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1、数值计算初步晋中学院 宫建平编3目 录第1章 误差和MARLAB的计算精度11.1 误差11.1.1 误差的来源11.1.2 有关误差的一些概念21.2 MATLAB中的数值计算精度31.2.1 浮点数及其运算特点31.2.2 MATLAB中的数值计算精度41.3 设计算法的若干原则61.3.1 算法的数值稳定性61.3.2 设计算法的若干原则6第2章 求解非线性方程f(x)=092.1 求解f(x)=0的MATLAB符号法92.2 求方程f(x)=0数值解的基本方法112.2.1 求实根的二分法原理112.2.2 迭代法122.2.3 切线法132.2.4 割线法(弦截法)152.3 方程f
2、(x)=0数值解的M ATLAB实现152.3.1 代数方程的求根指令roots152.3.2 求函数零点指令fzero162.4 求解非线性方程组数值解的迭代法182.5 求方程组数值解的指令19第3章 求解线性代数方程组的直接法213.1 线性代数方程组求解概论213.1.1 线性代数方程组的矩阵表示213.1.2 线性代数方程组解的性质213.2 恰定线性代数方程组求解223.2.1 克莱姆法则223.2.2 高斯消去法233.3 矩阵的三角分解243.3.1 高斯消去法和三角矩阵243.3.2 矩阵的三角分解253.4 线性代数方程组数值解和矩阵三角分解的MATLAB实现263.4.1
3、 齐次线性代数方程组求解指令263.4.2 求解非齐次线性代数方程组的MATLAB方法273.4.3 矩阵分解指令31第4章 求解线性代数方程组和计算矩阵特征值的迭代法354.1 求解线性代数方程组的迭代法354.1.1 迭代法的基本原理354.1.2 雅可比迭代法354.1.3 赛德尔迭代法364.1.4 迭代法的敛散性374.2 方阵特征值和特征向量的计算404.2.1 方阵特征方程的求解404.2.2 计算特征值和特征向量的迭代法404.3 矩阵一些特征参数的MATLAB求算424.3.1 求方阵特征值的有关指令424.3.2 矩阵的正交三角分解指令454.3.3 计算范数和矩阵谱半径的
4、指令46第5章 插值法和数据拟合495.1 多项式插值495.1.1 代数多项式插值的基本原理495.1.2 两种常见插值法505.1.3 插值多项式的误差估计535.2 分段三次插值和三次样条函数535.2.1 分段三次Hermte插值545.2.2 三次样条插值的基本原理545.2.3 三次样条插值函数的一种具体推导方法555.3 插值法在MATALAB中的实现575.3.1 一元函数的插值(查表)指令575.3.2 三次插值和三次样条插值指令575.4 数据的曲线拟合595.4.1 数据拟合的最小二乘法595.4.2 超定方程组的最小二乘解605.5 多项式运算在MATLAB中的实现61
5、5.5.1 多项式及其系数向量615.5.2 多项式运算625.6 曲线拟合在MATLAB中的实现645.6.1 数据的多项式曲线拟合645.6.2多项式数据拟合应用的扩充65第6章 数 值 积 分676.1 计算积分的M ATLAB符号法676.1.1常微分方程的MATLAB符号表示法676.2 牛顿_柯特斯求积公式706.2.1 牛顿_柯特斯求积公式推导706.2.2 牛顿_柯特斯求积公式的误差估计726.3 几个低次牛顿_柯特斯求积公式736.3.1 矩形求积公式736.3.2 梯形求积公式746.3.3 抛物线求积公式746.4 复合求积公式及其M ATLAB 实现756.4.1 复合
6、矩形求积法及其MATLAB实现758.4.2 复合梯形求积法及其MATLAB实现766.5 变步长复合求积及其M ATLAB 实现786.5.1 复合抛物线求积公式786.5.2 变步长复合抛物线求积公式786.5.3 求数值积分的指令quad和quadl79第7章 常微分方程初值问题的数值解837.1求解常微分方程的MATLAB符号法837.1.1常微分方程的MATLAB符号表示法837.1.2 求解常微分方程的符号法指令dsolve847.2 常微分方程数值解的基本原理867.2.1 求常微分方程数值解的基本原理867.2.2 泰勒展开法877.2.3 龙格_库塔法887.3 常微分方程初
7、值问题数值解的M ATLAB实现897.3.1 求常微分方程初值问题数值解的指令897.3.2 ode23使用方法举例90第1章 误差和MARLAB的计算精度把客观事物抽象化, 建立起数学模型, 再对数学模型进行数值计算, 这个过程中始终存在着误差问题. 本章介绍误差的基本理论. 着重介绍数值计算中的误差问题及MATLAB在数值计算中的精度选取, 最后介绍设计算法时应该注意的事项.1.1 误差用数学方法解决实际问题的过程中, 数据和客观事物之间总会存在差异, 把这种差异称为误差. 客观存在的误差只能减少, 不能根除. 为了尽量减少误差, 就要了解误差的性质.1.1.1 误差的来源解决科学和工程
