多元函数的极限讨论综述

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1、多元函数的极限探讨 数学与应用数学专业 2010级 摘要: 多元函数理论是一元函数理论的发展，多元函数的极值在高等数学中非常重要，但由于多元函数的自变量多，因此，对于判断其极限存在与否及其求法，比起一元函数的极限就显的计较困难，于是我们可以通过求一元函数极限的方法类比来求二元函数的极限，再从二元推广到多元。所以本文的重点在于二元函数的极限探讨。二元函数毕竟不同于一元函数，它有新的.自身的性质和特点。本文将介绍二元函数的极限求解方法。 关键词： 多元函数；极限；二元函数 To explore the limits of multivariate functions Grade 2010, Mat

2、hematics and Applied Mathematics Abstract: The theory of multivariate function is the development of a meta function theory, the extreme value of multivariate function is very important in higher mathematics, but because of multivariate function, therefore, to determine the ultimate existence and th

3、e method, compared to the limit of one variable function on the significant computational difficulties, many of the concepts we can. Multivariate extreme value transformation function is a function extremum for a function. The theorem can be extended to the function of two variables, but a function

4、of two variables is different from the function of one variable, it is new. The nature and features of its own. This paper will introduce the method of multivariate function extreme solution of one yuan and two yuan function. Keywords: Multivariable function ;limit; function of two variables 1、绪论 极限

5、是分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态.早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载.例如,3世纪中国数学家刘徽的割圆术，就是用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆周率的.随着微积分学的诞生，极限作为数学中的一个概念也就明确提出,但最初提出的这一概念是含糊不清的，因此在数学界引起不少争论甚至怀疑.直到19世纪，由A.-L.柯西、K. (T.W.)外尔斯特拉斯等人的工作，才将其置于严密的理论基础之上，从而得到举世一致的公认. 数学分析中的许多基本概念都可以用极限来描述.如函数yf(x)在处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，

6、三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的.极限是研究数学分析的基本公具,是贯穿数学分析的一条主线。学好极限需要从以下两方面着手.1：是考察所给函数是否存在极限;2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限. 对于一元函数而言，其极限的求法及理论已经有归纳和总结，但关于多元函数极限求法及理论的探讨却不多.由于知识迁移的负作用，我们往往认为多元函数极限的求法与一元函数极限的求法相类似，其实不然，因此讨论多元函数极限的求法及理论就尤为重要.由于高维空间几何性质的复杂性, 多元函数的极限的理论基础以及求解较之一元函数复杂得多,这是初学者的一个难点. 多元函数的极限理论包括重极限理论与累次极

7、限理论,累次极限理论的基础就是一元函数的极限理论,因而可以利用一元函数求解极限的方法加以求解.对于重极限来说，它和累次极限完全不同且应用范围更为广泛，它在多元函数微积分学中有着其重要的作用。本文先是简单介绍了一元函数极限的基本理论以及举例，然后再在一元函数求极限的理论基础上来着重研究以二元，三元函数为代表的多元函数的极限，并且附以例题说明，以对二元，三元，多元函数的极限问题有一个更深层次的理解。 2、一元函数的极限问题 2.1数列极限的定义 设是一个数列，是实数。如果对任意给定的，总存在一个正整数，当时，都有，我们就称是数列的极限，或者称数列收敛，且收敛于，记为或，这时也称数列极限存在。用计较

8、直观的话来说就是，对任意给定的一个小的整数，只要扩充大（即），就能够保证|小于这个. 2.2、函数在点点的极限的定义 设函数在点的附近（但可能除掉点本身）有定义，又设是一个定数。如果对任意给定的，一定存在，使得当时，总有，我们就称是函数在点的极限，记为，或者记为。这时也称函数在点极限存在，其极值是。 2.3函数极限的性质和运算 和数列极限的性质完全相仿，函数极限也具有以下性质。 2.3.1 性质1 ： 若，且，则存在，使当时，。 2.3.2 性质2： 若，且，使当时，则. 2.3.3 性质3 ：若，而,则存在，使当时，。 2.3.4 性质4 ：若，则。 这个性质说明了函数极限的唯一性。 2.3

9、.5 性质5 ： 若存在，使当时，并且，则。 这个性质也叫做函数极限的夹逼性，它不难从函数极限的定义出发来证明。 2.3.6 性质6：若，则存在着，使得在区间内有界，亦即在不等式所表示的区间内有界。 2.3.7 性质7：若 的充分必要条件为对任何以为极限的数列都有。 2.3.8 性质8：若那么；反过来，如果在的某一领域内（本身除外）无零点，并且，那么。 2.3.9 性质9 若而满足当时，那么。 2.3.10 运算法则1： 若，则，,在商的情况下，要求。 2.3.11 运算法则2：若，在某区间有界，那么。 2.4例 求 解 由于 所以 。 3、二元函数的极限问题 3.1 二元函数的定义 设是平面

10、点集，是实数集，是一个规律，如果对E中的每一点,通过规律，在中存在唯一一个实数和此相对应，我们就称是定义在上的一个二元函数，和是函数的两个相互独立的自变量，在的函数值是，并记此值为，即。与一元函数相仿的，我们常常采用下面的记号来记这个函数：并称是的定义域。在通常的数学分析中为了省略，我们也称是一个二元函数。 推广 二元函数的定义不难推广为元函数的定义，这只是把平面点集改为维空间中的点集就可以了，我们简记元函数为。 3.2、二元函数的极限 3.2.1二元函数极限的定义1 设二元函数在点附近有定义（而在点是否有定义无关紧要）。如果对任意给定的，总存在，当时恒有，我们就称是二元函数在点的极限，记为

