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1、1福福 州州 大大 学学 made by syhuang第三章第三章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性3.1 线性方程组的解的判定线性方程组的解的判定 3.2 向量组及其线性组合向量组及其线性组合3.3 向量组的线性相关性向量组的线性相关性3.4 向量组的最大无关组与秩向量组的最大无关组与秩3.5 线性方程组解的结构线性方程组解的结构3.6 向量空间向量空间 (了解了解)2福福 州州 大大 学学 made by syhuang3.1 线性方程组的解的判定线性方程组的解的判定 二、线性方程组有解的条件二、线性方程组有解的条件三、线性方程组的解法三、线性方程组的解法一、解与秩的关系一、解与秩的
2、关系 四、小结四、小结3福福 州州 大大 学学 made by syhuang线性方程组线性方程组对一个方程组进对一个方程组进初等初等行行变换变换(消元法消元法)，实际上就是对它的，实际上就是对它的增广矩阵增广矩阵 (A,b) 做做初等初等行行变换变换. 回顾回顾(同解变换同解变换) 的矩阵形式的矩阵形式 4福福 州州 大大 学学 made by syhuang称为方程组（称为方程组（1）的）的导出组，导出组，或称为（或称为（1）对应的齐次线性方程组对应的齐次线性方程组 . 当当时时,齐次线性方程组齐次线性方程组5福福 州州 大大 学学 made by syhuang一、解与秩的关系一、解与秩
3、的关系 例例1：解线性方程组解线性方程组 解解 ： 最后一行有最后一行有 可知方程组无解。可知方程组无解。 有矛盾方程！有矛盾方程！ 无解无解 r2-2r1r3-r1r3 + r2(举例说明举例说明)6福福 州州 大大 学学 made by syhuang例例2 解方程组解方程组解解r 解为解为有唯一解有唯一解 总未知量数总未知量数 7福福 州州 大大 学学 made by syhuang例例3：解线性方程组解线性方程组解：解：对应对应的方的方程组程组为为 即即一般一般 解为解为 （k为为任意任意常数）常数） r自由未知量自由未知量 无穷多解无穷多解 总未知量数总未知量数R(A)个个非自由非自
4、由未知量未知量 有有n-R(A)=1个个“三非选择三非选择”：在：在行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵(或行或行最简形矩阵最简形矩阵)中中非非零零行首个行首个非非零元对应零元对应 非非自由未知量自由未知量 8福福 州州 大大 学学 made by syhuang化为化为行阶行阶梯形矩阵梯形矩阵 对一个方程组对一个方程组AmnX=b进行初等变换，实际上进行初等变换，实际上 就是就是 对它的增广矩阵做初等对它的增广矩阵做初等行行变换变换初等初等行行变换变换 概述概述 （2） (总未知量个数为总未知量个数为 个个)下一步将下一步将(2)化为化为行最简形矩阵行最简形矩阵9福福 州州 大大 学学 made by
5、syhuang则以矩阵（则以矩阵（3）为增广矩阵的方程组与方程组（）为增广矩阵的方程组与方程组（1）同解。）同解。化为化为行最行最简形矩阵简形矩阵 10福福 州州 大大 学学 made by syhuang由矩阵（由矩阵（3）可得到方程组（）可得到方程组（1）的）的解的情况解的情况 1) 若若 ，则方程组无解，则方程组无解 2) 若若则方程组有解则方程组有解 当当有唯一解有唯一解 有无穷多解有无穷多解 3)特别地，方程组特别地，方程组(1)的导出组，即对应的齐次线性方程组的导出组，即对应的齐次线性方程组 AX=0 一定有解一定有解, 当当有唯一解有唯一解, 有无穷多解，有无穷多解， 即有非零解
6、即有非零解 即只有零解即只有零解 即一定有零解即一定有零解11福福 州州 大大 学学 made by syhuang二、线性方程组有解的判定条件二、线性方程组有解的判定条件特殊特殊:说明：说明：要研究线性方程组要研究线性方程组AX=b 的解的情况的解的情况可借助系数矩阵可借助系数矩阵Amn和增广矩阵和增广矩阵(A,b)的秩来讨论的秩来讨论1412福福 州州 大大 学学 made by syhuang 练习练习7: 80-81页页 三三59; 60; 117-119 页页 一一1,2; 二二15 三三29 13福福 州州 大大 学学 made by syhuang例例4 4 求解求解齐次齐次线性
