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1、连续时间信号与系统的频域分析,本章安排 信号的正交分解和傅里叶级数 周期信号和非周期信号的频谱 傅里叶变换的性质 周期信号的傅里叶变换 LTI系统的频域分析和取样定理 离散傅里叶变换及其性质,数学上给定条件下的函数可展开为由某种基本函数形式所构成的一组多项式。 时域基本信号： 连续系统：冲激函数 离散系统：单位序列 频域基本信号？,傅立叶的两个最主要的贡献 傅里叶的第一个主要论点： “周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和” 傅里叶的第二个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”,4.1 信号分解为正交函数 正交矢量,一、正交函数集 如有定义在(t1,t2)区间的两个函数 ，
2、若满足 则称 在区间(t1,t2)内正交。 若有n个函数 构成一个函数集， 这些函数在区间(t1,t2)内满足 则称此函数集为在区间(t1,t2)的正交函数集。 在区间(t1,t2)内相互正交的n个函数构成正交信号空间,完备正交函数集 如果在正交函数集 之外，不存在函数 满足等式 则此函数集成为完备正交函数集。,证明三角函数集 在区间 组成正交函数集，并且是完备的正交函数集。,证明沃尔什（Walsh）函数集在区间（0，1）内是完备的正交函数集。用Wal(k,t)表示。k为编号,如果是复函数集，正交是指： 若复函数集 在区间（t1,t2）满足 则称此复函数集为正交函数集。 复函数集 在区间 内是
3、 完备正交函数集。 在区间,二、信号分解为正交函数 设有n个函数 在区间(t1,t2)构成一个正交函数空间，则 用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为： 如何选择 才能得到最佳近似。,多元函数就极值问题,当取有限项时， 帕斯瓦尔（Parseval）方程,4.2 傅里叶级数（周期信号） 若完备的正交集选择的是三角函数集或指数函数集，那么周期信号所展开的无穷级数就分别成为“三角型傅里叶级数”或“指数型傅里叶级数”，统称为傅里叶级数。 并非所有的周期信号均能进行傅里叶级数展开 ，只有当周期信号满足狄里赫利条件时，再能展开成傅里叶级数，通常遇到的周期信号都满足该条件。,一、周期信号的分解 设有周期
4、信号 ，它的周期是T，角频率 它可分解为： 成为傅里叶系数，积分区间 取,例4.2-1 将如图所示方波信号 展开为傅里叶级数。 解：根据,信号的傅里叶级数展开式为： 信号只含一、三、五、奇次谐波分量。,当只取基波时 当取基波和三次谐波时 当取一、三、五次谐波时,吉布斯现象,二、奇、偶函数的傅里叶级数 （1） 为偶函数,（2） 为奇函数,（3） 为奇谐函数,（4） 为偶谐函数,三、傅里叶级数的指数形式,例：周期锯齿波信号如图所示， 求该信号的指数形式傅里叶级数,4.3 周期信号的频谱 一、周期信号的频谱 如前所述、周期信号可以分解为一系列三角信号或复指数信号之和，即：,二、周期矩形脉冲的频谱 设
5、有一幅度为1，脉冲宽度为 的周期矩形脉冲，其周期为T，如图所示，可以求得其傅里叶系数。,周期矩形脉冲,如令 指数形式傅里叶级数展开为,周期矩形脉冲的频谱,三、周期信号的功率,4.4 非周期信号的频谱 一、傅里叶变换 当周期T趋近于无限大时，相邻谱线的间隔趋近于无穷小，从而信号的频谱密度集成为连续频谱。同时，各频率分量的幅度也都趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍保持一定的比例关系。为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。,周期信号 非周期信号 傅里叶级数 傅里叶变换 离散谱 连续谱,例1：如图所示为门函数（或矩形脉冲），用符号 表示，其宽度为 ，幅度为1 ，求其频谱函数。,冲激函数
6、 可以用矩形脉冲的极限表示,冲激信号由于在时域从t=0-到t=0+极短促的时间内幅度有着巨大的变化，因此高频分量非常丰富，使频谱密度均匀分布在整个频率域。这种具有常量特性的频谱称之为白色频谱。,直流信号:矩形脉冲当脉宽时,例2：求如图所示单边指数函数的频谱函数,例3：求如图所示双边指数函数的频谱函数,直流信号的频谱是位于=0的冲激函数,表明单位直流信号的频谱除了=0有个冲激以外其他频率成分均为零。这个结论对f(t)等于常数的信号都是正确的，不同的仅仅是冲激的强度。直流信号的傅立叶变换还可以通过矩形脉冲当脉宽的极限情况来求得。,例4：求如图所示信号的频谱函数,符号函数可以看作用来切换极性的开关函
7、数。它是由不同极性的阶跃信号（单边直流信号）组成。由于存在极性的跳变因而不仅具有丰富的低频分量，还有高频分量。在信号理论分析中该函数经常用到。,冲激函数导数的频谱,阶跃函数的频谱,+,单位阶跃信号的幅频特性在=0有个冲激，说明主要成分为直流。另外由于t=0有突跳，所以在0还存在其它频率成分，不过随着频率的增加而较快地衰减。相频特性当0，()= /2，当0,()= /2。单位阶跃信号的傅立叶也可以通过单边实指数衰减信号当a0取极限来求得。,矩形脉冲频谱,冲激函数频谱,直流信号频谱,单边指数频谱,符号函数频谱,阶跃信号频谱,常见傅里叶变换对,4.5 傅里叶变换的性质,线性 奇偶性 对称性 尺度变换
