1.2．4 切割线定理课标解读1.掌握切割线定理及其推论．2．会用切割线定理及推论解决问题.1．切割线定理(1)文字叙述过圆外一点作圆的一条切线和一条割线，切线长是割线上从这点到两个交点的线段长的比例中项．(2)图形表示图1－2－60如图1－2－60，⊙O的切线PA，切点为A，割线PBC，则有PA2＝PB·PC.2．切割线定理的推论(1)文字叙述过圆外一点作圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个交点的线段长的积，等于另一条割线上对应线段长的积．(2)图形表示如图1－2－61，PAB与PCD是⊙O的两条割线，则有PA·PB＝PC·PD.图1－2－613．切割线定理的逆定理(1)文字叙述给定⊙O外一点P，若割线PAB交⊙O于A，B两点，点T在⊙O上，且PT2＝PA·PB，则PT是⊙O的切线．(2)图形表示图1－2－62如图1－2－62，PAB是⊙O的割线，点T在⊙O上，若PT2＝PA·PB，则PT是⊙O的切线．1．应用切割线定理及其推论的前提条件是什么？【提示】 只有从圆外一点才可能产生切割线定理或其推论，切割线定理是指一条切线和一条割线，而其推论则是指两条割线，只有弄清前提，才能正确运用定理．2．应用切割线定理应注意什么？【提示】 应用切割线定理应记清关系式，防止做题时出错．(1)如图所示，把PC2＝PA·PB错写成PC2＝PO·PB；(2)如图所示，把关系式PT2＝PB·PA错写成PT2＝PB·BA，把关系式PB·PA＝PD·PC错写成PB·BA＝PD·DC.切割线定理图1－2－63 如图1－2－63，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D.求证：ED2＝EC·EB.【思路探究】 由于EA2＝EC·EB，故只需证ED＝EA.【自主解答】 如题图，∵AE是圆的切线，∴∠ABC＝∠CAE.又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD，从而∠ABC＋∠BAD＝∠CAE＋∠CAD.∵∠ADE＝∠ABC＋∠BAD，∠DAE＝∠CAE＋∠CAD，∴∠ADE＝∠DAE，故EA＝ED.∵EA是圆的切线，∴由切割线定理知，EA2＝EC·EB.而EA＝ED，∴ED2＝EC·EB.切割线定理给出线段之间的关系，在计算与证明有关线段关系时，应注意灵活运用． 图1－2－64(2012·衡阳六校联考)如图1－2－64，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD＝2，AB＝BC＝3，则AC的长为________．【解析】 由切割线定理知CD2＝BD·AD＝BD·(3＋BD)，即(2)2＝BD2＋3BD，解得BD＝4或BD＝－7(舍去)．∵∠BDC＝∠ADC，∠DCB＝∠CAD，∴△CAD∽△BCD，∴＝，即＝，解得AC＝.【答案】 切割线定理的推论图1－2－65 如图1－2－65，PAB和PCD为圆的两条割线，交圆于A，B和C，D各点，若PA＝5，AB＝7，CD＝11.求AC∶BD.【思路探究】 线段AC、BD分别在△PAC和△PBD中，可考虑它们的相似关系．【自主解答】 由切割线定理的推论知，PA·PB＝PC·PD①即＝，又∠P为公共角，∴△PAC∽△PDB.∴＝.②又∵PA＝5，AB＝7，CD＝11，∴PB＝12.由①知5×12＝PC(PC＋11)，∴PC＝4或PC＝－15(舍去)，∴PD＝PC＋CD＝4＋11＝15.由②得＝＝，即AC∶BD＝1∶3.1．本题求解的关键是证明△PAC∽△PDB，而证明的依据是切割线定理的推论．2．切割线定理的推论在证明、求值等方面有着广泛的应用，在证明三角形相似以及利用相似解决问题中起重要作用．图1－2－66(2012·湖南高考)如图1－2－66所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．【解析】 设⊙O的半径为r(r>0)，∵PA＝1，AB＝2，∴PB＝PA＋AB＝3.延长PO交⊙O于点C，则PC＝PO＋r＝3＋r.设PO交⊙O于点D，则PD＝3－r.由圆的切割线定理的推论知，PA·PB＝PD·PC，∴1×3＝(3－r)(3＋r)，∴9－r2＝3，∴r＝.【答案】 定理的综合应用图1－2－67 如图1－2－67，P是⊙O的直径CB的延长线上一点，PA和⊙O相切于A，若PA＝15，PB＝5.(1)求tan∠ABC的值；(2)弦AD使∠BAD＝∠P，求AD的长．【思路探究】 求tan∠ABC可利用△ABC中边角关系求出；而AD的长，可综合利用切割线定理和图形中的相似三角形，建立边长关系求出．【自主解答】 (1)如图，连接AC，AB，∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.又∵PA是⊙O的切线，∴∠BAP＝∠C.又∵∠P＝∠P，∴△PAB∽△PCA，∴＝＝＝3.∴在Rt△ABC中，tan∠ABC＝＝3.(2)由切割线定理，得PA2＝PB·PC，即PA2＝PB(PB＋BC)．又PA＝15，PB＝5，∴BC＝40.设AB＝x，则AC＝3x.由勾股定理，AC2＋AB2＝BC2，即x2＋(3x)2＝402，得x＝4，x＝－4(舍去)．如图，连接BD，在△PAB和△ADB中，∠PAB＝∠D，∠P＝∠BAD，∴△PAB∽△ADB.∴＝，∴AD＝＝＝12.1．在本题求解过程中，每一小题都用到了利用三角形相似寻找线段之间的关系．