11、或。这一定义也可以用点的坐标表述，即：如果对任意给定的，当时，恒有，就称是在点的极限，记为 。 3.2.2二元函数极限的定义2 还可以用领域来表达：若对的任意领域，总存在点的领域，当时，恒有就称是在点的极限。 3.2.3二元函数极限的定义3 若对，存在，使当,且不与重合，亦即时，恒有。那么称为在点的极限。 例： 显然因此以即当沿直线或沿直线而趋于点时，趋于零；但当沿直线趋于零时，即在点极限不存在。 3.3 二元函数的连续性 3.3.1 二元函数连续的定义 若在有定义，存在，且二者相等，即时，则称在点连续，因此把上面的换成，就可得到连续定义的叙述法。 3.3.2 有界闭区域上连续函数的性质 3.

12、3.2.1 有界性定理 若在有界闭区域上连续，则它在上有界，亦即存在正数，使在上恒有。 3.3.2.2 最大值最小值定理 若在有界闭区域上连续，则它在上比有最大值和最小值，亦即在上存在点和，使对上任意的点，恒有，也就是说，分别是在上的最小值和最大值. 3.4二重极限和二次极限 前面所考虑的的极限也称为二重极限。此外，我们还讨论先后相继地趋于各自的极限时的极限，称为二次极限。 3.4.1 二次极限的定义 若对任一固定的，当时，的极限存在而当时的极限也存在并等于，亦即 那么称为先对、后对的二次极限，记为同样可定义点对、后对的二次极限。 3.4.2 定理 若在点的二重极限为（有限或无限）且对任一靠近

13、（可以不等于）的，当时，存在有限极限则二次极限存在且等于二重极限。 证明 只就为有限的情形求证。 由于二重极限存在，故对任意给的，存在当恒有 现在固定，而在上式中令，即得 同理，若在定理中把存在改为存在，则也存在且等于。 3.5、二元函数极限的求解方法 3.5.1定义法求解二元函数的极限 例1： 利用二元函数极限定义证明下列各式 （1）;(2) 证明： （1）对任意给定的，取，当时，有，故 （2）因为，所以不妨设。 对任意给定的，取和，当和时，恒有故。 3.5.2、利用二元连续函数的性质求解 命题：若函数在点处连续，则 例3. 求下列极限 （1）；（2） 解：（1） （2） 3.5.3.利用两

14、个重要极限求和 它们分别是一元函数中两个重要极限的推广，其中时，视为新变量，考虑极限过程。 例4：求极限。 解： 而 故原式 3.5.4利用无穷小量求解 我们都知道在求极限的过程当中，很多复杂的算式是很难求解的到它的具体极限的，一般我们的想法就是看能不能利用无穷小量来代替从而达到简化计算的目的，并最终求得原算式的极限值。一元函数的无穷小量的等价代换我们都比较熟悉，采用类比的方法我们可以从一元函数中的等价无穷小概念推广到二元函数。在二元函数中常见的等价无穷小；有； 利用常用的等价无穷小量的代换可以大大提高求解极限问题的效率。 注意：同一元函数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用。 例5:求

15、极限。 解：因为，令， 所以，原式 例6:求极限 解：因为 所以， 例7:求下列极限： （1）；（2） 解：(1) （2） 3.5.5利用变量代换法求之 求解多元函数的极限我们一个最常用的的思想就是数学四大思想之一的化归思想，通过把多元变成我们所熟知的一元函数就可以容易的求得它的解了。因此，通过变量代换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算，从而使二元函数的极限变得简单。 例8. 求极限。 解：由于分子分母无穷大量，分子分母同时除以，再令 而，所以 3.5.6利用夹逼准则求之 二元函数的夹逼准则：设在点的领域内有，且（常数），则。 注意：利用夹逼准则来求解函数极限的时候一定要保证两

16、边的值相等。 例11 .求极限。 解：因，故由夹逼准则，得： 3.5.7运用洛比达法则求解 定理： 设上有定义且连续，都为。且，若（有限或无穷），则。 利用洛比达法则在求极限的很多时候能够使得原本看似不可能求解问题在进行数次求导之后变为可以用上面所述方法求解的类型。 例12. 求极限 解：令则存在领域上满足定理所有条件且： 4、三元函数的极限问题 4.1定义 设是上的开集，为一定点，是定义在上的三元函数，是一个确定的常数.如果对于任意给定的，存在，使得当满足时，成立则称为当时的（三重）极限，记为。从定义可知，这里表示以任何方式趋于点，也就是两点之间的距离趋于零，即此时我们设一个特殊的变量，则对多元函数极限的讨论转化为只对一个特殊变量的一元函数极限进行讨论。 4.2 推论1 设在点的某去心领域内有定义，是向量的方向余弦，若一元函数极限，则 （1）A为与取值无关的常数时，。 （2）A与取值有关时，不存在。 如果，则得到： 4.3推论2 设在点的某去心领域内有定义，是向量的方向余弦（此时），若一元函数极限，则 （1）A与取值无关的常数时，. (2)A与取值有