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1、西南大学 硕士学位论文 关于R中凸体的Hadwiger包含问题和Bonnesen型不等式的几 点注记 姓名：程斐 申请学位级别：硕士 专业：基础数学 指导教师：周家足 20090401 砖南大学硕士学位论文 -一 摘要 I mmI I 关于R 仡中凸体的H a d w i g e r 包含问题 N B o n n e s e n 型不等 式的几点注记 基础数学专业硕士研究生程斐 指导老师周家足教授 摘要 回顾积分几何的发展历史，凸几何一直以来都是其研究的一个重要领域凸体 具有很多优美的性质，对它们的研究能够使我们发现和认识到其几何不变量之间 的关系概率和分析则是研究积分几何的重要工具在研究欧氏
2、空间R “中一个凸体 包含另一个凸体的充分条件方面，1 9 4 1 年德国数学家H a d w i g e r 解决了平面时的情 况，所以也被称为凸体的H a d w i g e r 包含问题但凸体的H a d w i g e r 包含问题的高维情 况的推广比较复杂，结果还在不断的完善例如，周家足在硝中的W i l l m o r e 泛函 与包含问题中给出了4 维情况下凸体的H a d w i g e r 包含问题的一个充分条件又如， 张高勇在他近期的论文 G e o m e t r i ci n e q u a l i t i e sa n di n c l u s i o nm e a
3、s u r e so fc o n v e x b o d i e s ) ) 中给出了n 维情况下凸体的H a d w i g e r 包含问题的一个充分条件等周问题 一直以来也是积分几何研究的一个重要领域，并且它和包含问题有着密切的联系 本文首先给出了欧氏空间毋中凸体的H a d w i g e r 包含问题的另外一个充分条件及与 其相关的B o n n e s e n 型不等式：其次研究证实了常曲率曲面的一些B o n n e s e n 型不等 式；最后，给出了欧氏空间留中等周亏格与域的体积、面积之间的两个关系式 本文的主要结论如下： 推论2 6 假设K 和L 是舻中的凸体，K 的面积
4、和体积分别为A ( K ) ，y ( K ) ，L 的 体积和平均宽度分别为y ( L ) ，M ( L ) 当V ( K ) V ( L ) 时，经过一个等距变换使 得三cK 的充分条件是 y ( K ) 击+ y ( 己) 击 n + y ( K ) 击一y ( L ) 击 ” ( 筹鬻) 由州卅n 一 ( 筹帮) a 4 了- , - V c 州书1 ) 当n 为2 维情况时，这个推论就是著名的凸集的H a d w i g e r 包含定理 定理2 1 0 ( B o n n e s e n t y p e 不等式) 如果7 和R K 分别是形中凸体K 的最大内 接球半径和最小外接球半径
5、，K 的面积和体积分别为A ( K ) ，y ( K ) 则有 郴，由山，赤咄赴c 叫击 ( 警) 石1 机 n + ( 等) 鲁孵c ，击 ( 等) 吾慨 ( 吣， 蚶南大学硕士学位论文摘要 郴卢( 掣) 高、2 V ( K ) ) 南 ( 等) 一埘 n + ( 等) 一一硪盯一( 等) 由 ( 普) 删 州岛 定理3 I 若K 是具有常高斯曲率，c 的欧氏球面上的紧致凸集，其中K 的周长，面 积，最大内接球半径和最小外接球半径分别为& ，A K ，r K ，R K 则有以下不等式： 磺( 4 丌州啦虹亟氅巡 定理3 7 若K 是具有常高斯曲率一A 的双曲平面上的紧致凸集，其中K 的周长，
6、 面积，最大内接球半径和最小外接球半径分别为，A N ，T K ，R K 则有以下不等式 P 品- - A K ( 4 丌+ A A K ) m 州T 4 7 r 2 ，鲤巫气鼎甏产些型) 当R K = r K 时，不等式转化为 磺A K ( 47 I - + A A 尺- ) ， 此时等式成立当且仅当K 是一个双曲圆盘 定理4 1 口中的单连通域D ，表面积为A 体积为V D 4 是它的凸包，表面积 为A + 体积为y + 域D 的等周亏格为A ( D ) = A n 一矿u n y “ 1 ，其中u 。是n 维单位球的 体积则 A A + ( D ) ， 等式成立当且仅当域D 是一个标准球
7、 定理4 2 R n 中的单连通域D ，表面积为A 体积为V D 4 是它的凸包，表面积 为A + 体积为y + 域D 的等周亏格为( D ) = A n 一扎“y 舻1 ，其中是1 9 维单位球的 体积如果A A + ，则 y 。一y 0 ，凸集要求在开半球内尼( K ) 表示咒中的紧致凸集 设K 忌( K ) ，A K 和珞分别表示它的面积和周长如果K 是一维的，则段是K 的 长度的两倍( 这确保了K 的紧致集的周长在H o u s d o r f f 拓扑下是连续的) 假设K ，L 分别是K 中有限个紧致凸集合的并，X K 是其欧拉示性数若K 是空 集，有x o = 0 若K 是紧致凸集
8、，贝J J x K = 1 其中 ) ( K U L 十X K N L2X K 十X L - 选择一个固定的点z o K 由于r 0 ，D ，表示兄中到定点的距离小于等 于r 的点的集合我们称D ，为咒中半径为r 的圆盘当圪o 时( 参见 19 】) ， 岛，= 关s i n ( 州， 他= 等( 1 一s ( 届” 当K _ 0 时，有公式P D ，= 2 7 r r 矛 I A D ，= 丌r 2 4 西南大学硕士学位论文 1 2 基本定理 1 2基本定理 定理1 7 欧氏平面R 2 中面积为A ，周长为P 的域K 满足不等式 P 2 4 r A 0 ， 等号成立的充分必要条件是肋圆盘 定
