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1、平面向量应用举例一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2014温州高一检测)在ABC中，若ABBC+AB2=0，则ABC是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【解析】选C.因为ABBC+AB2=0，所以AB(BC+AB)=0，所以ABAC=0，所以ABAC，所以BAC是直角，ABC是直角三角形.【变式训练】在四边形ABCD中，AB=a+2b，BC=-4a-b，CD=-5a-3b，则四边形ABCD的形状是()A.矩形B.平行四边形C.梯形D.以上都不对【解析】选C.由已知AD=AB+BC+CD=-8a-2b=2(-4a-b)=2BC，所以ADBC，又AB与CD不平行
2、，即ADBC，AB不平行CD，所以四边形ABCD是梯形.2.已知ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足PA+PB+PC=AB，则点P与ABC的关系为()A.P在ABC内部B.P在ABC外部C.P在AB边所在直线上D.P是AC边的一个三等分点【解析】选D.因为PA+PB+PC=AB，所以PA+PB+PC=PB-PA，所以PC=-2PA=2AP，所以P是AC边的一个三等分点.3.(2014济宁高一检测)如图，E，F，G，H分别是任意四边形ABCD各边的中点，若|AB+BC|=|BA+AD|，则四边形EFGH必是()A.正方形B.梯形C.菱形D.矩形【解析】选C.连接AC，BD，因为E，F，G
3、，H分别是四边形ABCD各边的中点，所以EFAC，且EF=12AC，GHAC，且GH=12AC，EH=12BD，所以EFGH，且EF=GH，所以四边形EFGH是平行四边形，因为|AB+BC|=|BA+AD|，所以|AC|=|BD|，所以EF=EH，所以四边形EFGH是菱形.4.点P在平面上作匀速直线运动，速度v=(4，-3)，设开始时点P的坐标为(-10，10)，则5秒后点P的坐标为(速度单位：m/s，长度单位：m)()A.(-2，4)B.(-30，25)C.(10，-5)D.(5，-10)【解析】选C.5秒后点P的坐标为：(-10，10)+5(4，-3)=(10，-5).5.如图所示，矩形A
4、BCD中，AB=4，点E为AB中点，若DEAC，则|DE|=()A.52B.23C.3D.22【解析】选B.如图建立平面直角坐标系，设|AD|=a，则A(0，0)，C(4，a)，D(0，a)，E(2，0)，所以DE=(2，-a)，AC=(4，a)，因为DEAC，所以DEAC=0，所以8-a2=0解得a=22，所以|AD|=22，所以|DE|=22+(22)2=23.6.(2014福州高一检测)已知AB，AC是非零向量且满足(AB-2AC)AB，(AC-2AB)AC，则ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【解析】选A.因为(AB-2AC)AB，所以(AB
5、-2AC)AB=0，所以AB2-2ACAB=0，所以AB2=2ACAB，因为(AC-2AB)AC，所以(AC-2AB)AC=0，所以AC2-2ABAC=0，所以AC2=2ABAC，所以AB2=AC2，所以|AB|=|AC|，所以ABC是等腰三角形.二、填空题(每小题4分，共12分)7.(2014聊城高一检测)若AB=3a，CD=-5a，且|AD|=|BC|，则四边形ABCD的形状是.【解析】根据题意，若AB=3a，CD=-5a，那么结合向量共线的概念可知，那么四边形ABCD一组对边平行且不相等，|AD|=|BC|，另一组对边相等，则四边形ABCD的形状是等腰梯形.答案：等腰梯形8.如图所示，两
6、条成120角的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力大小是.【解析】由题意知以两根绳子AB，BC为邻边构成菱形ABCD.其中|BD|=10N，由ABC=120，得ABD=60.所以ABD为等边三角形，所以|BA|=|BC|=|BD|=10N.答案：10N9.在三角形ABC中，AP为BC边上的中线，|AB|=3，APBC=-2，则|AC|=.【解题指南】解答本题要注意AB+AC=2AP，AB+BC=AC，AC2=|AC|2的应用.【解析】因为AP为BC边上的中线，所以AB+AC=2AP，AC=AB+BC，所以AC2=(AB+BC)2=AB2+2ABBC+BC2=9+(2
7、AB+BC)BC=9+(AB+AB+BC)BC=9+(AB+AC)BC=9+2APBC=9+2(-2)=5，所以AC2=|AC|2=5，所以|AC|=5.答案：5三、解答题(每小题10分，共20分)10.已知力F=(2，3)作用一物体，使物体从A(2，0)移动到B(-2，3)，求力F对物体做的功.【解析】因为AB=(-2，3)-(2，0)=(-4，3)，所以F对物体做的功是FAB=(2，3)(-4，3)=-8+9=1.11.已知ABC是直角三角形，CA=CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE=2EB.求证：ADCE.【证明】以C为原点，CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.设AC=a
