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1、,解析几何的发展史,解析几何的产生 现代解析几何的发展历程 解析几何重要思想,解析几何的产生背景,十六世纪以后，科学发展迅速，力学、航海、天文等方面都有重大发现,解析几何的产生背景,意大利科学家伽利略发现投掷物体是沿着抛物线运动的,解析几何的产生背景,德国天文学家开普勒发解析几何的产生现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上,生产和科学技术的这种发展状况离不开数学。许多学科和工程技术都日益广泛和深入地运用着数学这个工具，同时也给数学提出许多新问题这类问题具有共同的特点，就是物体的运动这就要求数学从运动变化的角度去研究问题特别是要求把形与数结合起来,在以落体和行星为典型的
2、机械运动的研究中，提出两个基本的问题：一个是已知路程求速度；一个是已知速度求路程在等速运动的情况下，这两个问题用初等数学就可以解决但在速运动的情况下，只用初等数学的方法就无能为力了因为速度成了变量，初等的常量数学无法描述时间、位置、速度之间的复杂关系，这种矛盾要求数学突破研究常量的范围，提供能够用以描述和研究物体运动以及变化过程的新的数学概念变量和函数，新的数学近代数学本质上是变量数学,解析几何的先驱,笛卡儿(RenDescartes)(1596-1650) 法国科学家、哲学家, 数学家，1596年3月13日，生于法国西部的希列塔尼半岛上的图朗城，3天后，母亲去世，从小便失去母亲的笛卡儿一直体
3、弱多病。1649年10月，勒内.笛卡儿应瑞典女王克里斯蒂娜的邀请来 到瑞典首都斯德哥尔摩，为这位19岁的姑娘讲授哲学和数学，很遗憾由于笛卡儿对女王的生活习惯不适应，加上严寒冬天的威胁，这位伟大的数学家、物理学家和哲学家病倒了。1650年2月11日，这位科学巨人与世长辞了。,笛卡儿他是以下列身份的结合来研究数学的，作为哲学家、作为自然界的探索者、作为一个关心科学用途的人他的基本思想是要建立起一种普通的数学，使算术，代数和几何统一起来他曾说：“我决心放弃那些仅仅是抽象的几何，这就是说，不再去考虑那些仅仅是用来练习思维的问题我这样做，是为了研究另一种几何，即目的在于解释自然现象的几何,著作：几何学笛
4、卡几 何学所阐述的思想，被弥尔称作“精密科学进步中最伟大的一步”,笛卡儿的理论以两个观念为基础：坐标观念和利用坐标方法把带有两个未知数的任意代数方程看成平面上的一条曲线,他的几何学共分三个部分：第一部分包括对一些代数式作几何的原则解释，在这一部分中，笛卡儿把几何算术化了；第二部分讨论了曲线的分类法以及作曲线的切线的方法。,第三部分涉及高于二次方程的解法，指 出了，方程可能有和它的次数一样多的根，还提出了著名的笛卡儿符号法则指出了多项式方程：f (x) = 0 的正根的最多数目等于系数变化的次数，而负根的最多数目等于两个正号和两个负号连续出现的次数在他的几何学中第一次出现变量与函数的思想笛卡儿所
5、谓的变量，是指具有变化长度而不变方向的线段，还指连续经过坐标轴上所有点的数字变量，正是变量的这两种形式使笛卡儿试图创造一种几何与代数互相渗透的科学笛卡儿的功绩是把数学中两个研究对象“形” 与“数” 统一起来，并在数学中引入“变量”，完成了数学史上一项划时代的变革,笛卡儿对韦达所采用的符号作了改进，他用字母表中开头几个字母a;b;c 等表示己知数，而用末尾几个字母x;y; z 等表示未知数，这种表示法一直沿用至今他还考虑过高次抛物线(yn = px; n 2)，并且给出了作摆线切线的相当精巧的方法笛卡儿认为科学的本质是数学,笛卡儿认为科学的本质是数学 他说“我尤其对数学推理的确实性与明了性感到高
6、兴” 他强调科学的目的在于“造福人类”，使人成为自然界的“主人和统治者”,费马是法国数学家，1601 年8 月出生于生活在富裕舒适的环境中费马小时候受教于他的叔叔皮埃尔，受到了良好的启蒙教育，培养了他广泛的兴趣和爱好，对他的性格也产生了重要的影响直到14 岁时，费马才入博蒙 德 洛马涅公学，毕业后先后在奥尔良大学和图卢兹大学学习法律在数学上，数学论集是费马去世后由其长子将其笔记、批注及书信整理成书而出版的我们现在早就认识到时间性对于科学的重要，即使在17 世纪，这个问题也是突出的费马的数学研究成果不及时发表，得不到传播和发展，并不完全是个人的名誉损失，而是影响了那个时代数学前进的步伐,费马在研
7、究阿波罗尼奥斯著作时发现，如果通过坐标系把代数用于几何，轨迹的研究就易于进行，他定义了以下曲线：直线方程为：b=d =(ax)=y；椭圆方程为：a2x2=ky2；双曲线方程为：xy =k2;a2 +x2 = ky2；抛物线方程为：x2 = ay; y2 = ax后来又写了一篇短文平面与立体轨迹引论(1679 年表)，提出了一个很重要的命题：两个未知量决定一个方程式，对应着一条轨迹可以描绘一条直线或曲线1643 年他又在一封信中描述了三维解析几何的思想,1629年以前，费马便着手重写公元前三世纪古希腊几何学家阿波罗尼奥斯（与欧几里得、阿基米德齐名的古希腊数学家，他的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的
