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1、第五章 二次曲线的仿射性质如果将仿射变换 用点的齐次坐标表示，设 ，于是化为 设，上式变为 上式是用齐次坐标表示的仿射变换公式。 显然，使变成，可见仿射变换是使无穷远直线仍变成无穷远直线的射影变换。 本章将以无穷远直线不变这一仿射性质为基础研究二次曲线（只研究二阶曲线）的仿射性质及其分类。1 二次曲线的仿射性质1.1二次曲线与无穷远直线的相关位置 设二次曲线的方程为 现在求无穷远直线与二次曲线的交点，将代入得 解得 因此 当时，为二虚根； 当时为二相等实根； 当时为二不等实根。现在我们根据的符号将所表示的二次曲线分类。定义1.1 当时，称所表示的曲线为椭圆型的曲线；当时，称所表示的曲线为双曲型
2、曲线；当时，称所表示的曲线为抛物型曲线，且当时，把上述三种类型的曲线分别称为椭圆，双曲线，抛物线。由定义，显然双曲线与无穷远直线有两个实交点，抛物线与无穷远直线相切，椭圆与无穷远直线有两个共轭虚交点，我们称二次曲线与无穷远直线的交点为曲线上的无穷远点，如图5-1-1所示 图5-1-1由定义显然可知，一个非退化二次曲线表示抛物线的充要条件是它与无穷远直线相切。1.2二次曲线的中心定义1.2 无穷远直线关于二次曲线的极点称为此二次曲线的中心。定理1.1 二次曲线的中心坐标为证明 设无穷远直线关于二次曲线的极点为，于是根据求已知直线的极点公式有所以 故二次曲线的中心坐标为定理1.2 双曲线，椭圆各有
3、唯一中心且为有穷远点，而抛物线的中心为无穷远点。证明 由定理1.1 的结论，当二次曲线表示双曲线或椭圆时，由于，所以其中心为有穷远点，坐标为。当二次曲线表示抛物线时，由于，所以其中心为无穷远点，坐标为。图5-1-2表示三种二次曲线中心的情况。 图5-1-2定理1.3 抛物线的中心的坐标为或者。证明 当二次曲线表示抛物线时，它与无穷远直线相切，这时无穷远直线的极点即抛物线与无穷远直线的切点，所以抛物线的中心是无穷远点，把代入，得 所以 因为所以 从而 又由，得，又有 以后我们把椭圆与双曲线称为有心二次曲线，抛物线称为无心二次曲线。1.3二次曲线的直径与共轭直径定义1.3 无穷远点关于二次曲线的极
4、线称为这个二次曲线的直径。 注意：(1)由于中心是无穷远直线的极点，根据配极原则，过中心的直线的极点必是无穷远点，反之，无穷远点的极线必过中心，因此，直径的定义也可叙述为：通过二次曲线的中心的直线称为直径。（2）由于抛物线与无穷远直线相切，所以无穷远点关于抛物线的极线均过这个切点，即抛物线的直径有公共的无穷远点，亦即抛物线的直径是互相平行的，如图5-1-3所示。 图5-1-3 定理1.4 二次曲线的一组平行弦的中点在它的一条直径上。证明 设二次曲线的一组平行弦交于，则与每条平行弦的中点关于共轭，即每条平行弦的中点都在的极线上，也就是在二次曲线的一条直径上。下面求出二次曲线的直径方程。 因为直径
5、是无穷远点的极线，设无穷远点为，则它的极线为，即 当时，直径的方程也可写为 当二次曲线表示抛物线时，它与无穷远直线的切点为或者。因为这时直径均经过点，是一组平行直线，所以直径的方程为 其中是参数或 其中是参数 定义1.4 二次曲线的一条直径与无穷远直线的交点的极线称为该直径的共轭直径注意：（1）由定义及配极原则，显然二直径的共轭关系是互相的。（2）由于二互相共轭的直径彼此通过另一个的极点，所以共轭直径的定义也可叙述为：通过中心的两条共轭直线称为共轭直径，与一对共轭直径平行的方向，称为共轭方向。（3）因为抛物线的直径都通过抛物线与无穷远直线的切点，所以抛物线的直径无共轭直径，但抛物线的每一直径也
6、平分一组平行弦，如图5-1-4所示。 图5-1-4 我们称抛物线的直径与其所平分的弦的方向为共轭方向，但不是共轭直径。 定理1.5 与有心二次曲线的一条直径平行的一组弦，被它的共轭直径平分。 证明 设直径与直径共轭，直径的无穷远点是的极点，过点引直线交曲线于，交于，则有 所以平分，又，所以平分与平行的弦。 反之，如果平分与平行的弦，则必为与无穷远直线交点的极线，所以为的共轭直径。 由下图5-1-5还可看出过两点的切线必通过的极点，所以这两条切线平行于，故有 图5-1-5 推论 过一条直径两端点的切线平行于该直径的共轭直径（如图5-1-6）图5-1-6 定理1.6 一对共轭直径和无穷远直线组成一
7、个自极三角形。证明 共轭直径的交点是二次曲线的中心，是无穷远直线的极点。同时一条直径与无穷远直线的交点正好是其共轭直径的极点，所以它们组成一个自极三角形。下面我们将求出两条直径成为共轭直径的条件： 已知二次曲线的一条直径： 与无穷远直线之交点为之极线为的共轭直径。的方程为 即 其中 即 为两条直径与成为共轭直径的条件。 注意：条件为两个线束与的对应成为对合对应的条件，所以二次曲线的直径和其共轭直径间的对应是对合对应。1.4二次曲线的渐近线定义1.5 二次曲线上的无穷远点的切线，如果不是无穷远直线，则称为二次曲线的渐近线。 显然，由定义可得：抛物线无渐近线，双曲线有两条实渐近线，椭圆有两条虚渐近
