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1、,一、填空题（每题4分，共24分） 1.（2010苏州高二检测）以椭圆 的焦点为顶点、两顶点为焦点的双曲线的标准方程是_.,【解析】椭圆 的焦点坐标为（0，1），（0，-1），由题意可知所求双曲线的顶点坐标为（0，1），（0，-1），焦点坐标为（0， ），（0， ），所以其标准形式为y2-x2=1. 答案：y2-x2=1,2.设P是双曲线 上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若PF1=3，则PF2等于_. 【解析】由3x-2y=0是一条渐近线, a=2, 双曲线方程为 由双曲线定义知PF1-PF2=4, PF2=7或PF2=-1(舍去). 答案：
2、7,3.存在斜率且过点P(-1, )的直线l与双曲线 有且仅有一个公共点,且这个公共点恰是双曲线的左顶点,则双曲线的实轴长等于_.,【解析】依题意知,过点P的直线l与双曲线的渐近线y= x 平行, 所以 解得a=2. 所以实轴长等于4. 答案：4,4.（2010玉溪高二检测）双曲线x2-y2=1左支上一点P (a,b)到直线y=x的距离为 则a+b=_.,【解析】P(a,b)在双曲线x2-y2=1上, a2-b2=1. (a+b)(a-b)=1. 又P(a,b)到直线y=x的距离为 |a-b|=2. P(a,b)在双曲线左支上, a-b0.a-b=-2. a+b= 答案：,5.（2010抚顺高
3、二检测）设F1,F2分别是双曲线 (a0,b0)的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使F1AF2=90且AF1=3AF2，则双曲线的离心率为_.,【解题提示】解答本题要结合双曲线的定义和勾股定理解题. 【解析】AF1-AF2=2a,AF1=3AF2， AF2=a,AF1=3a, 又F1AF2=90,F1F22=AF12+AF22, 4c2=a2+9a2=10a2, 答案：,6.过点A(6,1)作直线l与双曲线 相交于两点B、C,且A为线段BC的中点.则直线l的方程为_.,【解析】,直线l的方程为y-1= (x-6), 即3x-2y-16=0. 答案：3x-2y-16=0,二、解答题（每题8分，共
4、16分） 7.(2010营口高二检测)中心在原点的双曲线，经过一点 P（4，3 ）. (1)若直线y= x-2与双曲线只有一个交点，求双曲线的标准方程; (2)若它的一个焦点为F( 0),求它的顶点坐标及离心率.,【解析】（1）由直线与双曲线只有一个交点可知直线y= x-2平行于双曲线的一条渐近线，即双曲线的一条渐近线 为y= x, 可以用双曲线系方程设双曲线的方程为 （0）， 将点P(4,3 )代入方程得到 得到=-1. 双曲线的方程为,(2)一个焦点为F（ 0）,可设方程为 (m0, n0), 将点P(4,3 )代入方程得到 同时有m+n=10; 将n=10-m代入解得：m=4或m=40,
5、当m=4时，n=6, 当m=40时，n=-30,不合题意，舍去，故m=4,n=6; a=2,b= c= 顶点坐标为：A1(-2,0),A2(2,0), 离心率,8.(2010湛江高二检测)已知双曲线C: (a0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B. (1)求双曲线C的离心率e的取值范围; (2)设直线l与y轴交点为P,且 求a的值. 【解题提示】解答本题（1）可将方程联立，消元后利用0求e的取值范围.解答本题（2）可将向量关系转化.,【解析】,9.(10分)设直线l:y=ax+1与双曲线C：3x2-y2=1相交于A，B 两点，O为坐标原点. （1）a为何值时，以AB为直径的圆过原点？
6、 （2）是否存在实数a,使 且 =(2,1)?若存 在，求a的值，若不存在，说明理由.,【解析】（1）由 消去y整理得 (3-a2)x2-2ax-2=0. 依题意得3-a20,=4a2+8(3-a2)0, a26且a23, 设A（x1,y1）,B(x2,y2)，由根与系数的关系得 又以AB为直径的圆过原点， 即x1x2+y1y2=0， (a2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0， a=1.,(2)假设存在实数a满足条件. (x1+x2,y1+y2)=(2,1), 又 故x12+y12=x22+y22, 即(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0, 所以 a=-2. 故存在a=-2满足条件.,
