粘性流体力学第四章讲解

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1、第四章 不可压缩层流边界层,第一节 边界层流动的基本概念 第二节 边界层微分方程 第三节 不可压缩层流边界层的相似性解 第四节 边界层的分离现象和定常边界层 的分离条件 第五节 边界层方程的积分关系式解法 第六节 轴对称边界层 第七节 三维边界层,边界层理论有重要的理论和实用意义，由普朗特（Prandtl）1904提出后，得到了很大发展。边界层理论基于大雷诺数流动的近似，在近似中保留部分粘性项而建立了Prandtl边界层方程。,普朗特的边界层理论，把流体分成两个区域，离物面很近的区域，速度梯度很大，粘性力起很大作用，但这层流体很薄，称作边界层，而外层按无粘性流动处理。 1905年普朗特和190

2、8年布拉休斯（Blasius）对平板边界层引入了相似性解。 1921年卡门（Von Karman）和波尔豪森(Pohlhauses)入了动量积分方程。从而提出了边界层的动量积分关系式解法。湍流边界层的积分,以后，有多种改进和推广此法的方法，其中格林法(Green 1973年)考虑了雷诺应力的变化以及上游的历史影响，总的精度有明显的提高。以后依斯特(East 1977年)把Green法发展成解湍流边界层的逆方法，以便预估分离流动，得到了较好的结果。,关系式解法有多种，其中用的比较广泛的是希德法（Head 1958年），此法的主要缺点忽略了边界层上游的历史影响。,第一节 边界层流动的基本概念 1、

3、大雷诺数下物体绕流的特征 图为翼型绕流的流动图景,可以看出，紧靠平板表面的一个薄层中，水流速度很小；而在这薄层以外，水流的速度几乎与来流一样。在雷诺数Re足够大时，物体绕流的流动可分为三个区域： 边界层 尾迹流 外部势流,图41 翼型绕流,（1）边界层。在边界层中流动有明显的速度梯度，因此流场中的切应力是不可忽略的，也就是说粘性的影响是很重要的；同时也不难理解，这里的流动是有旋的。 （2）尾迹。尾迹流动是边界层内的流动在脱离了物面以后的继续，其初始阶段也是速度梯度显著的有旋流动。但是在尾迹中，不再有固体壁面的滞阻作用，不能再产生涡旋，随着离被绕流物体距离的增大，尾迹中的涡旋逐渐扩散，涡旋的动能

4、逐渐耗散成热，涡旋强度和速度梯度亦逐渐减弱，直至远下游消失。 （3）外部势流。即边界层和尾迹以外的流动。这里，流动的速度梯度很小，因而流体中的切应力可以忽略。这里流动基本上是无旋的，所以称为外部势流。,实验证明：雷诺数愈大，边界层愈薄。当雷诺数较小时，边界层的流动全部处于层流状态，称为层流边界层。当雷诺数大于某一个临界值时，例如平板边界层 ， 边界层内的流动部分或全部转变成湍流流动。这时边界层的性质与层流边界层有明显的不同。,2、边界层的形成 从涡旋传输的观点解释形成边界层的原因。流动中的任何固体边界层都相当于连续分布的涡源，它不断的在流动中产生涡旋；这些涡旋通过扩散和对流散布到流动中去，而整

5、个流场的发展又反过来决定了涡旋的产生。,图42 平板表面产生的旋涡,因此紧靠平板表面附近的涡量与平板表面的涡量至少是接近相等的。紧靠表面附近的涡旋，一方面向外扩散，另一方面随着流体向下游流动。涡旋扩散的速度取决于流体的运动粘性系数，运动粘性系数越大，扩散得越快，而涡旋向下游流动的速度取决于来流速度。,当雷诺数 足够大时，即对于一定尺寸的平板，U与 的比之足够大时，平板表面附近的涡旋向下游流动的速度比向垂直于流动方向的速度大得多，以致包含这些涡旋的流动仅仅限于贴近表面的一个向下游伸展的薄层，这个薄层就是边界层。在边界层内，流动是有旋的，而边界层以外的流动则是无旋的。,3、边界层的各种厚度 严格的