7、方程组线性方程组解解可知可知 R(A)=24, 故方程组有非零解故方程组有非零解, 14福福 州州 大大 学学 made by syhuang得同解方程组得同解方程组:令令 x3=c1, x4=c2, 方程组的通解为方程组的通解为:15福福 州州 大大 学学 made by syhuang三、线性方程组解法三、线性方程组解法概述概述 将系数矩阵用将系数矩阵用初等行变换初等行变换化成化成行最简形行最简形矩阵矩阵, 写写出同解方程组出同解方程组(用自由未知量表示用自由未知量表示) , 即可写出其通解即可写出其通解.1. 齐次线性方程组：齐次线性方程组：2. 非齐次线性方程组：非齐次线性方程组：将增
8、广矩阵用将增广矩阵用初等行变换初等行变换化成化成行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解便可判断其是否有解若有解，化成若有解，化成行最简形行最简形矩阵，便可写出其通解矩阵，便可写出其通解.16福福 州州 大大 学学 made by syhuang例例5 求解求解非齐次非齐次方程组的通解方程组的通解解解 对增广矩阵对增广矩阵B进行初等进行初等行行变换变换 R(A)=R(B)=2n=4故方程组有无穷多解故方程组有无穷多解(注注: 有有n-R(A)=4-2=2个自由未知量个自由未知量) 17福福 州州 大大 学学 made by syhuang解解 对增广矩阵对增广矩阵B进行初等进行初等行行变换
9、变换 R(A)=R(B)=2n=4故方程组有无穷多解故方程组有无穷多解则有则有18福福 州州 大大 学学 made by syhuang所以方程组的通解为所以方程组的通解为即原方程组等价于即原方程组等价于(这里这里, B2为为B的行的行最简形矩阵）最简形矩阵） (注注:自由未知量是自由未知量是 ) x2, x 4“三非选择三非选择”：在行阶梯形矩阵：在行阶梯形矩阵(或行最简形矩阵或行最简形矩阵)中中非非零行首个零行首个非非零元对应零元对应非非自由未知量自由未知量19福福 州州 大大 学学 made by syhuang方程组的通解为方程组的通解为非齐次通非齐次通解的结构解的结构20福福 州州
10、大大 学学 made by syhuang例例6 6 设有线性方程组设有线性方程组解解两种解法两种解法 (参见书参见书P85 例例3.3)21福福 州州 大大 学学 made by syhuang(注注: 不能约掉不能约掉!)22福福 州州 大大 学学 made by syhuangI解解 (1) 当当 1且且 2时时, R(A)=R(B)=3,方程组有唯一解方程组有唯一解.(2) 当当 = 2时时,得得R(A)=2, R(B)=3, 即即(3) 当当 =1时时, 23福福 州州 大大 学学 made by syhuangB2对应对应注注: 自由未知量自由未知量个数为个数为n-r(A) =3-
11、1=2通解通解24福福 州州 大大 学学 made by syhuang此种题型此种题型, 若若方程个数等于未知量个数方程个数等于未知量个数, 则可考虑则可考虑用下面的解法用下面的解法:II解解系数行列式系数行列式定理定理 如果如果| |Ann|=0,|=0,则则AnnX=b 无解或有无穷多解无解或有无穷多解. . 25福福 州州 大大 学学 made by syhuang(1) 当当 1且且 2时时, |A| 0,方程组有唯一解方程组有唯一解.(2) 当当 = 2时时, R(A)=2, R(B)=3, 方程组无解方程组无解.26福福 州州 大大 学学 made by syhuang(3) 当
12、当 = 1时时,此时有此时有:R(A)=R(B)=1,方程组有无穷多解方程组有无穷多解.得同解方程组得同解方程组:令令 x2=c1, x3=c2, 通解为通解为:27福福 州州 大大 学学 made by syhuang1.齐次线性方程组齐次线性方程组四、小结四、小结对于齐次线性方程组对于齐次线性方程组 有如下推论有如下推论: 推论推论1 若若 mn , 方程组方程组 必有非零解必有非零解. 推论推论2 若若 m=n , 方程组方程组 有非零解的充要有非零解的充要条件是条件是28福福 州州 大大 学学 made by syhuang( ( ) )( () )nA, bRAR= = =2.非齐次
13、线性方程组非齐次线性方程组1.齐次线性方程组齐次线性方程组四、小结四、小结( ( ) )( () )nA, bRAR = =有无穷多解有无穷多解. .bAx = =3、推广推广到矩阵方程到矩阵方程 (书书P90)a) 矩阵方程矩阵方程AmnXnt=Bmt有解有解 b) 矩阵方程矩阵方程R(A)=R(A,B)30福福 州州 大大 学学 made by syhuang3.2 向量组及其线性组合向量组及其线性组合 一、一、n 维向量维向量二、向量组与矩阵二、向量组与矩阵三、向量组的线性组合三、向量组的线性组合四、等价向量组四、等价向量组31福福 州州 大大 学学 made by syhuang线性方
