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1、目 录摘要11. 引言32.维纳过程32.1独立增量过程32.2 维纳过程的定义42.3维纳过程的特点42.4维纳过程的性质52.5维纳过程在区间上加权线性组合63.维纳过程的应用73.1股票价格的行为模式73.2维纳过程下四种死力假设的增额寿险精算模型114. 结束语16参考文献17维纳过程及其应用薛翔南京信息工程大学摘要：本文叙述了维纳过程的基本定义和概念，并介绍了维纳过程的特点和性质以及与维纳过程有关的在生活中的应用。通过对股票价格的行为模式的理论分析，可以看出维纳过程作为随机过程中的一个具体模型在生活中是有重要意义的。通过对在维纳过程下，四种常用的死力解析形式的分析，可以看出维纳过程对
2、保险实务有一定的理论指导意义。关键词：维纳过程； 随机变量；独立增量；正态分布0The Wiener process and its applicationXue XiangNanjing University of Information Science and Technology Abstract: This paper describes the Wiener process and the definition of the concept, and introduced the characteristics and the nature of the Wiener process
3、 and Wiener process in life application. By means of the theory on stock price behavior pattern analysis, it can be seen that the Wiener process as a stochastic process in a specific model in life is important. Through the analysis of four commonly used to analytical form in the Wiener process, we c
4、an see Wiener process for the insurance practice has a certain theoretical significance.Key words: Wiener process; random variable; independent increment; normal distribution11. 引言布朗运动的数学模型就是维纳过程。布朗运动就是指悬浮粒子受到碰撞一直在做着不规则的运动。我们现在用来表示运动中一个微小粒子从时刻到时刻的位移的横坐标，并令。根据的理论，我们可以知道微粒之所以做这种运动，是因为在每一瞬间，粒子都会受到其他粒子对
5、它的冲撞，而每次冲撞时粒子所受到的瞬时冲力的大小和方向都不同，又粒子的冲撞是永不停息的，所以粒子一直在做着无规则的运动。故粒子在时间段上的位移，我们可把它看成是多个小位移的总和。我们根据中心极限定理，假设位移服从正态分布，那么在不相重叠的时间段内，粒子碰撞时受到的冲力的方向和大小都可认为是互不影响的，这就说明位移具有独立的增量。此时微粒在某一个时段上位移的概率分布，我们便能认为其仅仅与这一时间段的区间长度有关，而与初始时刻没有关系，也就是说具有平稳增量。2.维纳过程2.1独立增量过程维纳过程是典型的随机过程，属于所谓的独立增量过程，在随机过程的理论和应用中起着很重要的作用。现在我们就来介绍独立
6、增量过程。定义：是二阶矩过程， 那么我们就称为随机过程在区间上的增量。 若对任意的和任意的，个增量是相互独立的，那么我们就称为独立增量过程。我们可以证明出在的条件下，独立增量过程的有限维分布函数族可由增量的分布所确定。 如果对和与的分布是相同的，我们就称增量具有平稳性。那么这个时候，增量的分布函数只与时间差有关，而与和无关(令便可得出)。值得注意的是，我们称独立增量过程是齐次的，此时的增量具有平稳性。2.2 维纳过程的定义 给定二阶矩过程，若满足 (i) 具有独立增量；(ii) 对t,有增量；(iii) ，则称此过程是维纳过程。 由（ii）我们可得出维纳过程增量的分布只依赖于时间差，故维纳过程
7、是齐次的独立增量过程，并且也服从正态过程。事实上对任意个时刻（记），把写成 我们由（i）（iii）知，它们都是独立的正态随机变量的和，由维正态变量的性质可得出是维正态变量，即是正态过程。所以其分布依赖于它的期望函数和自协方差函数。 由（ii），（iii）可知，,故维纳过程的期望与方差函数为， 上式中叫做维纳过程的参数，我们通过做实验得出数据值可估计出其大小。得自协方差函数为 2.3维纳过程的特点（i）它是一个过程。故未来推测所需的数据信息就是该过程的当前数据值；（ii）维纳过程具有独立增量。即该过程在任意一个时间区间上变化的概率分布，与其在其他的时间区间上变化的概率无关；（iii）在任何有限时