2．综合应用切割线定理及推论，利用三角形之间的关系，是解决直线与圆关系中的基本思路． 图1－2－68如图1－2－68，已知AC切⊙O于C点，CP为⊙O的直径，AB切⊙O于D，与CP的延长线交于点B，若AC＝PC，求证：BD＝2BP.【证明】 如图，连接OD.∵AB切⊙O于D，AC切⊙O于C，∴OD⊥AB，AC⊥BC，∴△BOD∽△BAC，∴＝，∴＝，∴BC＝2BD.∵BPC为割线，∴BD2＝BP·BC＝2BD·BP，∴BD＝2BP.图1－2－69 (教材第21页练习1－2A组第5题)如图1－2－69，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm,4 cm，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D.求BD的长．图1－2－70(2013·重庆高考)如图1－2－70，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为________．【命题意图】 本题主要考查圆的几何性质、解直角三角形以及切割线定理等知识．【解析】 在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠ABC＝30°.∵AB＝20，∴AC＝10，BC＝10.∵CD为切线，∴∠BCD＝∠A＝60°.∵∠BDC＝90°，∴BD＝15，CD＝5.由切割线定理得DC2＝DE·DB，即(5)2＝15DE，∴DE＝5.【答案】 51．PAB为过圆心O的割线，且PA＝OA＝4，PCD为⊙O的另一条割线，且PC＝CD，则PC长为( )A．4 B.C．24 D．2【解析】 由题意知PA·PB＝PC·PD，设PC＝x，则PD＝2x，∴2x·x＝4×12，∴x＝2，即PC＝2.【答案】 D图1－2－712．如图1－2－71所示，已知PA是⊙O的切线，切点为A，PA＝2，AC是⊙O的直径，PC与⊙O交于点B，PB＝1，则⊙O的半径R＝________.【解析】 由切割线定理知PA2＝PB·PC，即22＝PC，∴PC＝4，∴AC2＝PC2－PA2＝42－22＝12，∴AC＝2，∴⊙O的半径R＝.【答案】 3．PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于B，PB＝4，PO＝8.5，则PA＝________.【解析】 ∵PB＝4，PO＝8.5，∴OB＝4.5.由切割线定理知，PA2＝4×13＝52，∴PA＝2.【答案】 2图1－2－724．如图1－2－72所示，从⊙O外一点A引圆的切线AD和割线ABC，已知AD＝2，AC＝6，⊙O的半径为3，则圆心O到AC的距离为________．【解析】 由切割线定理知，AD2＝AB·AC，即(2)2＝6AB，∴AB＝2，∴BC＝AC－AB＝4，∴圆心到AC的距离d＝＝.【答案】 一、选择题1.图1－2－73如图1－2－73，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG.其中正确结论的序号是( )A．①② B．②③C．①③ D．①②③【解析】 ∵CF＝CE，BF＝BD，∴BC＝CE＋BD.∴AB＋BC＋CA＝(AB＋BD)＋(AC＋CE)＝AD＋AE，故结论①正确．连接DF，则∠FDA＝∠DGA.又∵∠A＝∠A，∴△ADF∽△AGD.∴＝.∴AD2＝AF·AG.又AE＝AD，∴AD·AE＝AF·AG.故结论②正确，容易判断结论③不正确，故选A.【答案】 A2．PT切⊙O于点T，割线PAB经过O点交⊙O于A、B，若PT＝4，PA＝2，则cos∠BPT＝( )A. B.C. D.【解析】 如图所示，连接OT，根据切割线定理，可得PT2＝PA·PB，即42＝2×PB，∴PB＝8，∴AB＝PB－PA＝6，∴OT＝r＝3，PO＝PA＋r＝5，∴cos∠BPT＝＝.【答案】 A图1－2－743．如图1－2－74，点P在⊙O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切⊙O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝( )A．2 B.C．2 D．4【解析】 如题图，连接OC，由切割线定理知，PC2＝PA·PB，∴PC2＝(2＋4)×2＝12，∴PC＝2，∴PO＝＝4.又OC⊥PC，∴CD＝＝＝.【答案】 B图1－2－754．如图1－2－75，△ABC中，∠C＝90°，⊙O的直径CE在BC上，且与AB相切于D点，若CO∶OB＝1∶3，AD＝2，则BE等于( )A. B．2C．2 D．1【解析】 连接OD，则OD⊥BD，∴Rt△BOD∽Rt△BAC，∴＝，设⊙O的半径为a，∵OC∶OB＝1∶3，OE＝OC，∴BE＝EC＝2a，BO＝3a，BD＝2a，BC＝4a，由题知AD、AC均为⊙O的切线，∵AD＝2，∴AC＝2.∴＝，即a＝，∴BE＝2.【答案】 B二、填空题5．(2013·北京高考)图1－2－76如图1－2－76，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝________，AB＝________.【解析】 由于PD∶DB＝9∶16，设PD＝9a，则DB＝16a.根据切割线定理有PA2＝PD·PB.又PA＝3，PB＝25a，∴9＝9a·25a，∴a＝，∴PD＝，PB＝5.。
