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1、二、微分运算法则,三、微分在近似计算中的应用,一、微分的概念,2.3 微分的概念及运算,正方形金属薄片受热后面积的改变量.,一.微分的概念,1.引例：,再例如,既容易计算又是较好的近似值,问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?,的微分,2.定义: 若函数,在点 的增量可表示为,( A 为不依赖于x 的常数),则称函数,而 称为,记作,即,定理: 函数,在点 可微的充要条件是,即,在点,可微,在点 处可导,且,3.可微的条件：,定理 : 函数,证: “必要性”,已知,在点 可微 ,则,故,在点 可导,且,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,定
2、理 : 函数,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,“充分性”,已知,即,在点 的可导,则,说明:,时 ,所以,时,很小时, 有近似公式,与,是等价无穷小,当,故当,二.微分的几何意义,当 很小时,则有,从而,导数也叫作微商,切线纵坐标的增量,自变量的微分,记作,记,三.微分的计算,求法: 计算函数的导数,乘以自变量的微分.,1.基本初等函数的微分公式(P57),2.微分运算法则,设 u(x) , v(x) 均可微 , 则,(C 为常数),分别可微 ,的微分为,微分形式不变性,5. 复合函数的微分,则复合函数,例1,解,方法二:,用微分形式的不变性,方法一:,用定义,例2,解,例3.
3、设,求,解: 利用一阶微分形式不变性 , 有,例4. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:,说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.,练习 P.60 3(1,3,5,7),1.计算函数增量的近似值,四.微分在近似计算中的应用,2.计算函数的近似值,使用原则:,的近似值 .,解:,取,则,例. 求,设,常用近似公式:,很小),证明(5),3.计算 在 点附近的函数近似值,例,解,例. 有一批半径为1cm 的球,为了提高球面的光洁度,解: 已知球体体积为,镀铜体积为 V 在,时体积的增量,因此每只球需用铜约为,( g ),用铜多少克 .,估计一下,每只球需,要镀上一层铜 ,厚度定为 0.01cm ,练习 P.60 5(2,4),6,作业 P.60 3(2,4,6), 4(在书上填) ,5(3),小结,