8、间上，维纳过程的变化服从正态分布，其方差随时间区间长度的增长而呈线性增加。2.4维纳过程的性质（1）基本性质对, 一维维纳过程在时刻是一个随机变量，其概率密度函数是： 这是因为根据维纳过程的定义得出当时，能推出的分布： 它的数学期望是零： 它的方差是：在维纳过程的独立增量的定义中，令，那么和都是相互独立的随机变量，并且故在两不同时刻： （2）即时最值 维纳过程中的即时最大值：而即时最大值的分布所以有即时最大值的数学期望：因为维纳过程是上下对称的，所以其即时最小值为其即时最大值的相反数。（3）对称性质 尺度不变性：对，随机过程依然是一个维纳过程。 时间反转性：对，可得随机过程和性质相同。时间反演
9、性：随机过程也是一个维纳过程。空间对称性：随机过程也是一个维纳过程。（4）时间平移不变性和马尔可夫性质我们说维纳过程具有马尔可夫性质，即在任意一点之后的走势仅依赖于当前这一点值，而与先前的取值没有关系。也即对任何的有界的连续函数，所以维纳过程具有时间平移不变性：随机过程也是一个维纳过程。而且维纳过程还具有强马尔可夫性：即对，（为有限停时），随机变量。也就是对任何的有界的连续函数， 上述性质明表尽管给出的时间不是一个定时而是一个停时，维纳过程在停时之后的走势依然不依赖于先前。故将停时之后的维纳过程上下反转，仍是一个维纳过程。我们用数学语言来表达，即给定一个停时以后，随机变量：也是一个维纳过程。此
10、性质也被称为维纳过程的反射原理。 作为推论，我们可建立即时最大值与的另一种关系。假设有，停时，所以。我们运用反射原理可证明出。2.5 维纳过程在区间上加权线性组合设：，是实数且是维纳过程，记 为维纳过程区间上的线性组合。3.维纳过程的应用3.1股票价格的行为模式通过对股票价格大量的研究和理论分析，在一定程度上推动了证券市场的发展，并给证券市场其它理论的研究和分析提供了基础。我们经常应用的假设是股价服从扩散过程，且大部分情况下都是几何布朗运动。在此条件下，任一时期的复合收益率是服从正态分布的。此假设的统计特性是很吸引人的且计算上方便很多。由于正态分布满足加法的封闭性，所以不管股票的套利组合是什么
11、样的，它都依然服从正态分布。如果我们假设风险行为减到零，那么股票收益率的分布同样也是服从正态分布的。 (i)经典的假设理论我们先来介绍随机游走模型，其表达式为： （1）其中：，表示时刻和时刻的股票价格，表示均值为，方差为的独立正态分布。股票价格模型我们一般情况下用维纳过程来表达，而随机游走模型所解释的股价波动走势，从本质上来说，其实就是一个漂移率为的扩散过程，如果我们令 是股价关于时间的函数，那么得随机游走模型： （2）上式中表示标准维纳过程。然而，事实上它仅解释了股价的波动率，仅仅是我们理想情形下的模型。漂移率为也就是说，在未来任何一个时刻，股价的均值等于其当前值。如果我们设时间区间长度为年
12、，在前一年的股价条件不发生变化的情形下，那么该年度的股价就等于前一年度的股价均值，在此种情况下，持股人就很难做到持股时间大于年，这显然与现实生活中的情况不相符。况且我们有充分理由认为，由于上市公司在不断的经营扩大，所赚取的利润也在不断的增长，所以从长远来看，公司的股价应该呈现出逐渐增长的走势，故漂移率是不可能为零的。那么我们通过一个一般化的维纳过程就能来解释股票的价格行为（当然该一般化的维纳过程的期望漂移率和方差率是定值），然而由于持股人想要来自股票的期望百分比收益不依赖于股票价格，因此假设期望漂移率为一个常数也是不合乎常理的。现在我们假设期望漂移率为股票价格的比例，并且其为一个定值，也就是说
13、股价的期望漂移率为，恒等于一个自然数，在几何条件下，它的解释就是股票的期望收益率。在此假设下，经过时间后，的增长均值为，即，其中表示期望算子。当方差率为时，则微分形式的模型： 可得，式中的表示股票的最初价格，由此可看出，当方差率为时，股价的利率为，以连续复利的方式增长。然而现实生活中，股价的方差率一般是不可能为零的，因此合乎常理的假设应该是股票的百分比收益率的方差不发生变化。若我们令股价比例变化的方差率为，经过后，股价比例变化的方差为，那么事实上股价真正变化的方差为，所以得到股价波动走势的模型： （3）上式中表示标准维纳过程。我们用随机分析的理论来说，这就是过程。其中，称作漂移系数，称作扩散系数。方程能够在一定程度上描述股票价格行为。我们常把称为股价波动率，把称为股价的预期收益率。下面我们先来介绍一下随机分析理论中的引理：设是关于两次连续可导，关于一次可导的函数，为满足随机微分方程的扩散过程，故可得到随机变量函数的微分形式 （4）如果我们定义，由则有 （5）上式说明服从一般化的维纳过程，当变量表示股价时，我们可看出股价服从对数正态分布。现在我们将式写成增量形式，则有股票收益过程为 (6)并且令，表示股票的期收益率，为独立的维纳过程，在此条件下是独立的。若表示股票的初始价格，则有