14、程组的向量表示线性方程组的向量表示v 方程组与增广矩阵的列向量组之间方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应一一对应33福福 州州 大大 学学 made by syhuang一、一、n 维向量维向量1. 定义定义3.1 n 个有次序的数个有次序的数 a1,a2, ,an 所组成的所组成的数组称为数组称为 n 维向量维向量 , 第第 i 个数称为第个数称为第 i 个个分量分量.分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量,分量为复数的向量称为复向量分量为复数的向量称为复向量. .2. n 维向量的表示方法维向量的表示方法n 维向量写成一维向量写成一列列, 称为称为列向量列向量. 通常用
15、通常用 , , , 或或 a a,b b,c c, 等表示等表示.34福福 州州 大大 学学 made by syhuangn 维向量写成一维向量写成一行行, 称为称为行向量行向量. 通常用通常用 T, T, T, 或或 a aT,b bT,c cT, 等表示等表示.列向量可通过转置变为行向量列向量可通过转置变为行向量.列向量可写为列向量可写为:元素全为零的元素全为零的向量向量称为称为零零向量向量. . 记作记作或或35福福 州州 大大 学学 made by syhuang 说明说明1. 行向量和列向行向量和列向量总被看作是量总被看作是两个不同的向量两个不同的向量.当没有明确说明是行向量还是列
16、向量时当没有明确说明是行向量还是列向量时, 所指向所指向量都当作列向量量都当作列向量(本书说明本书说明).2. 行、列向量都按照行、列向量都按照矩阵的运算法则矩阵的运算法则进行运算；进行运算；向量向量加加法法法法与数乘与数乘运算运算统称为统称为向量向量的的线性运算线性运算. .15 36福福 州州 大大 学学 made by syhuang1. 若干个同维数的若干个同维数的列列 向量组成的集合叫做向量组成的集合叫做列列 向量组向量组二、向量组与矩阵二、向量组与矩阵(行行)(行行) 2. 一个一个m n矩阵矩阵A=(aij)的的每一列每一列都可看成一个都可看成一个m维列维列向量向量, 向量组向量
17、组 1, 2, , n 称为矩阵称为矩阵A的列向量组的列向量组. 3.一个一个m n矩阵矩阵A=(aij)的的每一行每一行都可看成一个都可看成一个n维行向量维行向量, 向量组向量组 称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组37福福 州州 大大 学学 made by syhuang 矩阵的列向量组和行向量组都是只含有有限个矩阵的列向量组和行向量组都是只含有有限个向量的向量组；向量的向量组； 反之反之, 一个含有限多个向量的向量一个含有限多个向量的向量组总可以组总可以构成矩阵构成矩阵.如如: 由由n个个m维列向量可以构成一个维列向量可以构成一个m n矩阵矩阵.由由m个个n维行向量也可以构成一个维行向
18、量也可以构成一个m n矩阵矩阵. 4. 线性方程组线性方程组 A m n x =0 的的全体解全体解, 当当R(A) 0)m-R(A)57福福 州州 大大 学学 made by syhuang证证: (书书P98)58福福 州州 大大 学学 made by syhuang解：解：说明：说明： n+1 个个 n 维列向量组成的向量组维列向量组成的向量组 . 必线性相关必线性相关60福福 州州 大大 学学 made by syhuang推论推论: 1. m个个n维列向量组成的向量组，维列向量组成的向量组，一定线性相关一定线性相关.当当mn时时61福福 州州 大大 学学 made by syhuan
19、g定理定理3 3 向量组向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是 中至少有一个向中至少有一个向量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示证：证： 充分性充分性 设设 中有一个向量（比如中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.即有即有故故因因 这这 个数不全为个数不全为0，故故 线性相关线性相关.必要性必要性设设 线性相关，线性相关，则有不全为则有不全为0的数使的数使 不妨设则有不妨设则有即即 能由其余能由其余向量线性表示向量线性表示.62福福 州州 大大 学学 made by syhuang问问:若向量组若向量组A 线性相关，则