9、理1 8 ( 2 0 】B o n n e s e n t y p e g ：等式) 欧氏平面R 2 中面积为A ，周长为P 的 域瞒足不等式 P 2 4 7 r A 7 r 2 ( R 耳一r K ) 2 ， 其中r Y J L R K 分别为的最大内接圆半径及最小外接圆半径等号成立当且仅 当K 为圆盘 定理1 9 ( 2 1 等周不等式) 欧氏空间舻中，对任意的紧致闭超曲面，其所界 的体积为降面积为A ，则有等周不等式j A n n n 厶k y “一1 0 定理1 1 0 ( 2 2 ， 2 3 】， 2 4 】H a d w i g e r 巴含定理) 设KL 为欧氏平面R 2 中的域
10、， 面积分别为A ( K ) ，A ( L ) ，周长分别为P ( K ) ，P ( L ) ，如果 2 r c ( A ( K ) + A ( 三) ) 一P ( ) 尸( 三) 0 ， 则有KcL ，或LcK 定理1 1 1 ( 参见 6 】， 7 】) 假设K ，L 仡( 咒) 具有非空内部，其面积分别为A K ， A L ，周长分别为& ，兄如果 P K P L 2 7 C ( A K + A z ) 一m A K A L ， 则存在五。上的一个等距变换9 使得g K L 或者弘K 定理1 1 2 ( 【4 】， 2 5 】X 。中的运动公式) 对于K 中的紧致凸集研口L ，以腓为 位
11、置固定的紧致凸集，L 经过等距变换与膨目交，则有 f ) ( n 豇d g = X K A L + 去玖危+ A K X L - - 嘉A K 屯 积分几何给出了一个凸体经过等距变换与另一个固定的凸体相交的测度的重 要运动公式假设K 和L 是殿中的两个凸体，p 是G ( n ) 上的H 勰r 测度，规范化如下： 通过妒( t ，e ) x = e z + t ，茁舒，有妒：R n S O ( n ) _ G ) ，S O ( n ) 为形中的旋转群 如果y 是S O ( n ) 上的唯一不变的概率测度，叩是舻上的L e b e s g u e ；1 9 1 J 度，从而肛被作为 在妒一1 下叩
12、。驴的拉回测度若眦( K ) ，毗( L ) 是K ，L 的均值积分，i = 0 ，1 ，n ，将 得到一个重要的运动公式 厶G ( 咄g 们K 栅础( g ) = u ：1 壹i = O ( n i ) 磁( K ) 一砧 ( 1 1 ) 我们称( 1 1 ) 式左边的式子叫着K 和L 的相交测度 趟南大学硕士学位论文第2 章R ”中凸体的H a d w i g e r 包含问题 2 R 咒中凸体的H a d w i g e r 包含问题 2 1背景与包含测度 给定欧氏空间舻中的两域D k ( 惫= i ，J ) ，什么时候其中一个域可以移动到另 个域内? 更精确的说：是否存在欧氏空间形中的
13、等距变换g G ，使得夕D fc D 或9 D f3D t ? 一般地，我们I h - D t 能否包含D j ? 我们希望的答案是包含所给邻 域J D k 的几何不变量的几何不等式或等式平面情形我们希望得到的条件是仅与 域D 的面积和周长有关的几何不等式或等式1 9 4 2 年，H a d w i g e r 得到了一个平面区 域D f 包含另一个平面区域D f 的充分条件但对于H a d w i g e r 包含问题高维情况的推 广( 参见8 1 ，f 1 1 一1 7 1 ) ，结果还在不断的完善当中 引理2 1 ( 参见 8 I ) 半空间 z 舻：( z ，u ) b ( u ) )
14、 的交C ( K ，L ，A ) 等价于集 合 z R n ：z + A L K 】，即 C ( K ，L ，A ) = z R n ：z + A L K ，A 0 若e S O ( n ) ，有 C ( K ，e L ，A ) = z R “：( z ，u ) h K ( u ) 一A 九。L ( 钆) ) ， A L 包含在K 内的包含测度可以依据C ( K ，e L ，入) 的体积来表示 引理2 2 ( 参见 8 】) 脚三分别是形中的一个凸体和一个凸图形，因为A 0 ， 入L 在K 内的包含测度是 ， m ( A L K ) = V ( C ( K ，e L ，入) ) 咖( e )
15、， ，5 0 ( n ) 其中u k S O m J 上的唯一不变的概率测度特别的， ，I m ( L K ) = V ( C ( K ，e L ，1 ) ) 咖( e ) 引理2 3 ( 参见 8 】) 烯L 分别是舒中的一个凸体和一个凸图形，因为A 0 ， A L 在K 内的包含测度是 ， m ( 入L K ) = V ( K ) 一n d u ( e ) u ( c ( K ，e L ，盯) ，e L ) d e 7 J s o ( r I ) J 0 ，I，。 = 仃d u ( e ) ( C ( K ，e L ，盯) ，e L ) d a ( 2 1 ) 6 2 2 冗凡中凸体的H a d w i g e r 包含问题 引理2 4 ( 参见嘲) 脚L 是R 叫，的凸傣，y ( K ) y ( 三) ，则有 V ( C ( K ，L ，A ) ) y ( K ) + y ( 三) 商1 瞰( K ，L ) 击一A y ( L ) 击】n 一( K ，L ) 矗) ， ( 2 2 ) 等式成立当Z _ 4 x - 3 脚三都是球 定理2 5 假设脚三是舻中的凸体，K 的面积和体积分别为A ( K ) ，y ( K ) ，三的
