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1、非线性电路中的混沌现象四：数据处理：1 计算电感L相位法：本实验采用相位测量。根据RLC谐振规律，当输入激励的频率时，RLC串联电路将达到谐振，L和C的电压反相，在示波器上显示的是一条过二四象限的45度斜线。测量得：f=30.5 k Hz；实验仪器标示：C=1.145nF由此可得：振幅法此时示波器上输出的正弦图像达到振幅最大 测量得：f=30.56k Hz估算不确定度：估计u(C)=0.005nF，u(f)=0.1kHz则：即最终结果：相位法 振幅法 2用一元线性回归方法对有源非线性负阻元件的测量数据进行处理：（1）原始数据：RVRVRV64701-122044.4-81752.6-42050
2、0-11.82035.8-7.81726.6-3.812000-11.62026.7-7.61698.8-3.68360-11.42017.2-7.41668.6-3.46360-11.22007.4-7.21635.8-3.25080-111996.8-71600.4-34200-10.81986.0-6.81561.6-2.83560-10.61974.6-6.61518.6-2.63067-10.41962.7-6.41470.9-2.42680-10.21950.1-6.21418.3-2.22369-101936.9-61360.0-22117-9.81922.9-5.81294.0
3、-1.82102.6-9.61908.2-5.61281.5-1.62096.8-9.41892.7-5.41276.6-1.42089.8-9.21876.2-5.21270.1-1.22082.9-91858.8-51261.0-12075.8-8.81840.1-4.81247.7-0.82068.4-8.61820.2-4.61226-0.62060.7-8.41799.2-4.41185.0-0.42052.8-8.21776.7-4.21075.0-0.2VRR1（2）数据处理：根据可以得出流过电阻箱的电流，由回路KCL方程和KVL方程可知：由此可得对应的值。对非线性负阻R1，将实
4、验测得的每个（U,I）实验点均标注在坐标平面上，可得：图中可以发现，（0.0046336，-9.8）和（0.0013899，-1.8）两个实验点是折线的拐点。故我们在、这三个区间分别使用线性回归的方法来求相应的I-U曲线。使用Excel的Linest函数可以求出这三段的线性回归方程：经计算可得，三段线性回归的相关系数均非常接近1（r=0.99997），证明在区间内I-V线性符合得较好。应用相关作图软件可以得出非线性负阻在U0区间的I-U曲线3观察混沌现象：（1）一倍周期： （2）两倍周期： （3） 四倍周期： （4）三倍周期 四倍周期（5）单吸引子： （6)阵发混沌 (7) 双吸引子 4使用计
5、算机数值模拟混沌现象：（1）源程序（Matlab代码）：算法核心：四阶龙格库塔数值积分法文件1：chua.mfunction xx=chua(x,time_variable,aaa,symbol_no)h=0.01;a=h/2;aa=h/6;xx=;for j=1:symbol_no;k0=chua_map(x,time_variable,aaa);x1=x+kO*a;k1=chua_map(xl,time_variable,aaa);xl=x+k1*a;k2=chua_map(x1,time_variable,aaa);x1=x+k2*h;k3=chua_map(x1,time-variab
6、le,aaa);x=x+aa*(kO+2*(k1+k2)+k3);xx=xx x;end文件2：chua_initial.m:function x0=chua_initial(x,aaa)h=0.01;a=h/2;aa=h/6;x=-0.03 0.6 -0.01;k0=chua_map(x,1,aaa);x1=x+k0*a;k1=chua_map(xl,1,aaa);x1=x+k1*a;k2=chua_map(x1,1,aaa);x1=x+k2*h;k3=chua_map(x1,1,aaa);x=x+aa*(k0+2*(kl+k2)+k3);for k=2:400kO=chua_map(x,k
7、,aaa);x1=x+k0*a;k1=chua_map(x1,k,aaa);x1=x+k1*a;k2=chua_map(x1,k,aaa);x1=x+k2*h;k3=chua_map(xl,k,aaa);x=x+aa*(kO+2*(k1+k2)+k3);endx0=x;文件3：chua_map.m:functionx=chua_map(xx,time_variable,aaa)m0=-1/7.0;m1=2/7.0;if xx(1)=1hx=m1*xx(1)+m0-m1;elseif abs(xx(1)=1hx=m0*xx(1);elsehx=m1*xx(1)-m0+m1;endA=0 9.0