8、科学成果）失传的平面轨迹一书。他用代数方法对阿波罗尼奥斯关于轨迹的一些失传的证明作了补充，对古希腊几何学，尤其是阿波罗尼奥斯圆锥曲线论（苏注：圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。对于圆锥曲线，后文需用它说明一个问题，到那时，我再对它作出较详细的解释）进行了总结和整理，对曲线作了一般研究。并于1630年用拉丁文撰写了仅有八页的论文平面与立体轨迹引论（苏注：即研究“点”在平面和立体空间中运动划出的“轨迹”，主要指直线和各种曲线。费尔马又是用代数方法研究的，所以与笛卡尔的类似。笛卡尔坐标中实际也是将直线和曲线看成点的运动轨迹的，所以又叫“变数”。“点的坐标”有规律地变化，就“跑”出了一条抛物线或双曲线
9、）。,费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余之爱好然而，在17 世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌：他是解析几何的发明者之一；对于微积分诞生的贡献仅次于牛顿、莱布尼茨，概率论的主要创始人，以及独承17 世纪数论天地的人此外，费马对物理学也有重要贡献一代数学大才费马堪称是17 世纪法国最伟大的数学家,解析几何的创建，最重要的一点是在数学中引进了变数变数的引入，成了数学发展的转折点，并促进了微积分的发展笛卡儿在他的几何学论文中研究透镜的聚光性能时，讨论了求曲线的切线问题费马在研究一个量的极大值极小值时，借助运动的观点，提出了求切线的方法这些都是微积分中微分计算的先导,变数的引入
10、,现代解析几何的发展历程,牛顿在1704 年，对于二次和三次曲线理论进行了比较系统的研究特别是，得到了“直径” 的一般理论例如，二次曲线的平行弦中点的轨迹是直线，这个结论，对于椭圆、双曲线、抛物线都是正确的对于这个早已熟知的命题，要用综合几何的方法来论证是非常困难的，但用解析几何的方法很容易就证明了这也显示了解析几何的作用,1748 年，著名数学家欧拉（17071783）在他的分析引论著作中论述并发展了解析几何，他不仅对二次曲线进行了详细讨论，而且还研究了高阶曲线他讨论了坐标的平移和旋转，并且得出在坐标变换下，方程的次数不会改变同时，欧拉还在他的书中详细讨论了带两个变量的二次方程总可以化成9
11、种标准形式中的一种也就是对平面曲线作了分类,拉格朗日在1788年表的著作解析力学中把力、速度、加速度“算术化” 了他把力、速度、加速度表示为有向线段有向线段沿坐标的分解系数或有向线段在轴上的射影是一组数这样有向线段就可以和数组对应起来，也就是所谓的“算术化” 由于数学和物理在电学的影响下，广泛地讨论和使用有向线段的理论，因此后来就被称为向量向量理论现己成为解析几何的主要组成部分,在18 世纪前半期，法国的克莱洛（17131765）和拉盖尔（18341886）把解析几何在空间展开他们把空间的点与三数组对应起来含三个变量的方程表示曲面；每个含三个变量的一次方程表示一个平面；直线可作为两个平面的交线
12、，含有三个变量的一般二次方 程可经过坐标轴的平移和旋转化简成17 种标准方程，它们表示根本不同的17 种类型的曲面：有两种椭圆面（实的和虚的），两种双曲面（单叶的和双叶的），两种抛物面（椭圆的和双曲的），两种二阶锥面（实的和虚的）以 及9 种柱面所有这些曲面，在力学、物理学和科学技术中都有它们的用场,数形结合思想在解析几何中的应用,把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，就是数形结合的思想。数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来.,数形结合思想：数（式） 形
13、,直线l 过点M(-1 , 2)且与以P(-2 , -3)、Q(4,0)为端 点的线段相交，则l 斜率的取值范围是-。,y-3x最大值为： 13 y-3x最小值 为：-13,解析几何从产生到现在，经过漫长的发展道路现代的解析几何无论是方法还是内容己发生了很大变化方法更加多样，内容更加丰富和广泛，特别是具有重要意义的变换，变换群以及不变量的理论己被引入解析几何因而，仿射几何、射影几何已成为解析几何的一部分它们在研究几何图形的仿射、射影性质，在研究二次曲线和二次曲面的分类推理以及建筑、测绘等方面都有广泛的应用,由于解析几何的产生，和在长期积累的大量数学成果的基础上，牛顿（16421707）和莱布尼兹（16461716）于17世纪后期建立了微积分解析几何和微积分的出现，使得实践中很多问题变得容易解决了，它们从本质上改变了当时数学面貌解析几何和微积分的出现，实现了常量数学向变量数学的飞越，因此，微积分的出现是建立和发展变量数学的又一个伟大成就,