8、问题时, 常常需要建立描述事物变化规律的数学模型, 并对其中的各个物理量进行测量, 然后进行数值计算, 这些过程中都会产生误差. 从产生误差的原因上, 可以将误差分成下列几类.1. 模型误差把事物变化的规律、特性数学化, 即对客观事物进行抽象、提取、简化, 表述成数学公式模型的过程中, 客观实际和数学模型之间的差异, 称为模型误差.例如, 从距地面高处落下的物体, 下落时间和下落距离间的关系, 在忽略阻力等外界影响时, 可以的近似地用自由落体规律描述成, (重力加速度). 由这个数学模型算出的和实际下落的距离的差值: , 就是模型误差.2. 观测误差数学模型中各个变量(物理、化学、机械、电气等
9、)的观测数据与事物本身客观实际间的差异, 称为观测误差.如上述落体的例子中, 测得的下落时间及距离, 因受测量仪器、观测方法等条件的限制、影响, 记录数据跟客观实际间总会存在差异, 这种差异就属于观测误差.3. 截断误差(方法误差)数学模型的表述往往是很复杂的, 就是一个简单的积分表达式, 也未必能够求出它的精确结果, 经常是只能用数值计算方法算得它的近似解. 精确解析解和近似数值解之间的差异, 称为截断误差(方法误差).例如, 根据某个数学模型, 需要计算一个无穷级数实际计算中, 我们只能取前面的有限项, 比如说取项, 这就产生了误差:这个误差就属于截断误差.4. 舍入误差运算过程中, 每个
10、变量都只能取有限位数字参与计算, 经常用“四舍五入”或其他方法处理参与运算的数据, 多次这样对数据进行“取舍”, 必然使计算结果产生误差, 这种误差称为舍入误差.例如, 数值计算中经常用到的无理数等, 都有无穷多位小数, 运算中却只能取有限位小数, 这样引起的误差就属于舍入误差.模型误差和观测误差产生于建模和测量过程, 诸如怎样建立模型、建立什么样的模型及如何进行测量等, 这些过程的工作多半属于各学科的专业模型误差和观测误差产生于建模和测量过程, 即从客观实际到数学的映射过程, 诸如怎样建立模型、建立什么样的模型及如何进行测量等, 这些过程的工作多半属于各学科的专业问题, 不属于纯数值计算所研
11、究的范畴. 数值计算中, 着重研究的是根据数学模型计算时产生的截断误差和舍入误差.1.1.2 有关误差的一些概念在数值计算中, 要用到许多有关误差的理论和概念, 这里仅介绍几个常用的基本概念和基本术语.1. 绝对误差和绝对误差限设某个量的准确值为, 算得近似值为, 则它们之差叫作近似值的绝对误差(absolute error, 它并不是误差的绝对值), 简称误差, 记为:这样定义误差之后, 就可得出这个量的准确值. 由于误差有正有负, 而且它的大小是基于一个无法得到的量_准确值, 因此也就无法得到确切量. 但是, 根据计算时的具体情况, 可以估计出这个值的大体范围, 即:叫近似值的绝对误差,
12、由它可以知道准确值的取值范围: . 于是, 准确值也可以用近似值和绝对误差限表示为:例如, 通常将光速记为: , 这表示公认的光速近似值为, 其误差限是.2. 相对误差和相对误差限绝对误差无法反映近似程度的好坏, 例如算得一个数据为1 000时, 其误差限是4; 而算得另一个数据为100时, 其误差限是1, 虽然后者的误差限小, 但是在数据中所占的比例却比前者大, 近似值的相对误差(relativistic error):实际计算中, 准确值总是无法知道的, 所以在较小时把相对误差记为:近似值的相对误差越小, 它的精确程度越高. 例如, 前面举例中数据1 000和100的相对误差分别为:1/2
13、50和1/100, 显然前一个数据精确.跟误差一样, 相对误差可正可负, 同样不可能准确地得出, 只能估计它的大小范围. 如果确定出一个适当小的正数, 使得总满足下述关系:则称为近似值的相对误差限.实际上, 绝对误差常常用绝对误差限代替. 当相对误差较小时, 可用下式计算相对误差限:在数值计算中, 常常不说计算误差(无论是相对还是绝对误差), 而是说估算(或估计)误差, 也就是确定误差限, 误差限才具有实际意义.3. 有效数字实际计算中, 常常从认为是精确数据的许多数字中, 用“四舍五入”的方法取前面的有限位为近似值. 这时, 近似值的绝对误差限, 不会超过它末位数的半个单位. 如果设精确值
14、, 按照“四舍五入”的方法, 则:若取, 则绝对误差;若取, 则绝对误差.零数共有位, 则称的误差限是某一位数的半个单位, 从该位以的左数第一位非零数共有位, 则称有“位有效数字”. 上面的有6位有效数字, 有5位有效数字. 由于有效数字和绝对误差限有上述关系, 所以数值计算中常说一个量的有效数字是几位, 就意味着说出了它的绝对误差限.有效数字和绝对误差限之间的关系, 可用下述的一般性关系式表达. 设精确数据的近似值可以表示为:其中, 是0到9中的一个整数, 且.设其绝对误差为:则称有位有效数字, 其绝对误差限为:如某个数据的近似值, 它有5位有效数字, 就是说, 它的绝对误差是.1.2 MA
15、TLAB中的数值计算精度当今的数值计算都是在计算机上进行的, 首先介绍计算机是如何表示数和实施数值计算的.1.2.1 浮点数及其运算特点为了使一个数值的数量级一目了然, 科学计算中常常用10的指数决定小数点的位置, 而小数点的位置可以浮动, 如0.003 241 6, 和852.176可以分别表示成:和把这种允许小数点浮动的表示数字方法, 称为浮点表示法, 这样的数称为浮点数, 它是数字计算机中通用的数字表示方法. 浮点数的一般形式为:其中: (1) 为浮点数的基底, 根据数的进制取值: 数是十进制时, ; 是二进制时, ; 是十六进制时, ; (2) 为浮点表示的阶码, 它有随计算机而异的下限和上限, 即.(3) 称浮点数的尾数. 均为正
