圆的定义是什么？（3）圆的标准方程是什么形式的？猜想：1、椭圆是怎么画出来的？2、椭圆的定义是什么？3、椭圆的标准方程又是什么形式？学生观察学生举例学生思考后回答。引入生活情境激发学生的学习欲望，自然引入新课，同时与其实际相联系，拓宽学生思维，发展他们联想、类比能力。使学生在感叹祖国科技辉煌发展的氛围中认识椭圆。用类比的思想，通过已经学过的圆的知识猜想椭圆，开展后续教学。互动探究形成概念探究1将圆心从一点“分裂”成两点，给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张纸板，能画出椭圆吗？让学生自己动手画图，使其探究性学
6、习，再提出以下问题：思考1：在纸板上作图说明什么？思考2：在作图过程中，有哪些物体的位置没变？有哪些量没有变？思考3：若调节两图钉的相对位置，所得到的图形有何变化？根据椭圆画法，从中归纳椭圆定义与两个定点的距离之和为定长（绳长）的点的轨迹为椭圆（绳长大于两定点间距离）动态演示动点生成轨迹的全过程，印证猜想同桌同学按照老师的要求合作画图，并思考轨迹上的点具备什么特点。展示学生成果。请学生代表本小组交流探究结论：给学生提供一个动手操作，合作学习的机会；通过实验让学生去探究“满足什么样的条件下的点的集合为椭圆”；让每个人都动手画图，自己思考问题，由此培养学生的自信心。互动探究深化概念探究2在绳长不变
7、的情况下，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有何变化？当两个图钉重合在一起时，画出的图形是什么？当两个图钉之间的距离等于绳长时，画出的图形是什么？当两个图钉之间固定，能使绳长小于两个图钉之间的距离吗？定义：平面内与两个定点距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫椭圆。教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。思考1：焦点为的椭圆上任一点M，有什么性质？令椭圆上任一点M，则有，补充：若时，轨迹是线段；若时，无轨迹。思考2：刚才在画图时，大家的绳长是一样的，但是画出的椭圆一样吗？椭圆的圆扁程度与什么有关？F1F2MF1 、F2位置越近椭圆愈圆，F1 、F2位置越远椭圆越扁利用动画显示
8、结果学生通过课件观察变化情况请学生给出经过修改的椭圆定义学生思考后回答使学生经历椭圆概念的生成和完善过程，提高其归纳概括能力，加深对椭圆本质的认识，并逐渐养成严谨的科学作风研讨探究推导方程前面我们已经得到椭圆的定义，那么由椭圆定义，我们能不能推导出椭圆的方程。问题3：求曲线方程的一般步骤是什么？建系、取点；列式；代换；化简；证明下面由同学根据这两个问题分组讨论椭圆方程的求法。（1）要建立椭圆方程应该如何建立坐标系？ （2）椭圆上动点M满足什么条件？尤其在化简过程中，对于根式的处理，学生会感到困难，教师进行提示。（把学生推导椭圆方程的具有代表性的方法，在实物展台上投影。）问题：通过对比学生求出椭
9、圆各种形式的方程，你能发现什么规律？哪一种方程最简洁？方程（）（）叫做椭圆的标准方程。它表示焦点在轴上，焦点坐标为，其中（），它也是椭圆的标准方程。此时，椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为，其中我们可以发现，以上两种方案是最好的。问：观察一下焦点分别在x轴、y轴上的椭圆的标准方程，如何根据方程判断其焦点在x轴上还是在y轴上？(看分母大小，哪个分母大焦点就在哪一条轴上)说明：(1)在两个方程中，总有ab0 (2)椭圆的三个参数a、b、c满足：即 ，a最大(3)要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。例如椭圆（，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。学生回答学生先独立思考，之后全班交流，
10、确定最后的解决方案，然后分工合作，共同完成，之后再交流。学生思考后主动发言回答。以上三条，尽量由学生总结出充分发挥学生的学习主动性。通过坐标系的不同选择，用不同的方法得到不同的方程，通过比较体会曲线的方程的不确定性，理解曲线与方程的关系，感受恰当选择坐标系的优越性，感受标准方程的简洁、对称、和谐之美，并在实践中通过对比提高决策能力、计算能力、培养学生简约的思维能力。培养学生的观察、分析归纳能力。例题研讨变式精析例1.适合下列条件的椭圆的标准方程(1) a =4，b=1，焦点在 x 轴(2) a =4，c= ，焦点在 y 轴上(3)两个焦点的坐标是（ 0 ，-2）和（ 0 ，2） 并且经过点（
11、-1.5 ，2.5）解: (1)因为焦点在x轴上,所以设所求方程为 a=4, b=1 所求方程为(2) 因为焦点在y轴上,所以设所求方程为 a=4, b=1 所求方程为(3) 因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为 由椭圆的定义知,所以所求椭圆方程为例2.我国发射的神舟八号飞船变轨前，是在以地心F2为一个焦点的椭圆轨道上运行，已知它的近地点B距地面200公里，远地点A距地面330公里，并且F2、A、B在同一直线上，地球半径约为6371km，求轨道方程（精确到1km）。学生独立完成学生讨论培养学生运用知识解决问题能力解决情景设置中的问题练习检测当堂巩固1、如果椭圆上一点P到焦点F1距离是6
12、，则点P到另一个焦点F2距离是 。2、 求适合下列条件的椭圆的标准方程（1）两个焦点坐标分别是（0，2），（0，-2），椭圆经过点P(2)a+b=10,c=学生练习检测学习成果总结概括课后提升最后进行课堂小结，先由学生小组讨论，再个别提问，然后集体补充，最后教师才引导和完善。师生应共同归纳本节所学内容、知识规律以及所学的数学思想和方法。这一节课你收获到了什么？布置作业层次1 1.教材练习A 3.4题 练习B 第二题2.你能用直尺和圆规作出椭圆上的任意一点吗？作图的依据是什么？根据你的作图方法，能找到与之相应的方法求出椭圆方法吗？层次2 课后利用【百度搜索】深入的对椭圆的相关知识进行了解。学生总结出在知识、数学思想等方面的收获摆脱传统教学中教师小结的做法，以表格形式出现，让学生自己总结，加深对本节课内容的认识层次1的目的是强化巩固本节内容层次2的目的是激发学生学习的兴趣，提高数学文化品位。六、板书设计椭圆的标准方程1、椭圆的定义2、椭圆的标准方程（1）、焦点在轴上（2）、焦点在轴上椭圆标准方程的推导过程书写例1：例2：（1）详写（2）写关键步骤七、教学反思本节课整个教学过程为：提出问题探索解决问题归纳反思提高。在问题的设计中，从多角度探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成。本节课以问题为纽带，以探究活动为载
