二次型第一节二次型及其矩阵表示

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1、第五章 二次型,二次型的标准形,正定性和有定性的一个应用,二次型的有定性,二次型及其矩阵表示,第一节 二次型及其矩阵表示,二次型的定义,二次型的表示法,矩阵的合同,非退化线性变换（可逆线性变换）,用配方法化二次型为标准形,称为n元二次型。,二次型的定义,定义5.1,如不特别声明，今后我们只讨论实二次型,当系数 取复数时,称为复二次型;,当系数 取实数时,称为实二次型.,例如：,都是二次型。,不是二次型。,只含有平方项的二次型,称为二次型的标准形（或法式）。,例如：,都为二次型；,为二次型的标准形。,1用和号表示二次型,二次型的表示法,2用矩阵表示二次型,由此可见,任给一个二次型，可唯一确定一个

2、对称矩阵；,反之，任给一个对称矩阵，可唯一确定一个二次型。,即二次型与对称矩阵之间是一一对应关系!,把对称矩阵 称为二次型 的矩阵,也把二次型 称为对称矩阵 的二次型,对称矩阵 的秩称为二次型 的秩,定义5.2,例1 写出下列二次型的矩阵表达式,二次型,的矩阵为：,则二次型为,以 为矩阵二次型的,例2：求二次型 的矩阵,解：,解：,解：,例3：求对称矩阵 所对应的二次型。,解：,例3：已知二次型 的秩为2，求参数c。,解：,关系式,记作（2）,称为由变量 到变量 的一个线性变量替换，简称线性变换。,非退化线性变换（可逆线性变换）,定义5.3,系数 矩阵,称为线性变换矩阵,系数矩阵,则线性变换（

3、2）可记作：,n元变量,说明：,对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换,使二次型只含平方项.,即二次型,经过可逆线性变换,这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准型,使得,解,例1,用配方法化二次型为标准形,所用变换矩阵为,其矩阵,所用变换矩阵为,因原二次型矩阵为,通过计算可以验证,是对角矩阵,即二次型,由此可见,要把二次型化为标准型，关键在于求出一个非奇异矩阵 ，使得 是对角矩阵。,上列是通过配方法把二次型化为标准型，间接找到非奇异矩阵 ，一般说来，这种方法较麻烦。后面将介绍用初等变换和正交变换的方法求矩阵,注意,经过非退化线性变换,可化为,则,分析：,矩阵的合同,因为:,以上说明：,定义5.4,定义5.5,等价的二次型,它们的矩阵之间是合同的; 反之,以合同的矩阵为矩阵的二次型是等价的.,合同关系具有反身性、对称性及传递性, 是一种等价关系.,合同矩阵的性质,2. 在变换二次型时，要求所作的线性变换是非退化的（可逆的）,“合同”定义中，矩阵A 、B为一般方阵，但实际中， 多针对对称矩阵考虑合同关系,任一对称矩阵，都存在对角矩阵与它合同 与对角矩阵合同的矩阵必是对称矩阵,注释：,