《(全国通用版)2019版高考数学大一轮复习 第八章 解析几何 第42讲 两条直线的位置关系优选学案》由会员分享,可在线阅读,更多相关《(全国通用版)2019版高考数学大一轮复习 第八章 解析几何 第42讲 两条直线的位置关系优选学案(12页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第42讲两条直线的位置关系考纲要求考情分析命题趋势1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直2能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标3掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.2016全国卷,52016全国卷,42015湖南卷,13确定两条直线的位置关系,已知两条直线的位置关系求参数,求直线的交点和点到直线的距离,对称问题,过定点的直线系问题.分值:35分1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,则有l1l2!_k1k2_#;当不重合的两条直线l1,l2的斜率都不存在时,l1与l2的关系为!_平行_#
2、.(2)两直线平行或重合的充要条件直线l1:A1xB1yC10与直线l2:A2xB2yC20平行或重合的充要条件是!_A1B2A2B10_#.(3)两条直线垂直如果两条直线l1,l2的斜率存在,设为k1,k2,则l1l2!_k1k21_#;如果l1,l2中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,则l1与l2的关系为!_垂直_#.(4)两直线垂直的充要条件直线l1:A1xB1yC10与直线l2:A2xB2yC20垂直的充要条件是!_A1A2B1B20_#.2两条直线的交点3三种距离点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离!_#点P0(x0,y0)到直线l:AxByC0的距离d!_
3、#两条平行线AxByC10与AxByC20间的距离d!_#1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线相交()(2)点P(x0,y0)到直线ykxb的距离为.()(3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离()(4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离,也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离()(5)若点A,B关于直线l:ykxb(k0)对称,则直线AB的斜率等于,且线段AB的中点在直线l上()解析(1)错误当方程组有唯一解时两条直线相交,若方程组有无穷多个解,则两条直线重合(2)错误应用点到直线的距离公式时必须将直线方程化
4、为一般式,即点P到直线的距离为.(3)正确因为最小值就是由该点向直线所作的垂线段的长,即点到直线的距离(4)正确两平行线间的距离是夹在两平行线间的公垂线段的长,即两条直线上各取一点的最短距离(5)正确根据对称性可知直线AB与直线l垂直且直线l平分线段AB,所以直线AB的斜率等于,且线段AB的中点在直线l上2已知l1的倾斜角为45,l2经过点P(2,1),Q(3,m),若l1l2,则实数m(B)A6B6C5D5解析由已知得k11,k2.l1l2,k1k21,11,即m6.3点(0,1)到直线x2y3的距离为(B)ABC5D解析d.4点(a,b)关于直线xy10的对称点是(B)A(a1,b1)B(
5、b1,a1)C(a,b)D(b,a)解析设对称点为(x,y),则解得xb1,ya1.5直线l1:xy0与直线l2:2x3y10的交点在直线mx3y50上,则m的值为(D)A3B5C5D8解析由得l1与l2的交点坐标为(1,1),所以m350,m8.一两条直线的平行与垂直问题判断两条直线平行与垂直的注意点(1)当直线方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件(2)在判断两直线平行、垂直时,也可直接利用直线方程系数间的关系得出结论【例1】 已知两条直线l1:axby40和l2:(a1)xyb0,分别求出满足下
6、列条件的a,b的值(1)l1l2,且l1过点(3,1);(2)l1l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等解析(1)由已知可得l2的斜率存在,且k21a.若k20,则1a0,a1.l1l2,直线l1的斜率k1必不存在,即b0.又l1过点(3,1),3a40,即a(矛盾),此种情况不存在,k20,即k1,k2都存在k21a,k1,l1l2,k1k21,即(1a)1.(*)又l1过点(3,1),3ab40.(*)由(*)(*)联立,解得a2,b2.(2)l2的斜率存在,l1l2,直线l1的斜率存在,k1k2,即1a.又坐标原点到这两条直线的距离相等,且l1l2,l1,l2在y轴上的截距互为相反数,即
