二维二阶非线性微分系统振动解的存在性

《二维二阶非线性微分系统振动解的存在性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二维二阶非线性微分系统振动解的存在性（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、学校代码：丛! 塑 分类号：垒望 研究生学号：至Q Q 墼! 至三三 密级：无 东牡知予荭大孽 硕士学位论文 二维二阶非线性微分系统振动解的存在性 O nT h eE x i s t e n c eo fO s c i l l a t a r yS o l u t i o n so fT h eS e c o n dO r d e r T w o D i m e n s i o n a lN o n l i n e a rD i f f e r e n t i a lS y s t e m s 作者：岳子砀 指导教师： 学科专业： 研究方向： 学位类型： 吴奋韬副教授 应用数学 常微分方程 学

2、历硕士 东北师范大学学位评定委员会 2 0 1 0 年5 月 玉 易 ， l _ 一一 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其 他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所 做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：玉圭逝 日期：趁也：圣 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留，使用学位论文的规定， 即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学

3、位论文的复印件 和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段 保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：玉盘嘘指导教师签名：差幽 日 期：碰f 坦，【兰兰 E t 期：丝! 垒：生。22 通讯地址： 电话： 邮编： 彦 3 摘要 这篇论文主要研究二维二阶非线性微分系统： 其中口和卢是正常数，且g ( f ) 是定义在区间【口，o o ) 上的连续函数，口 0 ，并且当t C I 时，有q ( t ) 0 ， R o 0 ，( 江1 ，2 ) 且五1 2 1 的条件下

4、， 振动解存在的两个充分条件这些结论在参考文献【2 中可以找到 对于四阶拟线性微分方程： ( 1 “7 7 l 口一1 “7 ) 7 + q ( t ) l u ( 一1 U = 0 ， ( 1 3 ) 其中口和卢是正常数，且9 ( f ) 是定义在区间 a ，o o ) 上的连续函数，a 0 ，在g ( f ) 0 时，F W u 在 文献 3 中已给出方程( 1 3 ) 分别在0 0 ，( 1 u ( f ) I 。一1 “7 ( f ) ) 7 0 t L ( 0 0 ，“7 ( f ) 0 f r ( 2 1 ) ( 2 2 ) 引理2 2 3 1 如果“f ) 是方程( 1 3 )

5、的解最终正解，且H l i r a 。“”( 力= ，则“( t ) t 2 是最终增的 引理2 3 3 3 假设0 0 ，u 2 ( t ) 0 ，则“；( f ) 0 ，呸( f ) 0 ； ( 2 ) 若u K t ) 0 成立，由系统( 1 1 ) 可得甜；7 ( 力 0 ，“! ( f ) 0 ，由于g ( 力满足 o T ，使得当t T i ，o o ) 时，有 “：( 力 0 由t 1 2 ( 力7 o ，“2 ( f ) 0 ，则了T 和k 0 ，使得当t T 时，u 2 ( t ) k 0 这时再由系统( 1 1 ) 的 第一个方程 “；7 ( f ) = l u 2 ( 力

6、1 1 屉s g nu 2 ( t ) ， 从而了k l 0 ，使得“：砸) k l 0 将得到的这个不等式两边从r 到，积分，得 “；( f ) 一“；( 丁) 白( f r ) 5 东北师范大学硕士学位论文 再令f _ O O ，则我们得到“j ( f ) 0 证毕 ( 2 ) 同理可证 引理3 2 假设甜l ( 力U 2 ( 力 0 ，u 2 ( t ) 0 ，“；( 力 0 ； ( 2 ) 若u l ( t ) 0 ，则“ T ，使得当f m T ，0 0 ) 时，有“；( ，) T 又由“；( f ) 丁卜 由系统( 1 1 ) 的第一个方程，即“弛) = l u 2 ( t ) 1

7、 1 胁s g nu 2 ( t ) ，从而了c 2 0 ，使得甜，( f ) 0 由于材；( f ) 0 ，从而u 2 ( t ) 是单调递增的，又由已知u 2 ( t ) 0 ，则 了k 0 ，当t T 时，u 2 ( t ) k ，再由系统( 1 1 ) 的第一个方程，即；7 ( f ) = l u 2 ( t ) 1 1 肛s g nu 2 ( t ) ，则 6 1 鼍 东北师范大学硕士学位论文 3k l 0 ，及T 0 ，使得当t T 时，有“：( f ) k l 0 再将前面的不等式两边从丁到f 积分，得 “；( f ) 0 ，t 丁贝0 “l ( f ) 0 ，“；( 力 0 ，

8、哎( f ) 0 ，则称解u = ( 札u 2 ) 属于类型( I ) 若u = ( “1 ，“2 ) 满足U l ( f ) 0 ，则称解u = ( 甜1 ，u 2 ) 属于类型( m ) 若u = ( z f l ，“2 ) 满足U l ( r ) 0 ，甜；( f ) 0 ，则由引理2 4 有 f f H 筇g ( f ) 击 0 ，材：( 力 0 ，吒( 力 0 ，u T ( t ) 0 ，蟛( f ) 0 ，将系统 ( 1 1 ) 的第二个方程 ( f ) = - q ( t ) l u l ( t ) as g nu l ( t ) ， 两边从到t 积分，得 “；( 力一必( o

