《高中数学 第一章 三角函数 1.6 余弦函数例题与探究(含解析)北师大版必修4》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学 第一章 三角函数 1.6 余弦函数例题与探究(含解析)北师大版必修4(4页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1.6 余弦函数典题精讲1.为什么说:在同一坐标系中正、余弦函数的图像的形状相同,只是位置不同?剖析:很多同学观察它们的图像后,知道这一点,但是离开图像就产生怀疑.究其原因是通过观察、归纳得到的结论没有加以证明.其突破方法是数形结合,要从数和形两方面来分析.我们知道函数的图像经过左右平移后,其形状未发生变化,但在坐标系中的位置变化了.类似于一个人从北京到纽约,这个人还是他本人,只是他的地理位置改变了.由平移变换,知函数f(x)=sinx的图像向左平移个单位得函数f(x+)=sin(x+).根据诱导公式sin(x+)=cosx知平移后的函数就是余弦函数f(x)=cosx的图像,由此可见在同一坐标
2、系中正、余弦函数的图像的形状相同,只是位置不同.由于sin(2k+x)=cosx(kN)、sin(-2k-+x)=cosx(kN),则将正弦函数的图像向左平移2k+(kN)个单位或向右平移2k+(kN)个单位均得到余弦函数的图像.通过数和形两方面来分析,就真正明确了其中的正、余弦函数图像的关系,有利于帮助我们解决问题.2.正、余弦函数的诱导公式如何记忆?剖析:诱导公式太多,记不住.其突破路径是从以下几个方面找出规律:函数名称怎样变化;这些角和角有何共同特点;诱导公式右边的符号有什么变化规律.(1)-,2-,2k+(kZ)的三角函数值等于的同名三角函数值,前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号,
3、为了便于记忆,可以说成“函数名不变,符号看象限”.(2) -,+的三角函数值,等于的余名三角函数值前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号,记忆口诀为“函数名改变,符号看象限”.(3)这两套公式可以归纳为:k+(kZ)的三角函数值,当k为偶数时,得的同名函数值;当k为奇数时,得的余名三角函数值,然后在前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号,概括为“奇变偶不变,符号看象限”,这里的奇指k的奇偶.典题精讲例1根据余弦函数的图像,求满足cosx-的x的集合.思路分析:在一个周期-,内,找出满足不等式的x,再拓展到全体实数即可.解:余弦函数在-,内的图像如图1-5-5所示.图1-5-5由图,得在-,内,
4、-x.则满足cosx-的x的集合是x|2k-x2k+,kZ.绿色通道:利用余弦函数的图像可以解三角不等式,还可以求三角函数的周期.要善于利用余弦函数的图像即数形结合解决问题.黑色陷阱:如果在一个周期0,2上,找出满足不等式的x,再拓展到全体实数上,那么找出的范围是间断的,不是最简形式.要注意保持x的范围具有“连续性”变式训练1在(0,2)内,使sinxcosx成立的取值范围是( )A.(,)(,) B.(,)C.(,) D.(,)(,)思路解析:利用单位圆或三角函数图像解决会比较简捷直观.方法一(图像法):作出0,2)区间上的正弦和余弦的函数图像,如图1-5-6(1)所示,易知两交点的横坐标为
5、和,可知C正确.(1) (2)图1-5-6方法二(单位圆法):如图1-5-6(2),在单位圆中作出第一、三象限的角平分线,由正弦线和余弦线可知应选C.方法三(代入验证法):当x=时,sin=0cos=-1,即x=符合题意,排除A、B、D.故选C.答案:C变式训练2函数y=|cosx|的周期是( )A.2 B. C. D.思路解析:画函数y=|cosx|的图像,如图1-5-7所示.图1-5-7由函数y=|cosx|的图像知周期为.答案:B例2已知角的终边经过点P(-5,12),求sin,cos.思路分析:分别写出x、y、r的值,应用定义求解.解:由x=5,y=12,得r=13.sin=,cos=
6、-.绿色通道:如果已知角的终边经过的一个点求三角函数值,通常应用三角函数的定义求解.变式训练已知角的终边经过点P(5t,12t),t0,求sin,cos.思路分析:应用三角函数的定义.解:由x=5t,y=12t,得r=13|t|.当t0时,r=13t.因此sin=,cos=;当t0时,r=-13t.因此sin=-,cos=-.例3(经典回放)设M和m分别是函数y=cosx-1的最大值和最小值,则M+m等于( )A. B. C.- D.-2思路分析:只需据y=cosx的性质(或图像)确定M、m.由y=cosx-1,且xR可知ymax=M=-1=-,ymin=m=-1=-.M+m=-2.答案:D绿
7、色通道:解决y=Acosx+B和y=Acos2x+Bcosx+C类型函数,要结合图像,利用换元法,并且正确理解运用余弦曲线的性质解决问题.变式训练1函数y=cos2x-3cosx+2的最小值为( )A.2 B.0 C. D.6思路解析:利用换元法化归为求二次函数的最小值.设cosx=t,-1t1,则有y=t2-3t+2=(t-)2.画图可知,当t=1时,函数y=cos2x-3cosx+2取最小值0.答案:B变式训练2(2006北京高考卷,文2)函数y=1+cosx的图像( )A.关于x轴对称 B.关于y轴对称C.关于原点对称 D.关于直线x=对称思路解析:函数y=1+cosx是偶函数,其图像关
8、于y轴对称.答案:B问题探究问题求适合条件cosx=的角x的集合.导思:要求角x的集合,必须明确怎样表示角x的余弦值.我们知道余弦线表示余弦值,余弦函数的图像能反映余弦值的大小,由此探究的思路有两条,思路一:图像法,利用余弦函数的图像;思路二:利用余弦线.探究:方法一(图像法):如图1-5-8所示,在同一坐标系中画出余弦函数y=cosx的图像和直线y=,则函数y=cosx的图像和直线y=交点的横坐标就是适合条件cosx=的角x.图1-5-8在一个周期-,内,有x=.所以适合条件cosx=的角x=2k (kZ),即角x的集合是x|x=2k (kZ).方法二(利用余弦线):如图1-5-9所示.由于cosx=,则角x的余弦线的方向向右,长度为.图1-5-9由图可知角x的终边与的终边相同,所以适合条件cosx=的角x的集合是x|x=2k(kZ).任务型阅读在江苏高考英语试题中占有较大比重,考题形式以表格形和树状形为主,文章体裁以议论文、说明文为主,文章篇幅往往较长,阅读量大,但结构清晰。该题型综合性很强,思维含量较高,答案既要忠实于原文,又要不局限于原文,原词填空题和词性、词形变换题在逐渐减少,通过归纳总结得出答案的题逐渐增多,另外还有推断作者意图和态度的考题,这必将增加该题型的难度,所以得分一直偏低3