6、说，无法绝对准确的定义边界层厚度。因为速度梯度从边界层内的显著到边界层外的不显著，是一个渐进变化的过程。通常把整个横截面上速度恢复到 值的所有点的连线定义为边界层的外边界，这里 为边界层外部势流的速度。,对平板边界层的厚度做一粗略的估计 图42中，邻近平板表面的涡旋，经过时间t后，向垂直于流动方向扩散的距离仅与 和t有关。由量纲分析可知，这一距离与 成正比且同量级。另一方面，邻近平板表面的涡旋经过时间t后，向下游流动的距离与Ut同量级，如果流体质点流经板长L的时间为 L/ U ，则在平板前缘产生的涡旋流到平板后缘时，向外扩散的距离就与 同量级。换言之，平板上距前缘为L的边界层厚度 与 同量级。

7、,(41),显然当雷诺数Re比1大得多时，边界层厚度比流动方向上的特征长度L小的多。对于湍流边界层，涡旋的扩散速度除了依赖于 以外，还依赖于湍流动量的传输。因此，在其他条件相同的情况下，湍流边界层的厚度比层流边界层的厚度大。 边界层的厚度通常很薄。例如，20水沿平板流动，平板长L=1m， /s，来流速度 ，求得 ，如果边界层保持层流，则可以算出 ，即 。如果考虑是标准条件下的空气沿平板流动，板长仍为1m， /s，U10m/s，那么 ， 则可以算出 ， 。,，,。,根据边界层的定义，必须准确知道边界层内的速度分布才能定出 的值，一般来说很难做到，因此要引进另外一些更确切并且有一定物理意义的边界层

8、积分厚度的概念: (1)边界层的位移厚度 (2)边界层的动量损失厚度 (3)边界层的能量损失厚度 (4)边界层外边界的厚度也称为名义厚度 。,(1)边界层的位移厚度,在图42中，取曲线包围的部分作为分析的控制体，其中左右两条垂线分别为x=0和x=x1的y轴线，上面的线为外部势流中某一条流线，下面的线为物面(零流线)。应用质量守恒定律：,图4-2,考虑不可压缩流体 对于平板,(42),(43),（44),图43 与边界层外部流场一致的无粘性流动,（2）边界层的动量损失厚度,将动量方程式应用于图42的控制体中，因流动定常，且压力保持不变则得到：,(45),考虑到：,壁面摩擦阻力与边界层内流体的动量

9、损失相平衡。定义动量损失厚度，其物理意义为：由于边界层的存在损失了厚度为 的非粘性流体的动量。,(46),(47),（3）动能损失厚度 与动量损失类似，边界层由于粘性阻滞而造成的动能流通量损失为：,如果用物理表面的一层无粘性流体流动的动能通量表示动能流通量损失，设这一流层的厚度为 ，则,动能损失厚度的意义：边界层所引起的动能通量损失，相当于物理表面上厚度为 的一层无粘性流体的动能通量。,(48),（4）壁面摩阻系数和边界层的耗散积分 相对于直角坐标系（x，y），粘性流体二维流动中的切应力为 不可渗透的固体壁面上，边界层内的切应力为： 壁面摩阻系数 边界层的耗散率,(410),(411),(41

10、2),(413),4、边界层的类型 固体壁面附近的边界层，称为壁面边界层或壁面剪切层。另一类边界层不受固体壁面的影响，称之为自由边界层或自由剪切层,这样边界层的实例一是尾迹流，另一种是自由射流。如图4-4所示，从喷管向充满同种或不同种流体的空间喷出的射流，假设射流周围空间中的流体与喷管喷出的流体作方向相同、但速度不同的平行运动（伴随流动）。在射流的中间部分为位势核心区，在核心区之外的射流部分与伴随流动之间形成一层速度梯度显著的混合区，即自由边界层区。随着射流向下游的发展，自由边界层的厚度增加，最后，外部伴随流动对射流的影响扩展至整个射流横截面，使整个射流都具有自由边界层的特点。,边界层的耗散积

