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1、2.5 控制系统的状态空间表达式2.5 控制系统的状态空间表达式随着科学技术的发展，被控制的对象越来越复杂，对自动控制的要求也越来越高。面对时变系统，多输入多输出系统、非线性系统等被控量和对控制系统高精度、高性能的严格要求，传统的控制理论已不能适用。同时，计算机技术的发展也要求控制系统地分析，设计中采用计算机技术并在控制系统的组成中使用计算机。因此，适用这些要求的控制系统的另一种数学描述方法-状态空间就应运而生。 2.5.1 状态变量在对系统动态特性描述中，足以表征系统全部运动状态的最少一组变量，称之为状态变量。只要确定了这组变量在t=时刻的值以及时的输入函数，则系统在任何时刻的运动状态就会全
2、部确定。状态变量互相间是独立的，但对同一个系统，状态变量的选取并不是唯一的。一个用n 阶微分方程描述的系统，有n个独立变量，这n个独立变量就是该系统的状态变量。若用表示这n个状态变量，则可以把这n个状态变量看作是向量x(t)的分量。我们称x(t)为状态变量，它是一个n维向量，记为分别以状态变量作为坐标而构成的n维空间，称为状态空间。系统在t时刻的状态，就是状态空间的一点。系统在时刻的状态称为初始点，随着时间的变化，x(t)从初始点出发在状态空间描述出一条轨迹，称为状态轨迹。状态魁及表征了系统状态的变化过程。2.5.2 状态空间表达式1. 状态方程由系统的状态变量和输入函数构成的一阶微分方程组，
3、称为系统的状态方程。对于线性系统，可以写成如下形式(2.59) 记为(2.60)式中x(t)是n维列向量u(t)是r维输入向量A是n*n维矩阵，称为系数矩阵B是n*r矩阵，称为输入矩阵或控制矩阵若矩阵A和B的元素都是常数，则状态方程是线性定常的。若A和B中有随时间变化的元素，状态方程就是线性时变的。状态方程中不能含有x(t)的高于一阶导数的项和输入函数的导数项。对于非线性系统，状态方程可以写成如下形式(2.61)记为(2.62)式中f为向量函数。2. 输出方程描述系统的输出变量与状态变量和输入变量关系的方程，称为输出方程。线性系统的输出方程具有以下形式(2.63)记为(2.64)式中y(t)为
4、m维列向量，称输出向量 C为m*n维矩阵，称为输出矩阵D为m*r维矩阵，称为直接传输矩阵线性定常系统的输出矩阵和直接传递矩阵的所有元素均为常量。非线性系统的输出方程可表示为(2.65)式中g称为向量函数。输出方程中不含有变量的任何导数项。3. 状态空间表达式系统的状态方程和输出方程总称为系统的状态空间表达式(2.66)或 (2.67)传递函数是系统输出与输入之间关系的数学描述，它所描述的系统的动态特性并不涉及系统内部各种变量的问题，是从外部看到的系统的一种整体特性，我们称其为外部特性。应该说，传递函数对系统特性的描述是不完全的。在状态空间表达式中，状态方程反映了输入对系统内部状态的影响，即输入
5、改变了系统的状态，而输出方程则反映了状态变量对输出变量的影响，即状态改变产生了输出改变。状态空间表达式包含了系统运动的内部信息（状态）和外部信息（输出），是对系统动态特性的完整描述。图2.35是系统状态空间表达式的结构图。图中用双线箭头表示向量信号。图2.35 控制系统状态空间表达式的结构图2.5.3 状态空间表达式的建立建立控制系统的状态空间表达式，可以根据系统运动的内在机理直接建立状态方程和输出方程，也可以根据系统的微分方程，传递函数或结构图来建立。后者称为模式转换问题。1. 由微分方程建立状态空间表达式（1）不含输入函数倒数项的n阶线性系统。设n阶线性系统的微分方程具有如下形式(2.68
6、)当等初始值及在时的输入函数已知时，系统在t时刻的行为就可以完全确定。所以，可以选取共n个变量为系统的状态变量方程（2.68）可以写成这就是n阶线性系统的状态方程，记为(2.69)式中维矩阵维矩阵维矩阵输出方程为记为式中维矩阵具有上面A矩阵形式的矩阵称为友矩阵。友矩阵的特点是主对角线右上方的元素为1，最后一行的元素可取任何值，其余元素为零。（2）含有输入导数项的n阶线性系统设n阶线性系统的微分方程具有如下形式(2.71)对于这种情况，若仍按不含输入导数项的微分方程的处理办法，状态方程就会出现输入函数的导数项，这是不允许的。我们可以这样来选取状态变量式中状态方程可写为(2.72)输出方程为(2.
