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1、第十 二章 气体 的二 维超 声速 流动在 航空和动力工程等实际问题中，除已讨论过的一维流动问题外，还常遇到三维流动问 题。一般说来，三维流动问题的分析和处理是比较困难的。因此，往往通过对二维流动的 研究来进一步了解可压缩流体流动的主要现象和特征，为处理三维流动问题奠定基础。 本 章主要讨论超声速流动的马赫波、膨胀波和斜激波等可压缩流体流动的最重要的物理现 象，并研究其特征和处理方法，这在气体动力学中具有典型意义。 12-空间流场中微弱扰动波的传播通过对不同速度的流场中微弱扰动波的传播情况说明超声速流动和亚声速流动的差别 。1静止流场 在静止流场中 ， 空间某点存在一微弱扰动源 ， 它所产生的
2、扰动波以声速 a向四周传播 ，图 12-微 弱扰 动在 流场 中的 传播4a3a2aaO=0(a)4a3a2aaOa234马赫 锥 AB(d)4a3a2aaO=a234马赫 锥AB(c)形 成以扰动源所在位置 O为 中心的同心球面波，如图 12-1a所 示。如果不考虑扰动波的传播过程中的损失，随着时间的延长，扰动必将传遍整个流场。 2均匀亚声速流场 在均匀亚声速流场中 ， 处于某一固定点上有一小扰动源 ， 它所产生的扰动波如图 12-1b所示。由于流体本身以速度 V运动，故扰动波传播的绝对速度应是两个速度的矢量和。由于 Va， 扰 动 波 面 由 自 扰动 源点出发的锥面的一系列内切球面所组成
3、。通常称此锥为马赫锥。显然，扰动只能在马 赫锥内传播，永远不会传播到马赫锥以外的空间。 马赫锥的半顶角称为马赫角，用 表示。由图可容易看出，它与马赫数的关系为：MVa1sin= (1)马 赫锥通常也称为马赫波。马赫波就是超声速气流受到微弱扰动时，所形成的已受扰动影响和未受扰动影响的分界面 。 三维流场形成锥形波面 ； 二维流场则形成相交的平面波 ，而 不呈锥形，故称马赫波比马赫锥具有更广泛的意义，穿过马赫波，气流状态参数发生微变化，其变化过程为等熵过程。 12-超声速气流的小角折转流动均 匀超声速气流沿平壁流动，在 O点 折转一小角度 ， 如图 12-2所 示，由于壁面存在 折角，必然对气流产
4、生扰动，折角即为一扰动源。根据上节讨论的超声速气流中扰动传播特征 ， 扰动将在由折转点 O所发生的马赫波的下游区域内传播 ， 马赫波上游的区域不受扰 动的影响。经马赫波，气流的速度由 V变 为 V+V， 气流的方向也由水平方向折转一个小角度 ，沿平行于折转后的壁面的方向流动。为求出折角 与速度变化量 V之间的关系，我们建立沿马赫波方向的动量方程( )( ) 0coscosm =+ VVVQ (1)式 中 sinnm VV= ， 为 穿 过 马 赫 波 每 单 位 面 积 上 的 质 量 流 量 。 展 开 上 式 ， 考 虑 到d，故 dsin,1cos ，并略去高阶小量，得sincosddV
5、=由于 M1sin=，故 1sincos2=M ，代入式中，得VMd1d2= (2)因 为 超 声 速 流 动 ， M1， 根 号 下 的 值 永 远 为 正 ， 故 当 d0时 ， dV0， 即 绕 凸 钝 角 流为加速流动 ， 或膨胀性流动 ， 对应的马赫波为膨胀性马赫波 。 若 d图 12-4物体头部的斜激波M2二、斜激波前后气流参数的关系 平面超声速气流中存在一固定斜激波 (见图 12-6)。激波前气流参数分别为 1V、 1p、 1和 1T， 激波后为 2V、 2p、 2和 2T。 将激波前后的速度分解为与波面垂直的分速度 1nV和 2nV，以及与波面平行的分速度1tV和 2tV。由于
6、通过激波波面的流量与沿波面的切向分速度 1tV和 2tV无关，故连续方程为2n21n1 VV= (1)切向动量方程为 0t1n1t2n22 =VV (2)由上述两方程可得 tt1t2 VVV= (3)该 式表明，斜激波前后的切向速度相同。这样，当气流穿过激波时，只有法向速度发生突变。因此，可以将斜激波看成是法向速度的正激波，波前速度 sin11nVV=,波后速度为 )sin(22n =VV 。以 M1sin代替正激波关系式，便可得斜激波前后气流参数间的关系 )1sin(121 22112 += Mkkpp (4)() 2sin)1( sin1221 2212nn112 += MkkV (5)1
