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1、第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 习习 题题 2-1 1、 在将一枚硬币抛掷三次, 观察正面 H 、反面T 出现情况的试验中, 其样本空间 ;,TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHS = 若用表示每次试验出现正面XH 的总次数，则为样本空间X上的函数， （1）试将每次试验出现正面 H 的总次数这一事件用随机变量的表达式表示. （2）求，2=XP1XP 解解 若用表示每次试验出现正面XH 的总次数，则为样本空间X上的函数，定义为 01112223X TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHH 则是随机变量，易见， 使取值为XX)2(2=X的样本点构成的子集为 ,T
2、HHHTHHHTA = 故 , 8/3)(2=APXP 类似地，有 . 8/4,1=TTTTTHTHTHTTPXP 2、 掷一枚均匀的硬币三次， 观察前后三次出现的正面次数之和 “大于 2” ，“等于 2” ， “小于 2”的情况，定义一个随机变量，并写出该随机变量取每一个特定值的概率. 解解 分别用表示试验的三个结果“大于 2” ， “等于 2” ， “小于 2”则 321 ,www , 321 www=定义随机变量X如下： = = = = 3 2 1 2 1 0 )( ww ww ww wXX 则 2 1 8 4 2, 8 3 1, 8 1 0=XPXPXP 3、 一报童卖报, 每份 0.
3、15 元,其成本为 0.10 元. 报馆每天给报童 1000 份报, 并规定 他不得把卖不出的报纸退回. 设为报童每天卖出的报纸份数, 试将报童赔钱这一事 件用随机变量的表达式表示. X 解解 “报童赔钱”即是“卖出的报纸不够成本” 所以报童赔钱=66610. 0100015. 0x )(xF=dtte tx 3 0 9 1 = 3 ) 3 1 (1 x e x + 故 + = 0) 3 1 (1 00 )( 3 xe x x xF x 所以 616XPdxe x 15 1 1515 1 + =) 15 1 ( 15 15 1 + xde x = + 15 15 1 x e= 1 e (2)设
4、Y表示10台洗衣机中寿命超过15年的台数,则Y ),10( 1 eb = 1YP01=YP 101010 10 )1 ()(1 eeC 101) 1 (1 e 7、设， 求 )4 , 1 ( NX. 2| 1|,6 . 10),5(XP 9772. 00228. 0190190=XPXP 又因为 = 90 90 X PXP,所以有 9772. 0 90 = 反查标准正态表得: 2 90 = (1) 同理: 1578. 0 526 83 60=XP 又因为=60XP 60X P,故1578. 0 60 因为,所以5 . 01588. 0 = 0, 0 0, 2 1 )( 2 )(ln 2 y y
5、e y yf y Y 通常称上式中的Y服从对数正态分布, 它也是一种常用寿命分布. 5、设的概率密度. 12),1 , 0( 2 +=XYNX求 解解 因为是非单调函数,故用分布函数法先求 12 2 +=xy)(yFY )(yFY= yYP12 2 yXP+ 1 = y 2 1 2 1y X y P=dxe x y y 2 2 1 2 1 2 2 1 =dxe x y 2 2 1 0 2 2 1 2 所以 =)()(yFyf YY = 122 1 2 2 2 1 2 1 y e y ) 1(y 于是 = 10 1 ) 1(2 1 )( 4 1 y ye yyf y Y 6、 设随机变量X的概率
6、密度为, = 00 02 )( 2 3 x xex xf x X 求的概率密度. 32+=XY 解解 由,有32+=XY32 +=xy, 2 3 = y x, 2 1 =x x)(xePxXPxF Y X =);(lnlnxFxYP Y = 24 当时, 显然继而可得0x. 0)(=xFXX的密度函数为 = 0, 0 0),(ln 1 )()( x xxf x xFxf Y XX = 0, 0 0, 2 1 2 2 2 )(ln x xe x x 8、 设随机变量X的概率密度为,求随机变量 = other xx xfX , 0 11|,|1 )( 1 2 += XY的分布函数与密度函数. 解解 X的取值范围为，则Y的取值范围为，当) 1 , 1()2 , 1 21y时， 111)( 2 =+=yXyPyXPyYPyFY = 1 1 |)|1 ( y y dxx= 1 0 )1 (2 y dxx= 2 )11 (1y 从而Y的分布函数为 () = 21 21111 10 )( 2 y yy y yFY Y的密度函数为 = other y yyfY 0 211 1 1 )( 25