7、73)状态空间表达式记为(2.74)式中系数矩阵仍为友矩阵维矩阵控制矩阵为维矩阵输出矩阵为维矩阵而因为描述线性定常系统的高阶微分方程是单输入单输出系统，所以状态方程中输入函数只有一个，输出方程中输出变量也只有一个，与其相关的矩阵形式也较为简单。例20 某线性定常系统的微分方程为写出其状态空间表达式。解 先把方程变为式（2.68）的形式设状态变量为则状态空间表达式为其中例21 控制系统的微分方程为写出其状态空间表达式。解 这是输入函数具有导数项的微分方程。先计算：参照式（2.72），（2.73），可得到状态方程输出方程为状态空间表达式为2.由传递函数建立状态空间表达式已知控制系统的传递函数，可以
8、求取其拉普拉斯的反变换，得到系统的微分方程，再根据微分方程写出系统的状态空间表达式。例22 已知控制系统的闭环传递函数为写出其状态空间表达式。解 先写出对上式进行拉普拉斯反变换，得到再计算状态空间表达式为其中根据已知的传递函数，引入一个中间变量Z(s)，用下面的方法也可以建立系统的状态空间表达式。设已知的传递函数具有下面的形式(2.75)引入中间变量z(s)，即令(2.76)其中(2.77)(2.78)因而有(2.79)(2.80)选取中间变量z(t)及其各阶导数为状态变量：由（2.79）式可得到状态方程，由（2.80）式可得到输出方程其中维矩阵维矩阵维矩阵从式（2.80）可以看出，输出变量只
9、与m+1个状态变量有关，通常情况下mn，所以输出矩阵C中有n-(m+1)个元素为零。例23 已知将其转换为状态空间表达式。解 设中间变量为Z(s)，则有由此写出状态空间表达式引入中间变量，画出结构图，根据结构图也可以写出状态空间表达式。例24 设系统的传递函数为(2.83)引入中间变量，得到(2.84)(2.85)根据（2.84）式可以画出系统的结构图，如图（2.36）所示。作图的过程是：先画出数目与传递函数阶次相同的积分环节，积分环节按串联连接。从最左端积分环节开始，每个积分环节的输出取作状态变量，式（2.84）的系数作为反馈回路的系数。根据结构图可以写出状态空间表达式图2.36 控制系统的结构图(2.86)(2.87)结构图中，前向通路、反馈通路的系数和状态空间表达式的A,B,C三个矩阵的元素间都有确定的对应关系。读者熟练后，可直接根据传递函数画出结构图，从而写出状态空间表达式。也可以根据状态空间表达式画出结构图，进而写出系统的传递函数。给定一个系统的传递函数，若存在一个状态空间表达式仍保持了原传递函数的输入输出关系，我们称此传递函数是可实现的。传递函数可以实现的充分必要条件：它必须是一个真有理函数，即传递函数分母的阶次n与分子阶次m必须满足。从一个传递函数出发，用不同的方法，可以建立无穷多个状态空间表达式。所以，传递函数的实现不是唯一的。
