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1、双曲线的标准方程及简单的几何性质第一部分双曲线及其标准方程 学习目标 1、掌握双曲线的定义，理解双曲线标准方程的推导，能根据条件确定双曲线的标准方程。 2、培养的分析能力、归纳能力、推理能力。 3、进一步掌握双曲线的定义及其标准方程的求法，特别是要熟练掌握用定义法、待定系数法求双曲线标准方程的方法。 4、会利用双曲线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。 5、培养分析能力、归纳能力、推理能力和数学的应用能力。 重点难点 重点：双曲线的定义及其标准方程； 难点：1、双曲线标准方程的推导；2、利用双曲线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。 例题分析第一阶梯 例1已知两定点F1（-5，0）、F2（
2、5，0），求与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于6的点的轨迹方程。 分析：根据双曲线的定义可知，动点的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，又由焦点位置可知，所求的点的轨迹方程是双曲线的标准方程。 解： 由题意可知，所求点的轨迹是双曲线，其方程可设为 ，这里2a=6,2c=10. 变题：如将本题条件中的6改为10，其余条件不变，求解本题。 解：由条件可知，所求点的轨迹是两条射线，其方程为y=0(x-5或x5) 注意：在求解轨迹方程的问题时，要注意应用有关曲线的定义去判断所求的点的轨迹是什么曲线，如是已经研究过的曲线，则可用曲线的标准方程去求解。 例2 分析：分别求出椭圆及双曲线的焦点即可。 证
3、明：易得椭圆的两个焦点为（-4，0）、（4，0），双曲线的两个焦点也为（-4，0）、（4，0）。 例3 分析 迹是以B、C为两焦点，实轴长为6的双曲线的左支。 解：在ABC中，|BC|=10， 故项点A的轨迹是以B、C为两焦点，实轴长为6的双曲线的左支。 第二阶梯 例4 A、1 C、2 解： +|PF2|2-|PF1|PF2|=16，因为F1PF2=90，所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=20.所以 评注：本题考查双曲线的基础知识以及计算能力和推理能力。 例5在周长为48的直角三角形MPN中，MPN=90， 求以M、N为焦点，且过点P的双曲线方程。 思路分析：首先应建
4、立适当的坐标系，由于M、N为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程。由双曲线定义可知|PM|-|PN|=2a,|MN|=c,所以利用条件确定MPN的边长是关键。 解答： 设|PN|=3k，|PM|=4k,则|MN|=5k, 由3k+4k+5k=48,得k=4. |PN|=12,|PM|=16,|MN|=20. 由|PM|-|PN|=4，得2a=4,a=2,a2=4. 由|MN|=20,得2c=20,c=10. 例6 思路分析：利用双曲线的定义求解。 解答： 由P是双曲线上一点，得|PF1|-|PF2|=16。 |PF2|=1或|PF2|=33。 又|PF2|c-a=2，得|PF
5、2|=33.第三阶梯 例7 交点，则|PF1|PF2|的值是（ ） 思路分析：椭圆和双曲线有共同焦点，P在椭圆上又在双曲线上，可根据定义得到|PF1|和|PF2| 的关系式，再变形得结果。 解答： 两式平方相减，得4|PF1|PF2|=4(m-s)，故|PF1|PF2|=m-s。故选A。 例8 解： 由题意得F1（-5，0），F2（5，0）。设点P的坐标为(x0,y0) 又PF1PF2，则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2， 评注：本题考查双曲线的方程等基础知识。 例9已知动圆与定圆C1：(x+5)2+y2=49,C2:(x-5)2+y2=1都外切，求动圆圆心的轨迹方法。 分析：设动圆
6、圆心为P(x,y),半径为r,则题意可得C1(-5,0),r1=7.C2(5,0),r2=1.|PC1|=r+7,|PC2|=r+1,|PC1|-|PC2|=6。 解： 设动圆圆心为P(x,y)，半径为r,则题意可得C1(-5,0),r1=7.C2(5,0),r2=1.|PC1|=r+7,|PC2|=r+1,|PC1|-|PC2|=6，则动圆圆心P的轨迹方程为 四、检测题 1、ax2+by2=b(ab0),则这曲线是（ ） A、双曲线焦点在x轴上 B、双曲线焦点在y轴上 C、椭圆焦点在x轴上 D、椭圆焦点在y轴上 A、双曲线 B、双曲线的一支 C、半圆 D、圆 3、一动圆与两定圆M：x2+y2