8、，则A(a，0)，B(0，a)，D0,a2，C(0，0)，E13a,23a.因为AD=-a,a2，CE=13a,23a.所以ADCE=-a13a+a223a=0，所以ADCE，即ADCE.【拓展延伸】向量坐标法解决平面几何问题时建立直角坐标系的原则(1)尽量利用图中两个互相垂直的向量所在的直线为坐标轴.(2)尽量选择图中某一特殊点为原点.(3)尽量使位于坐标轴上的已知点越多越好.(4)尽量利用图中的对称性.一、选择题(每小题4分，共16分)1.ABC的三个内角满足2B=A+C，且(AB+AC)BC=0，则ABC一定是()A.等腰直角三角形B.非等腰直角三角形C.等边三角形D.钝角三角形【解析】
9、选C.由(AB+AC)BC=0可知ABC中BC边的中线又是BC边的高，故ABC为等腰三角形，又2B=A+C，故B=3，则ABC为等边三角形.2.一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45方向移动了8m，已知|F1|=2N，方向为北偏东30，|F2| =4N，方向为北偏东60，|F3| =6N，方向为北偏西30，则这三个力的合力所做的功为()A.24 JB.242JC.243JD.246J【解题指南】解答本题的关键是根据任意角三角函数的定义求出三个力对应向量的坐标.【解析】选D.如图，建立直角坐标系，则F1=(1，3)，F2=(23，2)，F3=(-3，33)，则F= F1
10、+ F2+ F3=(23-2，2+43).又位移s=(42，42)，故合力F所做的功为W=Fs=(23-2)42+(2+43)42=4263=246(J).3.(2014抚顺高一检测)已知|p|=22，|q|=3，p与q的夹角为4，则以a=5p+2q，b=p-3q为邻边的平行四边形的一条对角线长为()A.15B.15C.14D.16【解析】选A.因为|p|=22，|q|=3，p与q的夹角为4，所以pq=|p|q|cos4=22322=6.因为a+b=(5p+2q)+(p-3q)=6p-q.所以(a+b)2=(6p-q)2=36p2-12pq+q2=36(22)2-126+32=225.所以|a
11、+b|=15.因为a-b=(5p+2q)-(p-3q)=4p+5q.所以(a-b)2=(4p+5q)2=16p2+40pq+25q2=16(22)2+406+2532=593.所以|a-b|=593.所以以a，b为邻边的平行四边形的两条对角线长分别为15和593，故选A.4.(2014揭阳高一检测)已知点O为ABC外接圆的圆心，且OA+OB+CO=0，则ABC的内角A等于()A.30B.60C.90D.120【解题指南】先将OA+OB+CO=0变形为OA+OB=OC，判断点O，A，B，C的位置关系，然后由点O为ABC外接圆的圆心判断四边形OACB的形状.【解析】选A.由OA+OB+CO=0得O
12、A+OB=OC，所以四边形OACB为平行四边形，如图.由O为ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形，所以CAO=60，所以ABC的内角A等于30，故选A.二、填空题(每小题5分，共10分)5.在ABC所在的平面内有一点P，满足PA+PB+PC=AB，则PBC与ABC的面积之比是 .【解析】由PA+PB+PC=AB，得PA+PB+BA+PC=0，即PC=2AP，所以点P是CA边上的三等分点，如图所示.故SPBCSABC=PCAC=23.答案：236.(2014绵阳高一检测)两个大小相等的共点力F1，F2，当它们间的夹角为90时合力大小为20 N，则当它们夹角为120时，
13、合力的大小为N.【解析】当两个力之间的夹角为90时合力大小为20 N，根据平行四边形法则，知|F1|=|F2|=102N.(如图1)当两个力之间的夹角为120时，如图2，根据平行四边形法则知，合力的大小为102N.答案：102三、解答题(每小题12分，共24分)7.用向量方法证明：对角线相等的平行四边形是矩形.【证明】如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O且AC=BD，AB=AO+OB，AD=AO+OD，所以ABAD=(AO+OB)(AO+OD)=AO2+AOOD+OBAO+OBOD=0，所以ABAD，即ABAD，所以平行四边形ABCD是矩形.【举一反三】若把本题中“对角线相等”改为“对角线互相垂直”，则结论是什么？如何证明.【解析】此时的平行四边形是菱形，证明如下：如图，平行四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，AB=AO+OB，BC=BO+OC，|AB|2=(AO+OB)2=|AO|2+2AOOB+|OB|2=|AO|2+|OB|2，|BC|2=(BO+OC)2=|BO|2+2BOOC+|OC|2=|BO|2+|OC|2，所以|AB|=|BC|，所以平