20、线性相关，则 A 中中任何任何向量可由向量可由其余向量线性表示其余向量线性表示,对吗？对吗？例如：例如：a=(1,1,0),b=(-1,-1,0),c=(0,0,1),则则a,b,c 线线性相关性相关,但但c 不可由不可由a,b线性表示线性表示.不一定不一定定理定理3 3 向量组向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是 中中至少至少有一个向有一个向量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示63福福 州州 大大 学学 made by syhuang三、线性相关性的性质三、线性相关性的性质定理定理4证明证明64福福 州州 大大 学学 made by syh
21、uang定理定理5证明证明(反之反之)65福福 州州 大大 学学 made by syhuang即即低维线性无关低维线性无关 高维高维 线性无关线性无关 高维线性相关高维线性相关低维线性相关低维线性相关67福福 州州 大大 学学 made by syhuang四、四、 在线性方程组中的线性相关性在线性方程组中的线性相关性68福福 州州 大大 学学 made by syhuang例例5 5 设设向量组向量组 1, 2, 3 线性相关线性相关, 向量组向量组 2, 3, 4线性无关线性无关, 证明证明:(1) 1能由能由 2, 3 线性表示线性表示.(2) 4 不能由不能由 1, 2, 3 线性表
22、示线性表示.证明证明 (1) 因因 2, 3, 4线性无关线性无关, 故故 2, 3 线性无关线性无关, 又已知又已知 1, 2, 3 线性相关线性相关,故故 1 能由能由 2, 3 线性表示线性表示.(2) 设设 4 能由能由 1, 2, 3 线性表示线性表示,又又 1 能由能由 2, 3 线性表示线性表示,故故 4 能由能由 2, 3 线性表示线性表示,(传递性传递性)与已知与已知 2, 3, 4线性无关矛盾线性无关矛盾,故故 4 不能由不能由 1, 2, 3 线性表示线性表示.69福福 州州 大大 学学 made by syhuang一一、向量组的秩向量组的秩二二、矩阵与向量组秩的关系矩
23、阵与向量组秩的关系三三、求向量组的最大无关组求向量组的最大无关组四、向量组秩的一些结论四、向量组秩的一些结论五、小结五、小结3.4 向量组的最大无关组与秩向量组的最大无关组与秩 70福福 州州 大大 学学 made by syhuang最大线性无关向量组最大线性无关向量组 最大最大 无关组无关组定义定义 一、向量组的秩一、向量组的秩（2 2）向量组）向量组A A中任意中任意r r+1+1个向量个向量( (若若A A中中 有有r r+1+1个向量个向量) )都线性相关都线性相关, , 的的秩秩. 记作记作 RA .说明说明不唯一不唯一. 2、向量组向量组 A和它的最大无关组和它的最大无关组 A0
24、 是等价的是等价的.72福福 州州 大大 学学 made by syhuang1、向量组的最大无关组不是唯一的向量组的最大无关组不是唯一的说明说明: 2、3、向量组向量组 A和它的最大无关组和它的最大无关组 A0 是等价的是等价的.4、5、18 73福福 州州 大大 学学 made by syhuang6、(重要重要)7、(重要重要)若向量组若向量组 A的秩的秩 为为 r 即即R(A) = r,则则A中中任何任何r个线性无关的向量为它的最大无关组个线性无关的向量为它的最大无关组. (求一个最大无关组的方法求一个最大无关组的方法)(m为向量的个数为向量的个数)74福福 州州 大大 学学 made
25、 by syhuang75福福 州州 大大 学学 made by syhuang 练习练习9: 119-121页页 三三31; 32; 四四46; 47 提高题提高题 3 76福福 州州 大大 学学 made by syhuang定理定理3.13 矩阵的秩矩阵的秩等于它的等于它的列列向量组的向量组的秩秩,也等也等于它的于它的行行向量组的向量组的秩秩.三、求向量组的最大无关组三、求向量组的最大无关组(书书P100)77福福 州州 大大 学学 made by syhuang三、求向量组的最大无关组三、求向量组的最大无关组2.列向量组的最大无关组具体求法列向量组的最大无关组具体求法: 将矩阵将矩阵