9、o ) = f q ( s ) ( u l ( s ) ) e d s - ，f 由甜： 0 ，得 l ( 力J 9 ( s ) l ( s ) 户d s J t 再从丁到t 积分，得到 以力螂) + f ( 厂咖渺) ) B d r ) d s o r ) f ”g ( ，) ( “，( 一尸咖 再由系统( 1 1 ) 的第一个方程 上面的不等式可以写成 U “I 2 l u 2 1 、| os g n l , 1 2 。 ( “：7 ( 力) “o r ) fq ( r ) ( u l ( r ) ) B d r ，f T ， 即 ( 叫) ( 厂咖渺咖) 吉 f z 将上面的不等式从r

10、到f 积分，得 绯帅妒) r ( 甜) ( f 批( 力户咖) 幽 即 昧她昧聃f ( ) ( f 加渺咖) ；凼 f ”蹦( f 撕渺腑) 出 = 寿( H ) l + ( f 批尸咖) ，眦 ( 3 1 ) 8 ， 由引理2 2 ，对某个乃( r ) ，由于l ( f ) O _ R 姆“，( f ) = ，从而I ( t ) t 2 在区间 丁l ，) 上 是最终增的则 厂舯驴) p a r = 厂咖卢( 警p 加沪咖( 等厂 ( q 妒d r u l ( t ) f - 心c Z I I 。( t ) 、I 心 u t 砰( T 1 ) ，：- 一产田j _ 如矿咖( 州扩帕， f 乃

11、( 3 2 ) 由( 3 1 ) 式和( 3 。2 ) 式可以看出，存在C 0 及T 2 T l ，使得 则有， 姒忆者”纠+ 占( 掣) 宰r 掣( 厂撕册口寸 c r 学( j 拈) 咖) ) 1 + 口， 蒜砌学( 厂时册) ( “l ( 力) 1 + ： J f 一。 ， 对上式从疋到t 积分，得 令t 一，有 一詈( “1 ( f ) ) ； ( “l ( 死) ) 台 从而9 M 0 ，使得 Z l M l 0 ，使得 l 芝c t 疋 s 学( f 叫出， ( s 警( f 时册) 吉凼 0 ，“；7 ( 力 0 ，得 啦( f ) I 9 ( s ) ( “l ( s ) 严幽

12、 对上式从f 到丁积分，得 以r h ：( f ) f f 蝴- ( r ) ) a d r d s 令丁一o 。，有 吲力厂厂批( r ) y e d r d s 由系统( 1 1 ) 的第一个方程 “：7 = l u 2 1 1 口s g n 甜2 ， 得 邮力( 厂f 时。( r ) ) pd r d s ) ： 再对上式从t 到丁积分，得 叫( 帅厂( 厂f ”咖砌舳办) 吉幽 令f _ o o ，有 1 0 ， 魄 昧幢厂( f J c 。0 砌砌舳咖) “。出 c 州硝厂( f f 咖，咖咖) 口出 又由于“1 ( f ) 0 ，从而有 淼2 厂( f 厂咖，砌咖) “口凼 口一l

13、II-1 、J 一， 。一 ( “l ( f ) ) 暑 J f、J jJ ， 7 再对上式从丁到o o 积分，得 f 羔出芝j = o o 厂( f f 咖M 桫咖咖) 口出痂 = f ”丁，( f c 冰叫V 。出 = 三es ( 小叫刺咖) 口出 由已知0 0 ，及“1 ( f ) ，u 2 ( t ) c r ，o o ) ，使得 u = ( “l ( 力，甜2 ( f ) ) I 芝k 材l ( 力2 k ，0 a u 2 ( f ) c ，f r ) 则集合U 是c T ，) 2 上的闭凸子集我们可以定义一个映射F ：U C T ，o o ) 2 ，其中 东北师范大学硕士学位论文

14、t T 那么由条件( 3 3 ) 成立，我们可以看到F 在U 中有非常明确的定义并且易证 ( i )F ( u ) cU ； ( i i ) F 是U 上的连续函数； ( i i i ) F ( u ) 是C T ，o o ) 2 上的相对紧集 从而我们应用S c h a u d e r T y c h o n o f f 不动点定理，可以得到F 在U 中有一个不动点u 并且 很容易验证u = u ( f ) = ( “1 ( 力，地( D ) 是系统( 1 1 ) 的一个解，并且属于类型( I I I ) 所以u = u ( f ) ： ( u l ( t ) ，“2 ( f ) ) 是系统

15、( 1 1 ) 的一个非振动解得到矛盾则必要性得证 定理3 2 假设0 0 ，“，( f ) 0 ，有 “；( f ) f g ( J ) ( 甜1 ( s ) 严如 对上式从t 到下积分，得 嘶) 一咖) 厂r 酬甜1 ( r ) ) 卢d r d s ，t ，j u 2 ( t ) ff g ( 力( 州，) ) e d r d s ，t ，j 由系统( 1 1 ) 的第一个方程，即“：7 ( 力= l u 2 ( t ) 1 位s g n “2 ( f ) ，得 硝力( 厂( 顾帕) 丢妙 令 聊) = ( 厂”啪出) 再对( 3 4 ) 式从f 到丁积分，得 叫( 下) 叫( f ) ，7 郧) ( 州秽7 。出 1 3 ( 3 4 ) 东北师范大学硕士学位论文 令1 - o o ，有 绯蛇j o 俐州泸凼 可以找到一个充分大的丁( 口) 并对上面的不等式从r 到t 积分则 州力州丁) + f ( s 一丁巡( 讹( O Y 3 加幽川一丁) ( f 一丁) V K ( s ) ( 甜1 ( f ) 尸口如， f r u f 从而我们得到， 那么存在M 0 ，口 0 ，使得 f 酬灿 0 ，使得 ， 尸邯f ( ，- 一t