《高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆的标准方程学案 新人教B版选修2-1》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆的标准方程学案 新人教B版选修2-1(5页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2.1椭圆的标准方程1理解椭圆的定义2掌握椭圆的标准方程的定义1椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的_等于常数(_)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆这两个_叫做椭圆的焦点,_的距离叫做椭圆的焦距在椭圆的定义中,(1)当常数等于|F1F2|时,动点的轨迹是线段F1F2.(2)当常数小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在【做一做11】到两定点F1(5,0)和F2(5,0)的距离之和为10的点M的轨迹是()A椭圆 B线段C圆 D以上都不对【做一做12】已知椭圆上一点P到椭圆两个焦点F1,F2的距离之和等于10,且椭圆上另一点Q到焦点F1的距离为3,则点Q到焦点F2的距离为()A2 B3C5 D72椭
2、圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程_焦点坐标_a,b,c的关系_由求椭圆的标准方程的过程可知:只有当椭圆的两个焦点都在坐标轴上,且关于原点对称时,才能得到椭圆的标准方程反之亦成立【做一做2】椭圆1的焦点坐标为_1椭圆的定义剖析:(1)用集合语言叙述为:点集PM|MF1|MF2|2a,2a|F1F2|;(2)在椭圆的定义中,若定长不大于|F1F2|,则动点轨迹不是椭圆如:动点P到两定点F1(1,0)和F2(1,0)的距离之和为1.此时定长1小于|F1F2|,由平面几何知识知这样的点不存在2椭圆的标准方程剖析:1(ab0)为椭圆的标准方程,其焦点在x轴上,焦点为F1(c,0),F2(c,
3、0),且a,b,c满足a2b2c2.当焦点在y轴上时,标准方程为1(ab0),焦点为F1(0,c),F2(0,c),且a,b,c满足a2b2c2(当且仅当椭圆的中心在原点,其焦点在坐标轴上时,椭圆的方程才是标准形式)在椭圆的标准方程中,a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半,可借助图形帮助记忆,a,b,c恰构成一个直角三角形的三条边,都是正数,a是斜边,所以ab,ac且a2b2c2,其中c是焦距的一半,叫做半焦距方程Ax2By2C(A,B,C均不为0)可化为1,即1.只有A,B,C同号,且AB时,方程表示椭圆当时,椭圆的焦点在x轴上;当时,椭圆的焦点在y轴上题型一 利用椭圆的定义解题【例1
4、】设定点F1(0,3),F2(0,3),动点P(x,y)满足条件|PF1|PF2|a(a0),则动点P的轨迹为()A椭圆 B线段C椭圆或线段或不存在 D不存在反思:凡涉及动点到两定点距离和的问题,首先要考虑它是否满足椭圆的定义|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|),再确定其轨迹一定要注意2a与两定点间距离的大小关系题型二 求椭圆的标准方程【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别为(4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0);(2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0);(3)经过点P(2,1),Q(,2)分析:应用待定系数法求椭圆的标准方程,注意“定位”
5、与“定量”的确定反思:(1)椭圆的焦点在坐标轴上且两焦点的中点为坐标原点时,椭圆的方程是标准的(2)求椭圆的标准方程分两步:求出a2,b2的值;确定焦点所在的坐标轴,写出椭圆的标准方程(3)已知椭圆经过两点,求椭圆的标准方程时,把椭圆的方程设成mx2ny21(m0,n0,且mn)的形式有两个优点:列出的方程组中分母不含字母;不用讨论焦点所在的坐标轴题型三 与椭圆有关的轨迹问题【例3】若一个动点P(x,y)到两个定点A(1,0),A(1,0)的距离和为定值m,试求点P的轨迹方程分析:|PA|PA|m,|AA|2,|PA|PA|AA|,m2,然后分m2和m2两种情况来讨论,即可求轨迹方程反思:在求
