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1、高等数学(下)期末测验考前复习(网络版)31 / 31 作者： 日期：个人收集整理，勿做商业用途高等数学下册期末考试考前复习2013.6.20第一部分 空间解析几何与向量代数一、向量代数1、向量的概念（1）向量的定义 有大小有方向的线段（自由向量）（2）向量的表示 1）， 为向量的直角坐标表示 2），其中为向量的模（大小），为的单位向量，为的方向余弦， 注：若有两点：，则向量为 2、向量的运算 （1）线性运算 （2）数量积（标积，点积） 1） 2） 特例：当时，（两向量垂直的判据）（3）向量积（矢积，叉积） 1），与为右手螺旋关系2） 特例：当时，或 （两向量平行的判据）3、 两点的间距公式
2、4、平面外一点到平面的距离公式： 平面的点法式方程为： 二、空间解析几何 1、空间曲面与空间曲线 （1）方程 曲面方程 （三元方程） 曲线方程 或 （2）常见的曲面与曲线 1） 柱面 一直线（母线）沿着一平面曲线（准线）作平行于一定直线的移动所得的曲面 母线轴的柱面： 母线轴的柱面： 母线轴的柱面： 2） 旋转面 一平面曲线（母线）绕着同一平面内的定直线（转轴）旋转一周所得的曲面 例旋转曲面 3）空间螺旋线 4）二次曲面（三元二次方程） 椭球面 椭球面与平行于坐标面平面的交线： ； ； 分别为在，与平面内的椭圆。 抛物面 椭圆抛物面；双曲抛物面（同号） 椭圆抛物面与平行于坐标面平面的交线： 为
3、在平面内的椭圆； 为在平面内的抛物线 为在平面内的抛物线 双曲面 （单叶）（双叶） 单叶双曲面与平行于坐标面平面的交线： 为在平面内的椭圆； 为在平面内的双曲线 为一对相交于（）的直线； 为一对相交于（）的直线； （3）空间曲线在坐标面上的投影 空间曲线（空间曲线关于面的投影柱面）（空间曲线在面上的投影曲线） 2、平面与直线 （1）平面 （三元一次方程） 表示：1）点法式 其中 2）一般式 其中 3）截距式 其中为平面在三个直角坐标轴上的截距 注：） 通过坐标原点的平面：，且没有截距式； ）轴的平面：；轴的平面： （2）直线 表示：1）对称式 其中方向向量 2） 一般式 当两平面不平行，即时，
4、其交线为直线 3）参数式 （3）交角 1）两平面间的交角 即两平面法向量间的交角 ， 当时，； 时，； 2） 两直线间的交角 即两直线的方向向量间的交角 ， 当时，； 时，； 3）直线与平面间的交角 即直线的方向向量与平面法向量间的交角的余角 ， 当时， 时，； 第二部分 多元函数微分学一、 多元函数的极限 二元函数 若（确定、有限），则当以任意方式（有无穷多种方式）趋于时，极限 存在。二、 多元函数的连续性二元函数 若，则在点连续。三、多元函数的可导性 二元函数 ， 多元函数 1、偏导数的定义 二元函数 （1）一阶偏导数 式中，均称为偏增量 （2）二阶偏导数 其它多元函数偏导数的定义与上相似
5、 2、多元函数的可导性 若在点，存在偏导数，则称在 点可导。 注：（1）由二元函数可导性的定义可见，在点可导，未必在该点连续； （2）当一阶偏导数存在且连续时，则在处可微；可微必可导，但可导未必可微。这一点与一元函数不同。 3、隐函数的偏导数 （1）隐函数以一个方程表示的情形 二元函数 解法一利用如下公式求偏导数： ； 解法二对两边对自变量或求偏导数，从而求出：或。 （这与一元隐函数求导数的两种解法相似） （2）隐函数以方程组表示的情形 表明：上述方程组中的四个变量中只有两个独立变量 假如、在点的某一邻域内，具有对各个变量的连续偏导数，且偏导数组成的Jacobi行列式 在点，则方程组在点的某一
6、邻域内恒能够确定一组连续且具有连续偏导数的函数，它们满足 4、复合多元函数的偏导数 若，则表明： 二元复合函数具有： 三个中间变量：；二个最终自变量： 二元复合函数有两个对最终自变量偏导数公式，每个偏导数公式中包含三项，即 终上所述，偏导数的公式数=最终自变量的数目；每个偏导数公式包含的项数=中间变量的数目 注：（1）当某个最终自变量既是最终自变量又是中间变量时，必须要分清不同场合的不同身份，例如 ，这是一个二元复合函数, 最终自变量有两个：；中间变量有三个：因此，偏导数公式有两个，每个偏导数公式中含三项：即 （2）复合多元函数的偏导数的求算有两种算法： 1）按照上述算法求算偏导数； 2）先将
7、中间变量与最终自变量的函数关系代入多元复合函数，使其直接成为多元函数，再求偏导数 5、多元函数的全微分 （1）二元函数在考察点可微的充分必要条件是：的偏导数在考察点存在且连续 （2）多元函数的全微分的表示 二元函数 三元函数 （3）在区域内为某一二元函数的全微分的充分必要条件是：1）区域是一个单连通区域； 2）在内处处成立 若已知，且都满足的充分必要条件，则可以通过下列步骤求得的形式： 四、多元函数的极值 二元函数的极值 若在 点可导，则极值点必为驻点： ； 且， 极大， 极小非极值不确定，须由定义判断 其中 注：条件极值问题 目标函数，约束条件 引入函数， （其中称为不定乘数（子） 求可能极
8、值点（）：求解下列方程组 得。在仅有一个可能极值点的情况下，该点也就是真正的极值点；在有多个可能极值点的情况下要逐一讨论。 上述做法可推广到三元或三元以上的多元函数情形，也可以推广到多个约束条件的情形注：在有些问题中。我们可以将条件极值问题变换成无条件极值问题处理，具体步骤如下：利用约束条件，将自变量化成另一自变量的函数，然后代入目标函数，这样，成为自变量仅为的复合函数了。五、多元函数微分学的其它应用 1、空间曲线的切线与法平面方程 空间曲线 （参数形式） 过定点的空间曲线的切线方程为 式中切线向量为过定点的空间曲线的法平面方程为 2、空间曲面的法线与切平面方程 空间曲面 （隐函数形式）过定点的空间曲面的法线方程为 式中法线向量为 过定点的空间曲面的切平面方程为 注：若空间曲面给出的是显函数形式：，则可将显函数形式化成隐函数形式处理，即 于是过定点的空间曲面的法线方程为 过定点的空间曲面的切平面方程为 3、方向导数与梯度 （1）方向导数 如果三元函数在考察点可微，则函数沿一定方向的方向导数为 （2）梯度 如果三元函数在考察点可微，则函数在考察点的梯度为 注：1o梯度是向量，方向