26、A 用用初等行变换初等行变换化为行阶梯形矩阵化为行阶梯形矩阵 B, 找出找出 B 的最高阶非零子式的最高阶非零子式所在的所在的列列, (即为即为B的的列向量组列向量组的一个最大无关组的一个最大无关组)由于由于初等初等行行变换变换会保持列向量组成员间的线性关系，会保持列向量组成员间的线性关系，故故其其对应于对应于A 所在的列向量就是所在的列向量就是A的的列向量组列向量组的的一个最大无关组一个最大无关组.附注附注: 20 78福福 州州 大大 学学 made by syhuang79福福 州州 大大 学学 made by syhuang行行R(A)=35, 组组A线性相关线性相关行行B1注意注意:
27、初等初等行行变换变换会保持列向量组成员间的线性关系会保持列向量组成员间的线性关系why? 80福福 州州 大大 学学 made by syhuang行行B2注意注意:初等初等行行变换变换会保持列向量组成员间的线性关系会保持列向量组成员间的线性关系B2X=0 同解同解 ,由于由于AX=0 与与即即 方程方程与与同解同解 (同解变换同解变换).(意味意味 相同的相同的xi值值)因此向量因此向量 之间的线性关系之间的线性关系 与向量与向量 之间的线性关系是相同的之间的线性关系是相同的 .81福福 州州 大大 学学 made by syhuang回顾回顾定理定理3.6 向量组向量组B: 1, 2, ,
28、 s 能由向量组能由向量组A: 1, 2, , m 线性表示线性表示的充要条件是的充要条件是即即 Ax=b 有解，有解，AX = B有解有解R(A)=R(A,B) 矩阵矩阵 A=( 1, 2, , m ) 的秩等于矩阵的秩等于矩阵 (A, B)=( 1, 2, , m, 1, 2, , s) 的秩的秩,即即 R(A)=R(A,B)82福福 州州 大大 学学 made by syhuang回顾回顾定理定理3.6 向量组向量组B: 1, 2, , s 能由向量组能由向量组A: 1, 2, , m 线性表示线性表示的充要条件是的充要条件是 矩阵矩阵 A=( 1, 2, , m ) 的秩等于矩阵的秩等
29、于矩阵 (A, B)=( 1, 2, , m, 1, 2, , s) 的秩的秩,即即 R(A)=R(A,B)AX = B有解有解R(A)=R(A,B)推论推论 向量组向量组A: 1, 2, , m 与与向量组向量组B: 1, 2, , s 等价等价的充要条件是的充要条件是 R(A)=R(B)=R(A,B), 其中其中A和和B 是是向量组向量组A和和B 所构成的矩阵所构成的矩阵. 有解有解组组A 能由组能由组B线性表示线性表示BX = A定理定理3.7 向量组向量组B: 1, 2, , s 能由向量组能由向量组A: 1, 2, , m 线性表示线性表示, 则矩阵则矩阵 B=( 1, 2, , m
30、 ) 的秩小于的秩小于矩阵矩阵 A=( 1, 2, , m) 的秩的秩, 即即R(B) R(A ).R(B) 83福福 州州 大大 学学 made by syhuang三、向量组秩的一些结论三、向量组秩的一些结论3.2的定理中的定理中矩阵的秩矩阵的秩均可改为均可改为向量组的秩向量组的秩.回顾回顾定理定理3.6 向量组向量组B: 1, 2, , s 能由向量组能由向量组A: 1, 2, , m 线性表示线性表示的充要条件是的充要条件是 矩阵矩阵 A=( 1, 2, , m ) 的秩等于矩阵的秩等于矩阵 (A, B)=( 1, 2, , m, 1, 2, , s) 的秩的秩,即即 R(A)=R(A
31、,B)AX = B有解有解R(A)=R(A,B)定理定理1 向量组向量组 1, 2, , s 能由向量组能由向量组 1, 2, , m 线线性表示的充分必要条件是性表示的充分必要条件是R( 1, 2, , m ) =R( 1, 2, , m, 1, 2, , s) .84福福 州州 大大 学学 made by syhuang三、向量组秩的一些结论三、向量组秩的一些结论3.2的定理中的定理中矩阵的秩矩阵的秩均可改为均可改为向量组的秩向量组的秩.定理定理1 向量组向量组 1, 2, , s 能由向量组能由向量组 1, 2, , m 线线性表示的充分必要条件是性表示的充分必要条件是R( 1, 2,
