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1、第二章 圆锥曲线与方程自我校对对称性离心率顶点渐近线离心率_圆锥曲线定义及应用圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略研究有关点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题(1)已知动点M的坐标满足方程5|3x4y12|，则动点M的轨迹是()A椭圆B双曲线C抛物线 D以上都不对(2)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的
2、直线l交C于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么C的方程为_【精彩点拨】(1)利用动点满足的几何条件符合抛物线定义(2)利用椭圆定义来解【规范解答】(1)把轨迹方程5|3x4y12|写成.动点M到原点的距离与它到直线3x4y120的距离相等点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x4y120为准线的抛物线(2)设椭圆方程为1(ab0)，因为AB过F1且A，B在椭圆上，如图所示，则ABF2的周长为|AB|AF2|BF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16，a4.又离心率e，c2，b2a2c28，椭圆C的方程为1.【答案】(1)C(2)1再练一题1点P是抛物线y28x上的任意一点，F是抛物线的焦
3、点，点M的坐标是(2,3)，求|PM|PF|的最小值，并求出此时点P的坐标【解】抛物线y28x的准线方程是x2，那么点P到焦点F的距离等于它到准线x2的距离，过点P作PD垂直于准线x2，垂足为D，那么|PM|PF|PM|PD|.如图所示，根据平面几何知识，当M，P，D三点共线时，|PM|PF|的值最小，且最小值为|MD|2(2)4，所以|PM|PF|的最小值是4.此时点P的纵坐标为3，所以其横坐标为，即点P的坐标是.圆锥曲线的方程与性质椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，主要指图形的范围、对称性，以及顶点坐标、焦点坐标、中心坐标、离心率、准线、渐近线以及几何元素a，b，c，e之间的关系等如图21所
4、示，F1，F2是椭圆C1：y21与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()图21A. B C D【精彩点拨】由椭圆可求出|AF1|AF2|，由矩形求出|AF1|2|AF2|2，再求出|AF2|AF1|即可求出双曲线方程中的a，进而求得双曲线的离心率【规范解答】由椭圆可知|AF1|AF2|4，|F1F2|2.因为四边形AF1BF2为矩形，所以|AF1|2|AF2|2|F1F2|212，所以2|AF1|AF2|(|AF1|AF2|)2(|AF1|2|AF2|2)16124，所以(|AF2|AF1|)2|AF1|2|AF2|2
5、2|AF1|AF2|1248，所以|AF2|AF1|2，因此对于双曲线有a，c，所以C2的离心率e.【答案】D再练一题2已知椭圆1(ab0)的半焦距是c，A，B分别是长轴、短轴的一个端点，O为原点，若ABO的面积是c2，则这一椭圆的离心率是()A. B C D【解析】abc2，即a2(a2c2)12c4，所以(a23c2)(a24c2)0，所以a24c2，a2c，故e.【答案】A直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系主要有：(1)有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题，应注意数形结合；(2)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系；(3)有关垂直问题，应注意运用斜率关系及根与系数
6、的关系，尽量设而不求，简化运算已知椭圆1(ab0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)图22(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：yxm与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足，求直线l的方程【精彩点拨】(1)利用定义解题(2)利用勾股定理和弦长公式来解【规范解答】(1)由题设知解得a2，b，c1，椭圆的方程为1.(2)由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2y21，圆心到直线l的距离d，由d1得|m|1时，设切线l的方程为yk(xm)由得(14k2)x28k2mx4k2m240.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y
7、2)，则x1x2，x1x2.又由l与圆x2y21相切，得1，即m2k2k21.所以|AB|.由于当m1时，|AB|，所以|AB|，m(，11，)因为|AB|2，当且仅当m时，|AB|2，所以|AB|的最大值为2.1已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A(1,3)B(1，)C(0,3) D(0，)【解析】若双曲线的焦点在x轴上，则又(m2n)(3m2n)4，m21，1n3m2且n0，b0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y24x的准线上，则双曲线的方程为()A.1 B1C.1 D1【解析】由双曲线的渐近线yx过点(2，)，可得2.由双曲线的焦点(，0)在抛物线y24x的准线x上，可得.由解得a2，b，所以双曲线的方程为1.【答案】D5已知椭圆E：1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.(1)当t4，|AM|AN|时，求AMN的面积；(2)当2|AM|AN|时，求k的取值范围【解】设M(x1，y1)，则由题意知y10.(1)当t4时，E的方程为1，A(2,0)由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为yx2.将xy2代入1得7y212y0，解得y0或y，所以y1.因此AMN的面积SAMN2.(2)由题意t3，k0，A(，0)将直线AM的方程y