7、sin(sin)1( )1sin)(1(21 2212212 22112 + += MMkkkT (6)0102TT= (7)1tVn1V 2nV2tV1V2V图 12-6斜 激波 前后 的速 度11221122122101020102 )1(sin2 1sin)1( sin)1( += kkk kkMkMkkpp (8) + += 11sin12sin)1( 2sin)1(ln221221221V22 kkMkkMkkCSS k (9)斜激波前后的马赫数关系类似正激波 ， 但需以 M2n=2sin(-)和 M1n=1sin 分别代替式中的 M2和 M1而得到 )1(sin2 2sin)1()
8、(sin 221 22122 += kkMkM (10)对 于兰金一雨贡钮式，因其中不包含马赫数，也不包含激波倾角 ， 所以对正激波和斜激波都适用。三、激波倾角 与气流折角 的关系由图 12-6的几何关系知1t1ntgV=， tV2n2)(tg=又知 2t1tVV=，故可得到n1n2tg)(tg V=利用 (5)式，得 ()() cossin1 2sin1)(tg21221Mkk+ +=整理后，可以得到 1)sin21( 1sinctgtg 221 221 += kM (1)为便于应用 ， 将关系式 (1)绘成曲线 ， 如图 12-7所示 ， 由图可以看出 ， 曲线为双值函数。 (1)在下面两
9、种情况下，气流折角 0=：当 01sin22 =M ， 即 11sinM=时 ， 也就是激波倾角等于马赫角时 ， 激波强度为无限小，激波成为马赫波。 当 ctg=0，即 =2时，这是正激波情况。可见，马赫波和正激波都是斜激波的两种极限情况。 (2)对于每一个给定的马赫数 M1，气流偏转角都存在一个极大值 m ax。(3)对于每一个给定的马赫数 1， 当 m ax0时 ， 在图中的曲线上没有交点 ， 在楔尖处不存在斜激波 ， 而是在前部一定距离处形成一道曲线形激波 ， 如图 12-8所示 。 这就是脱体激波 。 脱体激波的形状和位置取决于 物体的几何形状、下游条件和来流马赫数。脱体波的中间部分为
10、正激波，经正激波后的流 动为亚声速流动。由中间向两侧延伸的激波逐渐倾斜，激波倾角逐渐减少，激波强度逐 渐减弱。故脱体激波为非等强度激波。 超 声 速 气 流 中 的 钝 头 物 体 (如 图 12-8c所 示 )， 只 要 来 流 马 赫 数 大 于 1， 必 然 在 其 前 方出现脱体激波。 12-5拉伐尔喷管的非设计工况流动分析在变截面流一节中 ， 已讨论过气体在拉伐尔喷管中按设计工况流动时 ， 背压 bp必须等于 计 算 出 口 压 强e1p,否 则 ， 得 不 到 予 计 的 超 声 速 气 流 (见 图 12-9)。 若 e1bpp时 ， 喷 管 内为完全亚声速流动。 下面我们讨论当
11、背压 bp在 e1p和 e2p之间的情况。当出口背压bp略低于 2ep，如为 fp时，在喉部下游某处产生一正激波，激波后气流为亚声速 ， 随通道截面的扩张而减速 、 增压 ， 在出口压强达到 fp。 随着背压 bp的降低 ， 激波向下游移动 ， 直到当 dbpp=时 ， 激波移动到管口处 ， 若管口压强再降低 ， 激波将逐步变成斜激波。此外 ， 如果管口外面的环境压强 (背压 )低于 e1p时 ， 将会在管口外继续膨胀 ， 形成如图所示的膨胀波，后面还会发生波的相交和反射，产生复杂的波系。 不 论在管口出现斜激波，还是膨胀波，波后气流都是超声速的，都会在下游产生相交和反射的波系，气流性能变坏，并发生不可逆过程，产生损失。*A1M0p 1=MM0.1x0/)(pxp0.1x0e2/pp 正激波 正激波斜激波 膨胀波0e1/p02/p图 12-9拉 伐尔 喷管 的非 设计 工况 流动
