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1、第五章 二次型,第一节 二次型及其矩阵,一、二次型的概念,称为二次型.,例如,都为二次型；,为二次型的标准形.,1用和号表示,对二次型,二、二次型的矩阵,2用矩阵表示,二次型的矩阵及秩,在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系,解,例1,三、矩阵的合同,矩阵合同的基本性质：,（1）自反性,（2）对称性,（3）传递性,课 外 习 题,习 题 5-1 p168,2（1，3），3，6,第二节 化二次型为标准形,一、用配方法化二次型为标准形,p 169 略,1. 若二次型含有 的平方项
2、，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形;,拉格朗日配方法的步骤,2. 若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型，然后再 按1中方法配方.,解,例1,所用变换矩阵为,解,例2,由于所给二次型中无平方项，所以,再配方，得,所用变换矩阵为,二、用初等变换化二次型为标准形,p 171 略,证明,即 为对称矩阵.,三、用正交变换化二次型为标准形,说明,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,解,1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值,例2,从而得特征值,2求特征向量,3将特征向量正交化,得
3、正交向量组,4将正交向量组单位化，得正交矩阵,于是所求正交变换为,惯性定理,一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩,下面我们限定所用的变换为实变换，来研究二次型的标准形所具有的性质,四、二次型与对称矩阵的规范形,课 外 习 题,习 题 5-2 p176,1（2），6（1）,第三节 正定二次型,为正定二次型,为负定二次型,一、二次型正定性的概念,例如,证明,充分性,故,二、正定矩阵的判别法,必要性,故,推论 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的特征值全为正,这个定理称为霍尔维茨定理,定理3 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的各阶主子式为正，即,对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主 子式为负，而偶数阶主子式为正，即,正定矩阵具有以下一些简单性质,例1 判别二次型,是否正定.,解,它的顺序主子式,故上述二次型是正定的.,例2 判别二次型,是否正定.,解,二次型的矩阵为,用特征值判别法.,故此二次型为正定二次型.,即知 是正定矩阵，,例3 判别二次型,的正定性.,解,课 外 习 题,习 题 5-3 p181,1（1），2（1），4,