8、线。 渐近线有如下性质： 定理1.7 二次曲线的两条渐近线相交于中心，而且调和分离任何一对共轭直径。 证明 如图5-1-7， 图5-1-7和是渐近线，是一对共轭直径，因为渐近线是切线，所以切点就是它们的极点，但在上，所以通过渐近线和的极点，根据配极原则，渐近线也通过的极点，而的极点是二次曲线的中心，即渐近线通过中心，也就是渐近线相交于中心。 设一对共轭直径与交于，根据共轭直径的定义有 故 即渐近线调和分离共轭直径。定理1.8 若双曲线的一条切线被它的两条渐近线所截，则切点是截得线段的中点。 证明 如图5-1-8图5-1-8切线被渐近线，所截，求切点是的中点。 令是与的交点，是与的交点，则的极线
9、是，因此和 为共轭直径，且有 即为的中点。下面我们将讨论渐近线的求法：已知二次曲线为（1） 由于渐近线是二次曲线上的无穷远点的切线，所以它是无穷远点的极线，因此渐近线是直径，而且它通过本身的极点，这就是说它是共轭直径。而两条直径成为共轭的条件是。现在是自共轭直径，所以，故有 由此解得，则得渐近线的方程为 与 注意：由于直径和共轭直径的对应是一个对合对应，而渐近线是自共轭直径，所以它是对合对应中的自对应元素，所以以上求法可以理解为求对合对应的自对应元素。 （2）直接应用定义求渐近线方程 由于与无穷远直线的交点满足 上述方程表示两条通过原点的直线，因为这两条直线与渐近线有公共的无穷远点，所以二渐近
10、线分别与这两条直线平行。因此，若中心为，则渐近线的非齐次方程为 所以求出中心后即可得渐近线。2 二次曲线的仿射分类.设二次曲线的方程为，由本章引言中所述，根据的符号将所表示的二次曲线分类。当时，称所表示的曲线为椭圆型的曲线；当时，称所表示的曲线为双曲型曲线；当时，称所表示的曲线为抛物型曲线。在时方程是非退化二次曲线。对于椭圆型的情形，有一种是椭圆，方程的标准形是，当然又应有另一种标准形是，即是空集。若，则曲线是退化的二次曲线。根据射影分类的结果，齐次坐标的标准形在仿射平面上应分为和 两类，标准形应分为和 两类，最后还有标准形一类。综上所述，二次曲线可以分为以下9类：（1），标准方程，双曲型，非
11、退化，双曲线。（2），标准方程，抛物型，非退化，抛物线。（3），标准方程，椭圆型，非退化，椭圆。(4) ，标准方程，椭圆型，非退化，空集(虚椭圆)（5），标准方程，双曲型，退化，两相交直线。（6），标准方程，椭圆型，退化，一点（两虚直线交于一点）。（7），标准方程，抛物型，退化，一对平行直线。（8），标准方程，抛物型，退化，空集（两虚直线互相平行）.（9），标准方程，抛物型，退化，两直线重合为一直线。 3 二次曲线的度量性质在代数中我们通常通过引入虚数使得运算能够拓展到复数上，利用类似的方法在几何中我们引入虚元素，使得运算能够在复射影平面上进行，并且使得一些运算大大的简化。3.1虚元素的引进
12、虚圆点首先我们约定若任意三个复数构成的有序数组中，至少有一个数不等于零，而且有两个的比值不是实数，那么就称这个三数组为虚点。若是不等于零的任意复数，则和表示同一点。同样，三个复数的有序数组称为虚直线。点与直线如果满足关系，那么就称它们为结合的，即点在直线上。虚点与虚直线统称为虚元素。在射影平面上引进了虚元素之后，我们称它为复射影平面。我们有如下定义：定义3.1 以复数为坐标的点和直线称为复元素，由复元素构成的射影平面称为复射影平面。例1 是虚元素。是实元素。它们都是复元素。定义3.2 设有点与，其中与互为共轭复数，则与互为共轭点，同样的，直线与互为共轭直线。定理3.1 一个元素为实元素的充要条
13、件是该元素与其共轭元素重合。证明 必要性显然，只证明充分性。若两个共轭元素的第三个坐标不是零，则可以写成，如果它们重合，则一定有从而有，即是实数，说明是实元素。若两个共轭元素的第三个坐标是零，则它们可以写成，由它们重合所以有从而有即是实数，从而是实元素。定理3.2 两共轭复点的连线为实直线，两共轭虚直线的交点为实点。证明 设两共轭点为，则其连线，因为故的三个坐标都是纯虚数，约去得到实数，故两共轭点的连线为实直线。同理可证两共轭直线的交点是实点。定理3.3 每条实直线上至少有一对共轭复点。证明 设直线非齐次方程为，若实点在其上，则有，这时复点经验证可知也满足直线方程，故实直线上至少有一对共轭复点。定理3.4 一条虚直线上有唯一一个实点，过一虚点有唯一一条实直线。证明 因为两个实点连线必为实直线，两条实直线的交点必为实点，所以虚直线上不可能有两个实点，过一虚点不可能有两条实直线。定义3.3 共轭复点和称为虚圆点，简称圆点或圆环点。显然，圆点的线坐标为