32、, m ) =R( 1, 2, , m, 1, 2, , s) .定理定理2 若向量组若向量组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示线性表示, 则则RB RA . 推论推论 若向量组若向量组 B 与向量组与向量组 A 等价等价, 则则RA=RB . 回顾回顾19 定理定理3.7 向量组向量组B: 1, 2, , s 能由向量组能由向量组A: 1, 2, , m 线性表示线性表示, 则矩阵则矩阵 B=( 1, 2, , m ) 的秩小于的秩小于矩阵矩阵 A=( 1, 2, , m) 的秩的秩, 即即R(B) R(A ).85福福 州州 大大 学学 made by syhuang最大无关组的一个
33、最大无关组的一个等价定义等价定义:定理定理 设向量组设向量组 A0 : 1, 2, , r 是向量组是向量组 A 的的一个部分组一个部分组,且满足且满足:(1) 向量组向量组 A0 线性无关线性无关,(2) 向量组向量组 A 的的任一任一向量都能由向量组向量都能由向量组 A0线性表示线性表示, 则向量组则向量组 A0 是向量组是向量组 A 的一个最大无关组的一个最大无关组.最大线性无关向量组最大线性无关向量组 最大最大 无关组无关组（2 2）向量组）向量组A A中中任意任意r r+1+1个向量个向量( (若若A A中中 有有r r+1+1个向量个向量) )都线性相关都线性相关, , 定义定义
34、回回顾顾86福福 州州 大大 学学 made by syhuang最大无关组的一个最大无关组的一个等价定义等价定义:定理定理 设向量组设向量组 A0 : 1, 2, , r 是向量组是向量组 A 的的一个部分组一个部分组,且满足且满足:(1) 向量组向量组 A0 线性无关线性无关,(2) 向量组向量组 A 的的任一向量都能由向量组任一向量都能由向量组 A0线性表示线性表示, 则向量组则向量组 A0 是向量组是向量组 A 的一个最大无关组的一个最大无关组.证明证明 设设 1, 2, , r+1 是组是组A中中任意任意r+1个个向量向量, 由由(2)可知这可知这r+1个个向量能由向量组向量能由向量
35、组 A0线性表示线性表示, 从而有从而有: R( 1, 2, , r+1) R( 1, 2, , r ) =r所以所以 r+1个个向量向量 1, 2, , r+1 线性相关线性相关, 故故向量组向量组 A0 是向量组是向量组 A 的一个最大无关组的一个最大无关组. 88福福 州州 大大 学学 made by syhuang( ( ) )( ( ) )nBRAR= = =( ( ) )( ( ) )nBRAR = =线性方程组解的情况线性方程组解的情况 复习复习无解无解89福福 州州 大大 学学 made by syhuang齐次线性方程组齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形系数矩阵化成行最简形
36、 矩阵，便可写出其通解；矩阵，便可写出其通解；非齐次线性方程组：非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形增广矩阵化成行阶梯形 矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成 行最简形矩阵，便可写出其通解行最简形矩阵，便可写出其通解.求解线性方程组求解线性方程组步骤步骤:90福福 州州 大大 学学 made by syhuang3.5 线性方程组解的结构线性方程组解的结构 一、齐次线性方程组解的性质一、齐次线性方程组解的性质二、基础解系及其求法二、基础解系及其求法三、非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的性质四、小结四、小结91福福 州州 大大 学学 made
37、by syhuang设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组（1）一、齐次线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构92福福 州州 大大 学学 made by syhuang则上述方程组（则上述方程组（1）可写成矩阵方程）可写成矩阵方程若若为方程为方程 的的解，则解，则称为方程组称为方程组(1) 的的解向量解向量。若记若记93福福 州州 大大 学学 made by syhuang(1) 若若 x= 1, x= 2 为为Ax=0 的解的解, 则则x= 1+ 2 也是也是Ax=0 的解的解. 齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性质 证明证明故故 x = 1+ 2 也是也是 Ax=0 的解的解.
