《2017-2018学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量基本定理 3.1.4 空间向量的坐标表示课件 苏教版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量基本定理 3.1.4 空间向量的坐标表示课件 苏教版选修2-1（45页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示学习目标1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解正交基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一空间向量基本定理思考1平面向量基本定理的内容是什么？如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中，不共线的e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.答案只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底吗？不一定，只需三个向量不共面，就可作
2、为空间向量的一组基底，不需要两两垂直.答案思考2梳理梳理空间向量基本定理(1)定理内容：条件：三个向量e1，e2，e3 .结论：对空间中任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使 .不共面pxe1ye2ze3(2)基底：定义在空间向量基本定理中，e1，e2，e3是空间 的三个向量，则把e1，e2，e3称为空间的一个 ， 叫做基向量正交基底与单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相 ，那么这个基底叫做正交基底.特别地，当一个正交基底的三个基向量都是 时，称这个基底为单位正交基底，通常用 表示不共面基底e1，e2，e3垂直单位向量i，j，k(3)推论：条件：O，A，B，C是 的四
3、点.结论：对空间中任意一点P，都存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得 .不共面知识点二空间向量的坐标表示思考1对于空间任意两个向量a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，若a与b共线，则一定有 吗？不一定.当b中的x2，y2，z2中存在0时，式子 无意义，故此种说法错误.答案思考2若向量 (x1，y1，z1)，则点B的坐标一定为(x1，y1，z1)吗？不一定.由向量的坐标表示知，若向量 的起点A与原点重合，则B点的坐标为(x1，y1，z1)，若向量 的起点A不与原点重合，则B点的坐标就不为(x1，y1，z1).答案梳理梳理(1)空间向量的坐标表示向量a的坐标：在空间直角坐标系Oxy
4、z中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的 向量i，j，k作为基向量，对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在 的有序实数组 ，使 ，有序实数组 叫做向量a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作 .单位惟一(x，y，z)(x，y，z)axiyjzka(x，y，z)(2)空间中有向线段的坐标表示设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，坐标表示： .语言叙述：空间向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的_ .(x2x1，y2y1，z2z1)终点坐标减去它的起点坐标(3)空间向量的加减法和数乘的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，试根据下面的提示填空.运算表示方
5、法加法ab_减法ab_数乘a_(R)(4)空间向量平行的坐标表示若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，且a0，则abb1a1，b2a2，b3a3(R).(a1b1，a2b2，a3b3)(a1b1，a2b2，a3b3)(a1，a2，a3)题型探究类型一空间向量基本定理及应用命题角度命题角度1空间基底的概念空间基底的概念解答基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底.(2)方法：如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底.假设abc，运用空间向量基本定理，建立，的方
6、程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底.反思与感悟跟踪训练跟踪训练1以下四个命题中正确的是_.空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；若a，b，c为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.答案解析因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故不正确；正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以与另外一个向量构成基底，故正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故不正确.命题角度命题角度2空间向量基本定理的应用空间向量基本定理的
7、应用解答引申探究引申探究若将本例中的“G是ABC的重心”改为“G是AD的中点”，其他条件不变，应如何表示解答用空间向量基本定理时，选择合适的基底是解题的关键.反思与感悟解答解答解答解答类型二空间向量的坐标表示解答例例3 棱长为1的正方体ABCDABCD中，E、F、G分别为棱DD、DC、BC的中点，以 为基底，求下列向量的坐标.解答引申探究引申探究解答反思与感悟用坐标表示空间向量的步骤答案解析OM2MA，点M在OA上，类型三空间向量的坐标运算及应用例例4已知空间三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4).解答假设存在x，yR满足条件，由已知可得 (2，1,2).由题意得(1,0,2
8、)x(1,1,0)y(2，1,2)，所以(1,0,2)(x2y，xy,2y)，所以存在实数x1，y1使得结论成立.解答反思与感悟向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，即向量的坐标等于其终点的坐标减去始点的坐标.特别地，当向量的起点为坐标原点时，向量的坐标即是终点的坐标.进行空间向量的加减、数乘的坐标运算的关键是运用好其运算性质.ba(t1,2t1,0)，跟踪训练跟踪训练4已知a(1t,1t，t)，b(2，t，t)，求|ba|的最小值.解答当堂训练正确.作为基底的向量必须不共面；正确；不正确.a，b不共线，当cab时，a、b、c共面，故只有正确.1.有下列三个命题三个非零向量a、b、c不能构成空间
9、的一个基底，则a、b、c共面；不两两垂直的三个不共面的向量也可以作为空间向量的一组基底；若a、b是两个不共线的向量，而cab(、R且0)，则a，b，c构成空间的一个基底.其中为真命题的是_.答案解析22334455112233445511依题意，得ba(1,2，1)a(1，2,1)2(1，2,1)(2，4,2).2.已知a(1，2,1)，ab(1,2，1)，则b_.答案解析(2，4,2)22334455114a2b4(3，2,1)2(2,4,0)(12，8,4)(4,8,0)(8,0,4).3.已知向量a(3，2,1)，b(2,4,0)，则4a2b_.答案解析(8,0,4)2233445511根据已建立的空间直角坐标系知A(0,0,0)，C1(2，2,1)，D1(0,2,1)，则 的坐标为(0,2,1)， 的坐标为(2,2,1).4.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中建立空间直角坐标系.已知ABAD2，BB11，则 的坐标为_， 的坐标为_.答案解析(0,2,1)(2,2,1)2233445511答案解析规律与方法用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示.本课结束