7、=1和N:x2+y2-8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为（ ） A、抛物线 B、圆 C、双曲线的一支 D、椭圆 4、“ab0”是“方程ax2+by2=c”表示双曲线的（ ） A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 5、已知两定点F1（-5，0），F2（5，0），动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则当a=3和5时，P点的轨迹为（ ） A、双曲线和一直线 B、双曲线和一条射线 C、双曲线和一支和一条射线 D、双曲线的一支和一条直线 6、已知方程ax2-ay2=b,且a、b异号，则方程表示（ ） A、焦点在x轴上的椭圆 B、焦点在y轴上的椭圆 C、
8、焦点在x轴上的双曲线 D、焦点在y轴上的双曲线 A、焦点在y轴上的双曲线 B、焦点在x轴上的双曲线 C、长轴在y轴上的椭圆 D、焦点在x轴上的椭圆 且|AB|=m，则ABF2的周长是（ ） A.4a B.4a-m C.4a+2m D.4a-2m A、内切 B、外切 C、外切或内切 D、无公共点或相交 10、方程x2sin+y2cos=1表示焦点在y轴上的双曲线，则角在第_象限。 11、双曲线4x2-y2+64=0上一点P到它的一个焦点的距离等于1，则点P到另一个焦点的距离等于_. 答案： 15 B B A C C 69 D C C C 10、四 11、17双曲线的简单几何性质 一、学习目标 1
9、、理解并掌握双曲线的几何性质，能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的几何性质。 2、理解渐近线的概念，明确双曲线的标准方程中各量的几何意义，并能根据双曲线的几何性质确定双 曲线的标准方程。 3、了解等轴双曲线的概念和特征。 4、培养对数学的理解能力、分析能力和应用能力。 5、理解双曲线的第二定义，掌握双曲线的准线方程及准线的几何意义，进一步理解离心率e的几何意义。 6、掌握用坐标法求曲线方程及由方程研究图形性质的方法。掌握双曲线的几何性质，理解双曲线的各参数的几何意义。 7、培养对数学概念的理解能力、辨别能力、判断能力和分析问题、解决问题的能力。 8、掌握双曲线的几何性质，掌握用坐标法研究直线与双
10、曲线的位置关系，熟练地求弦长、面积、对称等问题。 9、培养对数学的理解能力及分析问题、解决问题的能力。 二、重点难点 重点： 1、双曲线的简单几何性质及其应用； 2、双曲线的第二定义； 3、直线与双曲线的位置关系。 难点： 1、双曲线渐近线方程的推导和理解； 2、理解焦点与相应准线的对应关系； 3、直线与双曲线的位置关系研究方法的形成。 三、例题分析第一阶梯 例1求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。 分析：先将所给双曲线方程化为标准方程，后根据标准方程分别求出有关量。 解： 注意：本题求渐近线方程的方法有两种：其一，直接根据渐近方程写出，其二，令
11、方程9y2-16x2=144的等号右边等于零，分解因式即可得渐近线方程。 例2求满足下列条件的双曲线方程。 (1)以2x3y=0为渐近线，且经过点(1，2)； 分析： （1）可设所求双曲线的方程为4x2-9y2=,用待定系数法求双曲线方程。 （2）、（3）同求椭圆的方程一样，只要求出标准方程中的a、b即可。 解： （1）设所求双曲线方程为4x2-9y2=，点（1，2）在曲线上，将点的坐标代入方程可得=-32。 (3)由已知得椭圆x2+5y2=5的焦点为(2，0)，又双曲线的一条渐近线方程为 .则另一条渐 注意：求双曲线方程的方法要灵活选择。 例3 解： 评注：本题考查双曲线的性质。第二阶梯 例
12、4 （1）求点P到它右准线的距离； （2）求点P到它左准线的距离。 分析： （1）由双曲线的第二定义可得点P到它的右准线的距离， （2）先求得双曲线两准线间的距离，后求点P到左准线的距离。 解： （1）设P到右准线距离为d,则 例5双曲线的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列，右准线的方程是x=1,且经过点A（2，2），求：（1）双曲线的离心率e；（2）双曲线右焦点的轨迹方程。 解： (1)依题意，有22a=2b+2c,即2a=b+c. (2)设右焦点为F(x,y)，因点A在双曲线上，由双曲线的第二定义得 例6 思路分析： 解答： 第三阶梯 例7 求双曲线的离心率。 思路分析： 解答： 例8 思路分析：|PF|为焦半径，本题可根据双曲线的第二定义来解。 解答： 四、检测题 1、双曲线3x2-y2=3的渐近线方程是（ ）