38、 (2) 若若 x= 1 为为Ax=0 的解的解, k为任意实数为任意实数, 则则x=k 1 也是也是Ax=0 的解的解. 证明证明故故 x=k 1 也是也是 Ax=0 的解的解. 94福福 州州 大大 学学 made by syhuang二、基础解系及其求法二、基础解系及其求法附注：附注：基础解系为解向量组中的基础解系为解向量组中的 .一个最大无关组一个最大无关组 (不唯一不唯一)101福福 州州 大大 学学 made by syhuang定理定理1 1注注:1.当当 R(A) = n 时时, 方程组只有零解方程组只有零解, 故没有基础解系故没有基础解系.2.当当 R(A) = r n 时时
39、, 方程组的基础解系恰有方程组的基础解系恰有n r 个向个向量量 为为 1, 2, , n r此时此时 Ax= 的通解可表示为的通解可表示为: Ax= 的通解结构定理的通解结构定理.4. 必须牢记必须牢记：基础解系所含向量的个数基础解系所含向量的个数(组员数组员数) = 自由未知量的个数自由未知量的个数 = 所有未知量个数所有未知量个数n - - 系数矩阵的秩系数矩阵的秩R(A)任何任何n-R(A) 个线性无关的解都是个线性无关的解都是AX=的基础解系的基础解系.= Ax= 的的解集解集S的秩的秩102福福 州州 大大 学学 made by syhuang例例1 1 求齐次线性方程组求齐次线性
40、方程组的基础解系与通的基础解系与通解解:对系数矩阵对系数矩阵A 作初等作初等行行变换，变为变换，变为行行最简矩阵，有最简矩阵，有线性方程组基础解系的求法线性方程组基础解系的求法解解.注：注：基础解系所含向量的个数基础解系所含向量的个数=n - R(A)=4-2=2103福福 州州 大大 学学 made by syhuang(找基础解系常用的方法找基础解系常用的方法) (低维线性无关低维线性无关)(高维线性无关高维线性无关)104福福 州州 大大 学学 made by syhuang105福福 州州 大大 学学 made by syhuang例例2 2 设设 1, 2, 3 是是齐次线性方程组齐
41、次线性方程组 Ax=0 的一个基的一个基础解系础解系, 1= 1+ 2 + 3, 2= 2 3, 3= 2+ 3, 问问 1, 2, 3 能否作为能否作为Ax = 0 的基础解系的基础解系?证明证明: 1, 2, 3 均为均为 1, 2, 3 的线性组合的线性组合, 1, 2, 3 均为均为 Ax = 0 的解的解. 设有数设有数 k1, k2, k3 使使 k1 1+ k2 2+ k3 3 = 0 ,即有即有 k1 1 + (k1+k2+k3) 2 + (k1 k2+k3 ) 3 = 0 ,故有故有:方程组只有零解方程组只有零解: 1, 2, 3线性无关线性无关. 故故 1, 2, 3是是A
42、x = 0 的基础解系的基础解系.106福福 州州 大大 学学 made by syhuang非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的结构三、非齐次线性方程组解的结构证: A( 1 - 2 ) = A 1 - A 2 = b b = 0所以，所以， x= 1 - 2为为AX = 0的解的解.证证: A( + ) = A + A = b + 0 = b所以，所以， x= + 为为AX = b 的解的解.107福福 州州 大大 学学 made by syhuang其中其中 为对应齐次线性方程为对应齐次线性方程组的通解，组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特为非齐
43、次线性方程组的任意一个特解解.非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解 定理定理非齐次线性方程组非齐次线性方程组的通解为的通解为注注: AX = b 的的特解特解： AX = b 的任一解的任一解.108福福 州州 大大 学学 made by syhuang与方程组与方程组 有解等价的命题有解等价的命题线性方程组线性方程组 有解有解109福福 州州 大大 学学 made by syhuang线性方程组的解法线性方程组的解法（1 1）应用克莱姆法则）应用克莱姆法则（2 2）利用初等）利用初等行行变换变换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，