8、 时移特性,频移特性 卷积定理 时域微分和积分 频域微分和积分 相关定理,任一信号可以有两种描述方法： 时域的描述： 频域的描述,一、线性 若 则对任意常数 有 奇次性：信号增大a倍，其频谱函数也增大a倍。 可加性：几个信号之和的频谱函数等于各个信号的 频谱函数之和。 可以是实数也可以是复数。,例：求 的频谱函数,二、奇偶性 为偶函数 为奇函数,的傅里叶变换为：,三、对称性 若 则 推导：,例：求取样函数 的频谱函数 宽度为 ，幅度为1的门函数 的频谱函数为,例：求函数 和 的频谱函数,四、尺度变换 将某信号 沿时间轴压缩到原来的 ，就可表示为 。这里 是实常数。如果 是波形压缩；如果 ，则波
9、形展宽；如果 ，则波形反转并压缩或展宽。,五、时移特性（延时特性）,当信号既有时移又有尺度变换则有：,例：求 的傅里叶变换,例：若有5个波形相同的脉冲，相邻间隔为T，求其频谱。,六、频移特性 频移特性也称为调制特性。它可表述为 若 已知 求信号 的傅里叶变换,例：求 的频谱,七、卷积定理 时域卷积定理 频域卷积定理,时域卷积定理证明如下：,例：求三角脉冲的频谱函数,例：求斜升函数 和函数 的频谱函数,八、时域微分和积分,例：求三角形脉冲的频谱函数,例：求门函数 的积分的频谱函数,例：求如图所示信号的傅里叶变换,九、频域微分和积分 频域微分 频域积分,例：求斜升函数 的频谱函数,例：求函数 的频
10、谱函数,例：求 的值,十、相关定理,4.6 能量谱和功率谱 在频域中，除了频谱之外，还可以用能量谱和功率谱来描述信号的特征。特别是对于随机信号，往往用功率谱来描述它的频域特性。 能量谱：能量信号： 功率谱：功率信号：,一、能量谱 表征信号能量在频域中的分布状况 信号的能量谱与其自相关函数是一对傅里叶变换,二、功率谱 表征信号功率在频域中的分布情况 信号的功率谱与其自相关函数是一对傅里叶变换,例：求信号 的能量 解：,4.7 周期信号的傅里叶变换 周期信号 傅里叶级数 离散谱 非周期信号 傅里叶变换 连续谱,一、正余弦的傅里叶变换,二、一般周期信号的傅里叶变换 周期信号的傅里叶变换由冲激序列组成
11、，冲激函数仅存在于谐波频率处，其强度为各相应幅度的2倍。,例：求周期矩形脉冲的频谱函数,例：求周期性冲激函数序列的傅里叶系数,例：求如图所示周期信号的傅里叶变换,三、傅里叶系数和傅里叶变换 傅里叶系数 傅里叶变换,例：,4.8 LTI系统的频域分析 一、频率响应 在第二章线性非时变系统的时域分析中,我们已经指出线性非时变系统的零状态响应yf(t)是激励f(t)与冲击响应h(t)的卷积积分。即,频域分析示意图,由于 由于,例：某LTI系统的幅频响应 和相频响应 如图所示，若系统的激励为 求系统的响应。 解（1）用傅里叶级数法 信号 为周期信号，其基波角频率为,（2）用傅里叶变换法 取输入信号 的
12、傅里叶变换，得,例：描述某系统的微分方程为： 求输入 时系统的响应。 解：对方程两边取傅里叶变换，得： 由于,例：如图所示的RC电路，若激励电压源为单位阶跃函数，求电容电压的零状态响应。,例：如图所示系统，已知乘法器的输入 系统的频率响应为： 求输出 解：,信号失真 线性失真:它包括两方面。一是振幅失真:系统对信号中各频率分量的幅度产生不同程度的衰减（放大），使各频率分量之间的相对振幅关系发生了变化。二是相位失真：系统对信号中各频率分量产生的相移与频率不成正比，使各频率分量在时间轴上的相对位置发生了变化。这两种失真都不会使信号产生新的频率分量。 非线性失真:是由信号通过非线性系统产生的，特点是
13、信号通过系统后产生了新的频率分量。,二、无失真传输 所谓信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号信号相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化。,无失真传输系统的幅频特性和相频特性,三、理想低通滤波器的响应 具有如下图的幅频特性和相频特性的系统称为低通滤波器，它将低于某一角频率 的信号无失真低传送，而阻止角频率高于 的信号通过。,理想低通滤波器的幅频特性和相频特性,冲激响应,由图可见理想低通滤波器的冲激响应延迟了 秒,而且输出脉冲在其建立之前和建立之后都出现振荡现象,这种振荡一直延伸到 .实际上,当t0 时,输入信号尚未接入,对于现实的物理系统,当然不可能有输出.这里的结果是由于采用了实际上不可能实现的理想化传输特性所致。,阶跃响应 令：,x,1,O,y,O,积分下限为0； 2. 奇偶性：奇函数。 3 . 最大值出现在x= 最小值出现在x=-,(a) 冲激响应,(b) 阶跃响应,虽然理想低通滤波器是物理不可实现的，但传输特性接近于理想特性的电路却不难构成，如图是二阶低通滤波器，其中， 电路的频率响应函数为,佩利维纳准则： 物理可实现系统的条件： 时域的必要条件：h(t)=0
