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1、理论力学CAI 版权所有, 2000 (c) 上海交通大学工程力学系,理论力学 CAI,数学基础,方向余弦阵,前言 矩阵 矢量 方向余弦阵 平面矢量,2019年11月9日,理论力学CAI 数学基础,2,方向余弦阵,方向余弦阵的定义 方向余弦阵的性质,方向余弦阵,2019年11月9日,理论力学CAI 数学基础,3,方向余弦阵,方向余弦阵的定义 方向余弦阵的性质,方向余弦阵,2019年11月9日,理论力学CAI 数学基础,4,方向余弦阵的定义,问题的提出 方向余弦阵定义,方向余弦阵/定义,2019年11月9日,理论力学CAI 数学基础,5,方向余弦矩阵/定义,问题的提出,同一个矢量在不同基下坐标阵
2、的关系,2019年11月9日,理论力学CAI 数学基础,6,方向余弦矩阵/定义,问题的提出,同一个矢量在不同基下坐标阵的关系,2019年11月9日,理论力学CAI 数学基础,7,方向余弦矩阵/定义,问题的提出,不等但有关系,2019年11月9日,理论力学CAI 数学基础,8,方向余弦矩阵/定义,方向余弦矩阵的定义,对于两个不同的基,定义如下3*3标量阵为基 关于基 的方向余弦矩阵,方向余弦矩阵的元素是两基基矢量夹角的余弦,2019年11月9日,理论力学CAI 数学基础,9,方向余弦矩阵/定义,方向余弦阵的元素的几何意义,行阵的转置是基 的基矢量在基 下的坐标阵,坐标阵,基矢量,2019年11月
3、9日,理论力学CAI 数学基础,10,方向余弦矩阵/定义/方向余弦阵元素的几何意义,列阵是基 的基矢量在基 下的坐标阵,坐标阵,基矢量,2019年11月9日,理论力学CAI 数学基础,11,方向余弦矩阵/定义/方向余弦阵元素的几何意义,基 关于基 的方向余弦矩阵对应于如下的表,列阵是基 的基矢量在基 下的坐标阵,小结,2019年11月9日,理论力学CAI 数学基础,12,方向余弦矩阵/定义/方向余弦阵元素的几何意义,例已知基 的三个基矢量在基 的坐标阵分别为,求基 关于基 的方向余弦阵,解由定义，基 关于基 的方向余弦阵,2019年11月9日,理论力学CAI 数学基础,13,方向余弦矩阵/定义
4、/方向余弦阵元素的几何意义,例求图示基 对基 方向余弦阵,其中:AB=AD=DP=1,解 基 基矢量 关于基 的坐标阵,A,D,C,B,P,基 关于基 的方向余弦阵,2019年11月9日,理论力学CAI 数学基础,14,方向余弦矩阵/定义/方向余弦阵元素间的关系,方向余弦阵元素间的关系,单位基矢量,2019年11月9日,理论力学CAI 数学基础,15,方向余弦矩阵/定义/方向余弦阵元素间的关系,三基矢量正交,2019年11月9日,理论力学CAI 数学基础,16,方向余弦矩阵/定义/方向余弦阵元素间的关系,三基矢量正交(右旋),2019年11月9日,理论力学CAI 数学基础,17,方向余弦矩阵/
5、定义/方向余弦阵元素间的关系,三基矢量正交(右旋),三基矢量正交,2019年11月9日,理论力学CAI 数学基础,18,方向余弦矩阵/定义/方向余弦阵元素间的关系,方向余弦阵九个元素应满足六个的代数方程,三基矢量正交,方向余弦阵九个元素中只有三个是独立的,单位基矢量,2019年11月9日,理论力学CAI 数学基础,19,方向余弦矩阵/定义/方向余弦阵元素间的关系,例 已知矢量 与 在基 下的坐标阵为,如果基 的基矢量 和 分别与 和 的方向一致,求 基 关于基 的方向余弦阵,2019年11月9日,理论力学CAI 数学基础,20,方向余弦矩阵/定义/方向余弦阵元素间的关系,解,基矢量 和 基 下
6、的坐标阵为,在基 下的坐标阵为,模,基矢量,2019年11月9日,理论力学CAI 数学基础,21,方向余弦矩阵/定义/ 方向余弦阵元素间的关系,基矢量 , j=1,2,3, 在基 下的坐标阵为,基 关于基 的方向余弦阵,2019年11月9日,理论力学CAI 数学基础,22,方向余弦阵,方向余弦阵的定义 方向余弦阵的性质,方向余弦阵,2019年11月9日,理论力学CAI 数学基础,23,方向余弦阵的性质,方向余弦阵/性质,2019年11月9日,理论力学CAI 数学基础,24,方向余弦阵/性质,性质1:,基 关于基 的方向余弦阵 与基 关于基 的方向余弦阵 互为转置,证明,2019年11月9日,理
7、论力学CAI 数学基础,25,方向余弦矩阵/性质,性质2:,当两个基的基矢量的两两方向一致，则它们的方向余弦阵为三阶单位阵,证明,2019年11月9日,理论力学CAI 数学基础,26,方向余弦矩阵/性质,性质3:,若有三个基 、 与 。其中基 关于基 和基 关于基 的方向余弦阵分别为 与 ，则基 关于基 的方向余弦阵 为,此关系可推广到有限个基的方向余弦阵转换,证明,2019年11月9日,理论力学CAI 数学基础,27,方向余弦矩阵/性质,性质4:,方向余弦阵是一正交阵,证明,2019年11月9日,理论力学CAI 数学基础,28,方向余弦矩阵/性质,性质5:,不同基下坐标阵之间的关系式为,证明
8、,2019年11月9日,理论力学CAI 数学基础,29,方向余弦矩阵/性质,性质6:,不同基下的坐标方阵之间的关系式为,考虑矢量式 的坐标阵的运算式,证明,引入任意矢量,对于任意矢量,2019年11月9日,理论力学CAI 数学基础,30,基 关于基 的方向余弦阵,方向余弦矩阵/定义/方向余弦阵元素间的关系,例 已知矢量 与 的坐标阵,求标量 与 在基 下的坐标阵表达式,解,2019年11月9日,理论力学CAI 数学基础,31,方向余弦矩阵/性质,性质7:,方向余弦阵的行列式等于1,证明,2019年11月9日,理论力学CAI 数学基础,32,方向余弦矩阵/性质,例求矢量 在基 与基 的坐标阵与坐标方阵,其中:AB=AD=DP=1,A,D,C,B,P,解矢量 在基 的坐标阵与坐标方阵,2019年11月9日,理论力学CAI 数学基础,33,方向余弦矩阵/性质,矢量 在基 的坐标阵与坐标方阵,A,D,C,B,P,验证！,