7、b,联立,解得或a2,b2或a,b2.二两条直线的交点问题常用的直线系方程(1)与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0(mR,且mC) (2)与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAym0(mR)(3)过直线l1:A1xB1yC1 0与l2:A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R),但不包括l2.【例2】 求经过直线l1:3x2y10和l2:5x2y10的交点,且垂直于直线l3:3x5y60的直线l的方程解析解方程组得l1,l2的交点坐标为(1,2)由于ll3,故l是直线系5x3yC0中的一条,而l过l1,l2的交点(1,2),故5(1)3
8、2C0,由此求出C1.故直线l的方程为5x3y10.三距离公式的应用利用距离公式应注意的问题(1)点P(x0,y0)到直线xa的距离d,到直线yb 的距离d.(2)应用两平行线间的距离公式的前提是把两直线方程中x,y的系数化为相等【例3】 已知点P(2,1)(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程;(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?解析(1)过点P的直线l与原点的距离为2,而点P的坐标为(2,1),显然,过P(2,1)且垂直于x轴的直线满足条件,此时直线l的斜率不存在,其方程为x2.若斜率存在,设直线l的方程为y1k(x2),即kxy2k10.由已知得2,解
9、得k.此时直线l的方程为3x4y100.综上,可得直线l的方程为x2或3x4y100.(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线,如图由lOP,得klkOP1,所以kl2.由直线方程的点斜式得y12(x2),即2xy50.所以直线2xy50是过点P且与原点O的距离最大的直线,最大距离为.四对称问题及其应用两种对称问题的处理方法(1)关于中心对称问题的处理方法若点M(x1,y1)及点N(x,y)关于点P(a,b)对称,则由中点坐标公式得直线关于点的对称,其主要方法是:在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程;或者求出
10、一个对称点,再利用l1l2,由点斜式得到所求的直线方程(2)关于轴对称问题的处理方法点关于直线的对称若两点P1 (x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:AxByC0对称,则线段P1P2的中点在l上,而且连接P1P2的直线垂直于l,由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中B0,x1x2)直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行【例4】 (1)已知直线l:x2y20.求直线l1:yx2关于直线l对称的直线l2的方程;求直线l关于点A(1,1)对称的直线方程(2)光线由点A(5,)入射到x
11、轴上的点B(2,0),又反射到y轴上的点M,再经y轴反射,求第二次反射线所在直线l的方程解析(1)由解得交点P(2,0)在l1上取点M(0,2),M关于l的对称点设为N(a,b),则解得N,kl27,又直线直l2过点P(2,0),直线l2的方程为7xy140.直线l关于点A(1,1)对称的直线和直线l平行,所以设所求的直线方程为x2ym0.在l上取点B(0,1),则点B(0,1)关于点A(1,1)的对称点C(2,1)必在所求的直线上,m4,即所求的直线方程为x2y40.(2)点A(5,)关于x轴的对称点A(5,)在反射光线所在的直线BM上,可知lBM:y(x2),M.又第二次反射线的斜率kkA
12、B,第二次反射线所在直线l的方程为yx,即xy20.1“C5”是“点(2,1)到直线3x4yC0的距离为3”的(B)A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析点(2,1)到直线3x4yC0的距离为3等价于3,解得C5或C25,所以“C5”是“点(2,1)到直线3x4yC0的距离为3”的充分不必要条件故选B2(2018湖北部分重点中学期中)已知A(4,3)关于直线l的对称点为B(2,5),则直线l的方程是(B)A3x4y70B3x4y10C4x3y70D3x4y10解析由题意得AB的中点C为(1,1),又A,B两点连线的斜率为kAB,所以直线l的斜率为,因此直线l的方程
13、为y1(x1),即3x4y10.故选B3设不同直线l1:2xmy10,l2:(m1)xy10,则“m2”是“l1l2”的(C)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析当m2时,代入两直线方程中,易知两直线平行,即充分性成立当l1l2时,显然m0,从而有m1,解得m2或m1,但当m1时,两直线重合,不合要求,故必要性成立故选C4已知直线l1与直线l2:4x3y10垂直且与圆C:x2y22y3相切,则直线l1的方程是!_3x4y140或3x4y60_#.解析圆C的方程为x2(y1)24,圆心为(0,1),半径r2.设直线l1的方程为3x4yc0,则2,解得c14或c6,即直线l1的方程为3x4y140或3x4y60.易错点对变量认识不清晰错因分析:变量转换后,不能及时将变量由原变量转换为新变量