6、动点的轨迹方程时,要对动点仔细分析,当发现动点到两定点的距离之和为定值且大于两定点之间的距离时,由椭圆的定义知其轨迹是椭圆,然后写出其方程,这种求轨迹方程的方法叫定义法题型四 易错题型【例4】若方程1表示椭圆,求k的取值范围错解:由题意知,得3k5.错因分析:错解中没有注意椭圆方程中的ab0这一条件,当ab时,方程并不表示椭圆反思:解椭圆的标准方程等相关问题时,常见的误区有:(1)忽略定义中的条件2a|F1F2|;(2)在没有明确椭圆焦点位置的情况下,椭圆的标准方程可能有两个;(3)忽略标准方程中ab0这一条件1到两定点F1(0,4),F2(0,4)的距离之和为6的点M的轨迹是()A椭圆B线段
7、C椭圆或线段或不存在D不存在2焦点在x轴上,且过点(5,0)和(0,3)的椭圆的标准方程为_3如果方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是_4已知B,C是两个定点,|BC|4,且ABC的周长等于10,则三角形的顶点A的轨迹方程为_5已知点P在椭圆上,且P到两焦点的距离分别为5,3,过P且与焦点所在的坐标轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点,求椭圆的标准方程答案:基础知识梳理1距离的和大于|F1F2|定点两焦点【做一做11】B由题意可知:|MF1|MF2|10|F1F2|,故点M的轨迹是线段F1F2.【做一做12】D由椭圆的定义得:点Q到另一个焦点的距离为1037.21(ab0)
8、1(ab0)F1(c,0)F2(c,0)F1(0,c)F2(0,c)a2b2c2a2b2c2【做一做2】(0,),(0,)由椭圆的方程知焦点在y轴上,故a29,b24,c25.所以焦点坐标为(0,),(0,)典型例题领悟【例1】C比较常数a与|F1F2|的大小可知动点P的轨迹当a6时,轨迹不存在;当a6时,轨迹为线段;当a6时,轨迹为椭圆【例2】解:(1)由于椭圆的焦点在x轴上,设它的标准方程为1(ab0)2a10.a5.又c4,b2a2c225169.故所求椭圆的标准方程为1.(2)由于椭圆的焦点在y轴上,设它的标准方程为1(ab0)由于椭圆经过点(0,2)和(1,0),故所求椭圆的标准方程
9、为x21.(3)设椭圆的标准方程为mx2ny21(m0,n0,且mn),点P(2,1),Q(,2)在椭圆上,代入上述方程得解得故所求椭圆的标准方程为1.【例3】解:|PA|PA|m,|AA|2,|PA|PA|AA|,m2.(1)当m2时,点P的轨迹是线段AA,其方程为y0(1x1)(2)当m2时,由椭圆的定义知,点P的轨迹是以A,A为焦点的椭圆2c2,2am,a,c1,b2a2c21.点P的轨迹方程为1.【例4】正解:由题意知,3k4或4k5.随堂练习巩固1D|MF1|MF2|6|F1F2|8,轨迹不存在2130k1方程可化为1,焦点在y轴上,则0k1.41(y0)以过B,C两点的直线为x轴,
10、线段BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,如图所示,由|BC|4,可知B(2,0),C(2,0),由|AB|AC|BC|10,可知|AB|AC|6|BC|4,因此点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两焦点的距离之和为2a6,但A不在x轴上,由a3,c2得b2a2c2945.所以点A的轨迹方程是1(y0)5分析:由点P到两焦点的距离分别为5,3,得2a53;由过P且与焦点所在的坐标轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点,得(2c)25232,然后可求得a,b,c.从而得到方程解:设所求的椭圆的标准方程为1(ab0)或1(ab0)由已知条件得解得a4,c2,b212.故所求椭圆的标准方程为1或1.任务型阅读在江苏高考英语试题中占有较大比重,考题形式以表格形和树状形为主,文章体裁以议论文、说明文为主,文章篇幅往往较长,阅读量大,但结构清晰。该题型综合性很强,思维含量较高,答案既要忠实于原文,又要不局限于原文,原词填空题和词性、词形变换题在逐渐减少,通过归纳总结得出答案的题逐渐增多,另外还有推断作者意图和态度的考题,这必将增加该题型的难度,所以得分一直偏低5