11、分,(414),图4-4 自由射流的发展,第二节 边界层微分方程 1、沿平壁面的二维边界层方程 首先推导平壁面的二维边界层的微分方程。 在流动平面内取（x，y）直角坐标系（图4-5），以平壁面的前缘为原点O，取x轴与壁面重合，而y轴与壁面垂直，边界层内的NS方程为：,图4-5 沿平壁面二维边界层,(415a),(415b),(415c),当雷诺数Re1时，在边界层内x方向和y方向的量具有不同的量级。取L，U分别为x方向上的特征长度和特征速度；和v分别为y方向的特征长度和特征速度。,引入量纲为1量,(416),连续方程,(417),对动量方程进行量纲为1化,(418a),(418b),忽略低量级

12、量，保留量级为1量，写成有量纲形式：,(419a),(419b),在整个边界层厚度上，压力是常数，即 根据无粘性流体运动方程 沿平壁面的二维不可压缩层流边界层的基本方程组,(420）,(421）,(422),(1）对于边界层内的流动，未知数由三个减少为两个；方程组中的方程数目亦由三个变成两个。 （2）动量方程中只有对y的二阶导数项，这就使问题的求解域由一个二维无穷域变成一个半无限的长条域。对于前者，必须在封闭边界上给出边值条件；对于后者，下游边界条件无需给出。 如果引入流函数,(423),2、沿曲壁面的平面边界层及轴对称边界 层方程,图4-6 平面流动的边界层坐标,R（x）：曲率半径 K（x）

13、：曲率,(424),图4-7 轴对称流动的边界层坐标系,综合平面流动与轴对称流动情况，边界层的坐标系为：,(425),令u和v分别表示x和y方向的速度，x3方向的涡量为,(426),忽略质量力，动量方程和连续方程为:,(427b),(427c),式中,(427a),对方程进行边界层简化。如果采用边界层坐标，则除原点附近之外，x，y两个坐标的数量级为： 其中，L为方向的特征长度， 为边界层的厚度。在边界层内： 此外，再假设： （1）对于平面和轴对称两种情况，R(x)与L同数量级，即： R(x)L,(428),(429),（2）对于轴对称情况，r(x,y)与L同数量级，或 （ 为子午面壁面的倾角）

14、。所以： 式中， 表示相应壁面点至对称轴的距离。 上述两条假设不适用于壁面曲率过大的壁面，也不适用于细长旋转体及前驻点附近且不太小的边界层问题。,，,(430a),(430b),利用上述两条假设，方程式（427）变为：,(431a),(431b),(431c),进一步利用Prandtl方法简化，引入量纲为1参数，使方程量纲为1化，忽略上式中数量级等于或小于 的各项，方程简化为：,变成有量纲的形式：,(432),根据式（432），对于曲壁边界层，压力在边界层厚度方向的变化率是有限量，需要有一个法向压力梯度与流体的离心力平衡。 考虑边界层的厚度 很薄，整个边界层上任一点的压力 仍可用边界层外缘的压

15、力 代替：,由（433）式可见，曲壁平面边界层方程与平板边界层方程（422）式有相同的形式，也可以用流函数方程（423）式表示。对于轴对称边界层方程（433）与（422）式区别，仅在连续方程中。,边界层方程（432）变为：,(433a),(433b),3、定常边界层流动的边界条件 在定常边界层流动的情况下，如果固体壁面是固定不动和不可渗透的，在壁面上，速度满足： 如果固体壁面是可渗透的，且壁上有流体由法向吸入或吸出 在边界层的外缘，可以给出流速渐进的边界条件： 为了求解边界层方程，还必须给定初始截面和x0处的速度分布 。,(434a),(434b),(434c),4、曼格勒(Mangler)变换 曼格勒变换可以把一个定常轴对称边界层流动问题变换为一个相应的平面边界层问题。对轴对称边界层：,(435),引入曼格勒变换：,(436),(437a),考虑到流函数 的定义,(437b),曼格勒变换后的定常轴对称边界层与平面边界层方程相同，为：,(438),举例：,对于绕旋转体的轴对称流动，在前驻点附近,根据势流理论， 是一个绕楔角的平面流动，楔顶半角 ，求解平面边界层流动，然后即可把结果变换到原问题去。,图4-8 （a）轴对称前驻点附近的流动（b）变换后平面上的流动,第三节不可压缩层流边界层的相似性解,边界层方程式的解法一般分为精确解法、积分关系式