机械动力学5,6章综述

《机械动力学5,6章综述》由会员分享，可在线阅读，更多相关《机械动力学5,6章综述（61页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第五章 单自由度系统振动分析,振动是日常生活和工程实际中常见的现象。 例如：钟摆的往复摆动,汽车行驶时的颠簸，电动机、机床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。,1 振动概述,（1）振动的分类,按体系的能量变化情况可把振动分为自由振动（机械能守恒）、阻尼振动（机械能不断转化为热能）和强迫振动（不断从外界获得能量）三类，其运动微分方程是同一种类型的。,按体系的自由度划分，振动分为单自由度振动、有限多自由度振动和无限自由度振动三类。,按微分方程的类型，振动分为线性振动和非线性振动两类。,（2）线性振动概念,凡力学体系在平衡位置附近作微振动（振幅很小），只考虑一级（最低级）近似时，其运动微

2、分方程为线性方程，这种振动都属于线性振动。,1 单自由度系统振动,一、自由振动的概念：,单自由度系统:是指用一个独立参量便可以确定系统位置的振动系统。 所有单自由度振动系统经简化都可以抽象成单振子。 单自由度振动系统通常包括一个定向振动的质量m，连接于振动质量和基础之间的弹性元件（其刚度为k），以及运动过程产生的阻尼（阻尼系数为c），有时在振动系统中还存在一个持续作用的激振力P。,系统振动时振动质量产生位移 x ,速度 和加速度 ，从而产生弹性力kx , 阻尼力 和惯性力,由达朗伯原理，单自由度线性振动系统的运动微分方程可写为：,可分为以下几种情况,1 单自由度无阻尼自由振动,2 单自由度有阻

3、尼自由振动,3 单自由度无阻尼受迫振动,4 单自由度有阻尼受迫振动,运动过程中，总指向物体平衡位置的力称为恢复力。 物体受到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡位置附近的振动称为无阻尼自由振动。,二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解,对于任何一个单自由度系统，以q 为广义坐标（从平衡位置开始量取 ），则自由振动的运动微分方程必将是：,m, k是与系统的物理参数有关的常数。令,则自由振动的微分方程的标准形式：,解为：,设 t = 0 时， 则可求得：,或：,C1，C2由初始条件决定为,三、自由振动的特点： A物块离开平衡位置的最大位移，称为振幅。 n t + 相位，决定振体在某瞬时

4、t 的位置 初相位，决定振体运动的起始位置。 T 周期，每振动一次所经历的时间。 f 频率，每秒钟振动的次数， f = 1 / T 。 固有频率，振体在2秒内振动的次数。 反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有参数有关。,无阻尼自由振动的特点是：,(2) 振幅A和初相位取决于运动的初始条件(初位移和初度)；,(1) 振动规律为简谐振动；,(3)周期T 和固有频率 仅决定于系统本身的固有参数(m,k,I )。,2. 弹簧并联系统和弹簧串联系统的等效刚度,并联,串联,2 求系统固有频率的方法,：集中质量在全部重力 作用下的静变形,由Tmax=Umax , 求出,无阻尼自由振动系统为保守系统，

5、机械能守恒。 当振体运动到距静平衡位置最远时，速度为零，即系统动能等于零，势能达到最大值（取系统的静平衡位置为零势能点）。 当振体运动到静平衡位置时，系统的势能为零，动能达到最大值。,能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振动系统的固有频率来得更为简便的一种方法。,3 单自由度系统的有阻尼自由振动,一、阻尼的概念： 阻尼：振动过程中，系统所受的阻力。（包括干摩擦阻尼、粘性阻尼和结构阻尼） 粘性阻尼：在很多情况下，振体速度不大时，由于介质粘性引起的阻尼认为阻力与速度的一次方成正比，这种阻尼称为粘性阻尼。,投影式：,c 粘性阻尼系数，简称阻尼系数。,二、有阻尼自由振动微分方程及其解： 质量

6、弹簧系统存在粘性阻尼：,有阻尼自由振动微分方程的标准形式。,4 单自由度系统的无阻尼强迫振动,二、无阻尼强迫振动微分方程及其解,为对应齐次方程的通解 为特解,3、强迫振动的振幅大小与运动初始条件无关，而与振动系统 的固有频率、激振力的频率及激振力的力幅有关。,三、稳态强迫振动的主要特性：,1、在简谐激振力下，单自由度系统强迫振动亦为简谐振动。,2、强迫振动的频率等于简谐激振力的频率，与振动系统的 质量及刚度系数无关。,5 单自由度系统的有阻尼强迫振动,一、有阻尼强迫振动微分方程及其解,将上式两端除以m ，并令,有阻尼强迫振动微分方程的标准形式，二阶常系数非齐次微分方程。,x1是齐次方程的通解,

7、小阻尼：,（A、 积分常数，取决于初始条件）,振动微分方程的全解为,振动开始时，二者同时存在的过程瞬态过程。 仅剩下强迫振动部分的过程稳态过程。需着重讨论部分。,因此：,二、阻尼对强迫振动的影响,1、振动规律 简谐振动。 2、频率： 有阻尼强迫振动的频率，等于激振力的频率。 3、振幅,第六章 多自由度系统的振动分析,、,（2）,上式可改写成如下形式：,（3）,（2）微分方程的解.频率方程（久期方程）,用常规方法求解。设上式的解为,（4）,（5）,由（5）知：,，由此得,所需要的解。要使（5）中的,不是 有异于零的解，方程的系数行 列式必须为零,将上式分别取一阶及二阶导数，并代入（3）式，整理得