8、01.0 -1.0 1.0O aaa 0;x=A*xx;x=x+-9*hx 0 O;文件4：chua_demo.mx0=0.05*randn(3,1);x0=chua_initial(x0,-100/7);xx=chua(x0,1,-100/7,20000);plot(UVI(1,1:end),UVI(2,1:end); xlabel(Uc1 (V);ylabel(Uc2 (V); figure; plot3(UVI(3,1:end),UVI(2,1:end),UVI(1,1:end) xlabel(I (V);ylabel(Uc1 (V);zlabel(Uc2 (V); (2)对于本实验，其
9、微分方程组的求解还可以采用离散化的处理。具体代码如下：（Matlab代码）function discrete_chai dt=0.04; c1=1/9; c2=1; L=1/7; G=0.7; N=10000; a0=0.8;a1=0.1; MT=1-dt*G/c1,dt*G/c1,0;dt*G/c2,(1-dt*G/c2),dt/c2;0,-dt/L,1; UVI=zeros(3,N); UVI(:,1)=0.1;0.1;0.1; for k=1:N-1; Bd=-dt/c1*a0*UVI(1,k)*(a12*UVI(1,k)2/3-1);0;0; UVI(:,k+1)=MT*UVI(:,k
10、)+Bd; end plot(UVI(1,1:end),UVI(2,1:end); xlabel(Uc1 (V);ylabel(Uc2 (V); figure; plot3(UVI(3,1:end),UVI(2,1:end),UVI(1,1:end) xlabel(I (V);ylabel(Uc1 (V);zlabel(Uc2 (V);经验证：该代码的执行效率比四阶龙格库塔数值积分法要高，但初始精度稍差。（2）数值仿真结果：改变G的值，当G=0.7时，数值仿真出现双吸引子：Uc1-Uc2图使用matlab的Plot3可以做出I-Uc1-Uc2的三维图：I-Uc1-Uc2图改变G值，使G=0.3
11、5，数值仿真出现单吸引子：在结果中可以看到，计算机数值模拟的相图特点和前述示波器的相图极为相似。同时利用计算机可以方便地更改系统参数，充分显现出计算机仿真的优越性。7、 实验后思考题：1什么叫相图？为什么要用相图来研究混沌现象？本实验中的相图是怎么获得的？答：将电路方程x=V1(t)和y=V2(t)消去时间变量t而得到的空间曲线，在非线性理论中这种曲线称为相图。在非线性理论中，我们会看到使用运动状态之间的关系，更有利于揭示事物的本质，它突出了电路系统运动的全局概念。在本实验中，示波器CH1端接Vc1电压，CH2端接Vc2电压，这样就能获得Vc1-Vc2相图。2什么叫倍周期分岔，表现在相图上有什
12、么特点？答：系统在改变某些参数后，运动周期变为原先的两倍，即系统需要两倍于原先的时间才能恢复原状。这在非线性理论中称为倍周期分岔。倍周期分岔在相图上表现为原先的一个椭圆变为两个分岔的椭圆，运动轨线从其中的一个椭圆跑到另一个椭圆，再在重叠处又跑到原来的椭圆上。3什么叫混沌？表现在相图上有什么特点？答：混沌大体包含以下一些主要内容：（1） 系统进行着貌似无归律的运动，但决定其运动规律的基础动力学却是决定论的；（2） 具体结果敏感地依赖初始条件，从而其长期行为具有不可测性；（3） 这种不可预测性并非由外界噪声引起的；（4） 系统长期行为具有某些全局和普适性的特征，这些特征与初始条件无关。混沌在相图上
13、的表现为轨道在某侧绕几圈似乎是随机的，但这种随机性和真正随机系统中不可预测的无规律又不相同。因为相点貌似无规律地游荡，不会重复已走过的路，但并不是以连续概率分布在相平面上随机行走，类似“线圈”的轨道本身是有界的，显然其中有某些规律。八、实验感想：在本次实验中，我初步了解了混沌的一些知识，并对混沌的理论和实际应用产生了兴趣。在实验后，我通过查阅相关资料了解到，20多年来，混沌一直是举世瞩目的前沿课题和研究热点，它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性、有序与无序的统一、稳定性与随机性的统一，大大拓宽了人们的视野，加深了人类对客观世界的认识。混沌现象在非线性科学中指的是一种确定的但不可预测的运动状态。它的外在表现和纯粹的随机运动很相似，即都不可预测。但和随机运动不同的是，混沌运动在动力学上是确定的，它的不可预测性是来源于运动的不稳定性。或者说混沌系统对无限小的初值变动和微绕也具于敏感性，无论多小的扰动在长时间以后，也会使系统彻底偏离原来的演化方向。混沌现象是自然界中的普遍现象，天气变化就是一个典型的混沌运动。而在人类的实