44、容易出错，但有重要的理论价值，可计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题用来证明很多命题特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法的计算方法110福福 州州 大大 学学 made by syhuang AmnX=br行阶梯形行阶梯形B1=(A1,b1) B= (A,b)r行最简形行最简形B2=(A2,b2)= 有无穷多解有无穷多解 (判断有无解判断有无解)B2 有有
45、r 个非零行个非零行, 秩为秩为r ;有有r个非自由未知量个非自由未知量 有有n-r个自由未知量个自由未知量 B2=(A2,b2)=对应对应 最简方程组最简方程组 B2X=b2求解求解步骤步骤(有解下有解下) 转求转求: B2X= 0 的通解的通解 B2X=b2的一个特解的一个特解; 从而得原方程组的通解从而得原方程组的通解. 111福福 州州 大大 学学 made by syhuang例例3 3 求解方程组求解方程组解解(另另:书书P110 例例3.20) 112福福 州州 大大 学学 made by syhuang例例3 3 求解方程组求解方程组解解 分析分析:R(A)=R(B)=24 故
46、方程组有无穷多解，故方程组有无穷多解， 对应齐次方程的基础解系所含向量个数为对应齐次方程的基础解系所含向量个数为 2个个113福福 州州 大大 学学 made by syhuang114福福 州州 大大 学学 made by syhuang115福福 州州 大大 学学 made by syhuang116福福 州州 大大 学学 made by syhuang例例4 解解117福福 州州 大大 学学 made by syhuang线性无关，所以为线性无关，所以为AX = 0的基础解系的基础解系.为为AX = b 的解的解.20118福福 州州 大大 学学 made by syhuang 练习练习
47、10: 120-121页页 三三34; 36; 37;39 四四 50 119福福 州州 大大 学学 made by syhuang( ( ) )( ( ) )nBRAR= = =( ( ) )( ( ) )nBRAR = = 线性方程组解的情况线性方程组解的情况四、小结四、小结齐次线性方程组基础解系的求法齐次线性方程组基础解系的求法126福福 州州 大大 学学 made by syhuang3.6 向量空间向量空间一、向量空间的概念一、向量空间的概念二、向量空间的基与维数二、向量空间的基与维数三、基变换与坐标变换三、基变换与坐标变换, 过渡矩阵过渡矩阵(了解了解)127福福 州州 大大 学学
48、 made by syhuang一、向量空间的概念一、向量空间的概念定义定义3.8设设V为为n维向量的集合维向量的集合,若若V非空非空且对加法且对加法及数乘两种运算及数乘两种运算封闭封闭,则称集合则称集合V为向量空间为向量空间说明说明: 1. 集合集合V 对加法及数乘两种运算对加法及数乘两种运算封闭封闭是指是指:1) 若若 , V, 则则 + V .2) 若若 V, k R, 则则 k V .2n 维向量的集合是一个向量空间维向量的集合是一个向量空间,记作记作Rn .128福福 州州 大大 学学 made by syhuang例例1 1 齐次线性方程组齐次线性方程组Ax= 的的解集解集 S=
49、x| Ax= 是是一个向量空间一个向量空间.例例2 2 非齐次线性方程组非齐次线性方程组Ax=b 的的解集解集 S= x| Ax=b 不是不是一个向量空间一个向量空间.129福福 州州 大大 学学 made by syhuang例例3 3 判别下列集合是否为向量空间判别下列集合是否为向量空间.解解130福福 州州 大大 学学 made by syhuang设设 a, b 为两个已知的为两个已知的 n 维向量维向量,则集合则集合 V = x = a+ b | , R 是向量空间是向量空间.称为由向量称为由向量 a, b 所生成的向量空间所生成的向量空间.一般地一般地:称为由称为由向量组向量组 1, 2, , m所生成的向量空所生成的向量空间间.