8、,（6）,（7）,（8）,方程的通解为：,例1 两个相同的单摆耦合成双单摆。求体系微振动的运动规律。,（1）,将（1）代入拉格朗日方程得,（2）,令（2）式的特解为,（3）,将（3）代入（2）得,（4）,（5）,由（5）得,（6）,将（6）代入（4）中的任一式得振幅比值,（7）,（8）,例2 试求如图6.3所示的两个耦合振子的振动频率。,（1）,将（1）代入拉格朗日方程得,（2）,（3）,和,7 多自由度自由振动系统,（1）拉格朗日方程,将体系的动能和势能在平衡位置展开成泰勒级数保留到二级小量，得,（4）,代入拉格朗方程，得,（5）,（2）振动规律（拉格朗方程的通解）,令（5）的特解为,（6）

9、,（6）代入（5）式：,（7）,要使上式有不为零的解的条件为,（8）,振幅比：,方程（5）的一个特解为,（10）,这些特解的线性叠加即为通解：,（11）,个振幅,（9）式中提供了n（n-1）个已知的比,取广义坐标为: x1、 x2 、x3 系统的动能为：,系统的弹性势能为：,例：如图所示系统，求振动方程及系统固有频率,系统的能量散失函数为：,代入拉格朗日方程得：,各系数矩阵为：,代入微分方程,若得非零解，则系数行列式必须为零，即,由此解出n个值,由n个具有确定相对比值的振幅所组成的列阵称为系统的第r阶主振型 若将系统的各阶固有频率代入到方程 即可得到系统的第一阶、第二阶、第n阶主振型。,主振型

10、,解：取各质量块偏离平 衡位置的位移x1 x2 x3 为广义坐标，系统的运动 方程式为： 式中：,如图所示三自由度系统，已知：m1=m2=m3=m, K1=k4=2k，k2=k3=k,计算此系统的固有频率和主阵型。,系统的特征值方程为：,解上式，得系统的三个固有频率为：,将一阶固有频率代回到系统的特征值问题的方程中得,展开上式并令A1（1）1,则 A2（1）2， A3（1）1,即,同理,各阶主振型如图所示,塔式起重机起升机构的动力学模型,分别选取 和 的静平衡位置为 和 的坐标原点,整个起升过程分三个阶段： 第一阶段：收紧松弛的绳索 第二阶段： 得到微分方程为：,第三阶段： 最终得到微分方程组

11、：,6.1 主振型. 正则化. 振型迭加. 初始条件 广义坐标X下： （ 、 、 、 均为矩阵） 振动方程： 齐次方程： 设解为： 代入 得： 即 由 det,得圆频率 （ 特征值）， 进而由式 得主振型（特征向量） 主振型矩阵 （具有正交性） 对角阵 对角阵 （正交性： ） 线性变换 主坐标Y下： 式 变换为 此时， 皆为对角阵，因此 已解偶 标准坐标Z（正则坐标）下： 用特征向量 对质量阵 实施运算 得正则化后的特征向量,正则化后的主振型矩阵 单位阵 对角阵 线性变换： 此时方程已解耦，可分别计算。 振型截断（自由度缩减）： 主坐标下： ，仅取前 m 阶 线性变换 得 此时方程既解耦又已降

12、阶。,正则坐标下： 线性变换： 因为 得出 初始条件的处理： 利用正则化后的主振型矩阵 ，通过线性变换 ，则原来 坐标下的初始条件变为正则坐标 下新的初始条件： 由 ， 得出,由 ， 得出 的特殊求法：因为当 为正则化振型时有 ，故有 最后将正则坐标 下的结果返回原坐标 ：,振型叠加法 应用系统各阶主阵型组成的模态阵作为变换矩阵，对系统原来的方程进行坐标变换，使质量矩阵和刚度矩阵同时对角化，得到一组独立的互不耦合的运动方程，可以应用单自由度求解的方法求解每一个方程，从而得到多自由度系统的响应的整个过程。 阵型叠加法的步骤 1求出系统的各阶固有频率 和主阵型 组成模态阵 组成正则模态阵 2 用模

13、态阵或正则模态阵N对原方程作如下坐标变换：,将原方程变换为模态方程或正则模态方程,3 按单自由度的方法分别求解模态方程或正则模态方程中n个互相独立的方程，求得q或qN，即是以模态坐标或正则坐标表示的系统对P的响应。,4 应用 的线性变换將模态坐标q或正则坐标qN变为物理坐标x即系统原来的广义坐标，最后求得的物理坐标x即是系统运动方程的解。,6.2 大型振动方程自由度缩减方法： 、振型截断法 （见上节） 2、静力凝聚法 严格意义上的静力凝聚，只有一部分质量为零时才能使用 由 ， 可得 得凝聚后的新方程：,3、主从自由度法 主从关系 由原方程 经主从自由度变换 得缩减后的新方程 问题的关键是如何取从自由度 ，或者说如何确定主从关系阵 。 主从关系阵 的确定可用静力凝聚法： 设 确定主从关系,推出 其中 例.1 板的振动 结点 自由度 前4 阶振频,有时主从关系可通过经验和技巧确定： 例.2 三单元梁的振动 已知 则系统刚度阵 和质量阵 为： ，,振动方程为 设振动曲线为 由此可确定以主自由度为 的主从关系：,缩减后的新方程 式中：,解得： （精确解 ） 代回原方程 ， 精确解 可见缩减后的新方程精度很高。,已知刚度阵K和质量阵m，试用静力凝聚法求自振频率 解 解得,，,