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1、北京市东城区2010-2011学年第二学期高三综合练习（二） 数学（理科） 学校_班级_姓名_考号_本试卷分第卷和第卷两部分，第卷1至2页，第卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若复数（）为纯虚数，则等于（A）0 （B）1 （C）-1 （D）0或1（2）给出下列三个命题：，；，使得成立；对于集合，若，则且.其中真命题的个数是（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（3）沿一个正方体三个
2、面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（A） （B） （C） （D）（4）极坐标方程（）表示的图形是（A）两条直线 （B）两条射线 （C）圆 （D）一条直线和一条射线（5）已知正项数列中，则等于（A）16 （B）8 （C） （D）4（6）已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于两点，为坐标原点.若，则双曲线的离心率为（A） （B） （C） （D）（7）外接圆的半径为，圆心为，且， ，则等于 （A） （B） （C） （D）（8）已知函数则函数的零点个数是（A）4 （B）3 （C）2 （D）1第卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。（9）的展开
3、式中，的系数为 （用数字作答）（10）某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表，则调查小组的总人数为；若从调查小组中的公务员和教师中随机选人撰写调查报告，则其中恰好有人来自公务员的概率为 相关人员数抽取人数公务员32教师48自由职业者644（11）在中，若，则 （12）如图，是半径为的圆的直径，点 在的延长线上，是圆的切线，点在直径上的射影是的中点，则= ； （13）已知点在不等式组表示的平面区域内，则点到直线距离的最大值为_（14）对任意，函数满足，设，数列的前15项的和为，则 三、解答题：本大题共6小
4、题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）已知，（）求的值；（）求函数的值域（16）（本小题共14分）如图，在直三棱柱中，分别为，的中点，四边形是边长为的正方形（）求证：平面；（）求证：平面；（）求二面角的余弦值（17）（本小题共13分）甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为（）求的值；（）设表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望(18) （本小题共13分）已知函数()（）若，求证：在上是增函数； （）求在
5、1，e上的最小值（19）（本小题共13分）在平面直角坐标系中，动点到定点的距离比点到轴的距离大，设动点的轨迹为曲线，直线交曲线于两点，是线段的中点，过点作轴的垂线交曲线于点（）求曲线的方程；（）证明：曲线在点处的切线与平行；（）若曲线上存在关于直线对称的两点，求的取值范围（20）（本小题共14分）在单调递增数列中，不等式对任意都成立.（）求的取值范围；（）判断数列能否为等比数列？说明理由；（）设，求证：对任意的，.北京市东城区2010-2011学年第二学期高三综合练习（二）高三数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）C （3）B （4）A
6、（5）D （6）D （7）C （8）A二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9） （10） （11） （12） （13） （14）注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（）因为，且，所以，因为 所以 6分 （）由（）可得新 课 标 第一 网 所以 ， 因为，所以，当时，取最大值； 当时，取最小值 所以函数的值域为 13分 （16）（共14分）（）证明：连结，与交于点，连结因为，分别为和的中点， 所以 又平面，平面， 所以平面 4分（）证明：在直三棱柱中， 平面，又平面， 所以 因为，为中点， 所以又，
7、 所以平面 又平面，所以 因为四边形为正方形，分别为，的中点， 所以， 所以所以 又， 所以平面 9分（）解：如图，以的中点为原点，建立空间直角坐标系 则 由（）知平面，所以为平面的一个法向量设为平面的一个法向量，由可得令，则所以从而因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为14分（17）（共13分）解：（）当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，故，解得或又，所以 6分（）依题意知的所有可能取值为2，4，6，所以随机变量的分布列为：所以的数学期望13分（18）（共13分）新 课 标 第一网（）证明：当时，当时，所以在上是增函数 5分（）解：，当，若，则当时，所以在上是增函数，又，故
8、函数在上的最小值为若，则当时，所以在上是减函数，又，所以在上的最小值为若，则当时，此时是减函数； 当时，此时是增函数又，所以在上的最小值为综上可知，当时，在上的最小值为1；当时，在上的最小值为；当时，在上的最小值为13分（19）（共13分）x kb1 .co m（）解：由已知，动点到定点的距离与动点到直线的距离相等 由抛物线定义可知，动点的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线所以曲线的方程为 3分（）证明：设，由得 所以， 设，则 因为轴， 所以点的横坐标为 由，可得 所以当时， 所以曲线在点处的切线斜率为，与直线平行8分（）解：由已知， 设直线的垂线为： 代入，可得 （*） 若存在两点关于直线
9、对称，则，又在上，所以， 由方程（*）有两个不等实根所以，即所以，解得或 13分（20）（共14分）（）解：因为是单调递增数列，所以，.令，所以. 4分 （）证明：数列不能为等比数列.用反证法证明：假设数列是公比为的等比数列，.因为单调递增，所以.因为，都成立.所以， 因为，所以，使得当时，.因为.所以，当时，与矛盾，故假设不成立. 9分（）证明：观察： ，猜想：.用数学归纳法证明：（1）当时，成立；（2）假设当时，成立；当时， 所以. 根据（1）（2）可知，对任意，都有，即.由已知得，.所以.所以当时，. 因为.所以对任意，.对任意，存在，使得，因为数列单调递增，所以，.因为，所以. 14分
