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1、对角占优的奇异性研究本科生毕业论文(设计)题 目：对角占优矩阵的奇异性研究学生姓名： 徐胜男 学 号： 201310010120 专业班级： 数学与应用数学 指导教师： 周惊雷老师 完成时间： 4月22日 目录 0引言-2 1预备知识-2 2主要结果-3 2.1严格对角占优-3 2.2可约对角占优-5 2.3不可约对角占优-6 2.4对角占优-7 3参考文献-10 4致谢-11对角占优的奇异性研究数学与应用数学专业：徐胜男指导教师：周惊雷老师摘要：这篇文章研究的是对角占优矩阵的奇异性.从中得到了对角占优矩阵非奇异的一个简单判断法. 在此我还通过对对角占优的性质的研究，给出了此类矩阵的充分条件和
2、充分必要条件，与此同时还得到了它的LU分解式.根据Taussky定理，得出独立Frobenius块的奇异性可以决定可约对角占优矩阵的奇异性，进而将问题化为不可约对角占优矩阵的奇异性研究，最后得到不可约对角占优矩阵奇异的充要条件，并给出不可约对角占优矩阵奇异非奇异的判定方法.关键词：对角占优矩阵,矩阵的奇异性,Hadamard定理,Taussky定理 ,可约和不可约Abstract:Singularityofdiagonallydominantmatrixisstudiedinthispaper.Bysuchasimplejudgmentmethodofnon-singularmatrix.Th
3、ispaperalsostudiedthepropertiesofdiagonallydominant,suchasufficientconditionofthematrixisgivenandasufficientandnecessaryconditions,butalsogotLUdecompositiontype.ItisbasedonTausskytheorem,itisconcludedthatthesingularityoftheindependentFrobeniusblockdecisionaboutthesingularityofdiagonallydominantmatri
4、x,thustheproblemintoirreduciblediagonallydominantmatrixsingularityresearch,finallygetthesufficientandnecessaryconditionsfortheirreduciblediagonallydominantmatrixissingular,andirreduciblediagonallydominantmatrixisgivensingular-methodsforjudgingnonsingular.Keyword:Thesingularityofdiagonallydominantmat
5、rix,thematrix,theHadamardtheorem,Tausskytheorem,reducibleandirreducible.0引言矩阵的奇异性的判定是对角占优矩阵中的一个重要的问题，19世纪末，人们经过很长时间的探究，在行列式的性质和值的研究中，发现了“对角占优”这一性质，而这一性质对于矩阵的一些性质在数值计算、矩阵分解很重要，同时，对对角占优矩阵的奇异性的研究还能帮助我们研究对角占优矩阵的性质及其应用。因此，对对角占优矩阵奇异性的研究成为许多国内外学者的主要研究课题，对于对角占优矩阵奇异性的判断, 有Hadamard 定理 及 Taussky 定理 , 以及其它的一些结果
6、。1预备知识1.1对角占优矩阵的定义定义1.1.1 设，矩阵A称为对角占优的，是指对所有i=1,2，n成立。称A为严格对角占优的，是指对所有i=1,2,n成立。1.2不可约矩阵定义1.2.1 设n阶矩阵，当n=1时，若A的唯一元素不为0，则称A为不可约，否则称为可约；当时，把正整数1,2，,n的全体记为N,若存在一个非空集合K，它是N的真子集（即）使，则称A为可约矩阵，否则称为不可约矩阵。定义1.2.2 设n阶矩阵满足三个条件：A为对角占优矩阵；A为不可约矩阵；严格不等式至少对一个下标成立.则称A为不可约对角占优矩阵.1.3 矩阵LU分解定义1.3.1 假设A为一个n阶矩阵，它可以分解成一个上
7、三角矩阵L与下三角矩阵的乘积，则称其为三角分解或LU分解。1.4可约对角占优的Frobenius标准型定义1.4.1 A是方阵，则存在置换矩阵P，使得 （2.3）分块矩阵（2.3）称为A的Frobenius标准型，其中对角块A为不可约方阵，称为A的Frobenius块。A的Frobenius标准型有以下特点： （2.4）因此，称为A的独立Frobenius块，为A的非独立Frobenius块。 2主要结果2.1严格对角占优矩阵定理1：（Hadamard 定理）矩阵A是nn矩阵，若A为严格对角占优矩阵，则A为非奇异性。法一：证明：用反证法。若存在非零向量满足则存在正整数kn，使得且由此得这与A严
8、格对角占优的定义矛盾，则A为非奇异性。例1：请判断矩阵的奇异性？解：易知矩阵对所有i=2,3成立 则矩阵为严格对角占优矩阵,由定理一可知矩阵是非奇异的。法二：证明：（反证法）假设，则存在线性方程组AX=0有非零解。设中最大的一个是，则 0由假设 我们得到与为严格对角占优矩阵的定义矛盾，则即矩阵可逆，即是非奇异的。定理2：若n阶方阵A为严格对角占优矩阵，则它的行列式不为0，即，则称A为非奇异矩阵或满秩矩阵，否则称A为奇异矩阵或降秩矩阵。证明：由上述法二证明。定理3：设的所有对角元非零，且A是对角占优的，又除了i=1,2，n的一个值以外，对所有其它的值有，则A是可逆的。证明：假设条件是说，对某个值
9、k,有且对所有ik，则对所有ik设且于是，对任意有且对所有ik, 但是，因为对所有ik成立所以选择充分的，使得对所有ik成立因此，点z=0在之外，因而必定是可逆矩阵。2.2可约对角占优定理1：对角占优矩阵A的非独立Frobenius块是非奇异的。A是奇异的当且仅当A的独立Frobenius块中至少有一个是奇异的。证明：假设（2.3）是矩阵的Frobenius标准型，是的非独立Frobenius块。是对角占优的，因此，是对角占优的。是的非独立Frobenius块，根据（2.4）因此，即便是在中的对应行均为非严格对角占优行，也必定存在严格对角占优行。Frobenius块是不可约的，根据Taussk
10、y定理，是非奇异的。所有的非独立Frobenius块是非奇异的，那么，他们所对应的的行线性无关，A的奇异-非奇异性由独立的Frobenius块的奇异-非奇异性决定。是奇异的当且仅当A的独立Frobenius块中至少有一个是奇异的。2.3不可约对角占优矩阵定理1：A为一个nn的矩阵，若矩阵A不可约按行（或列）对角占优矩阵，则A非奇异。证明：仅考虑结论对不可约按行对角占优矩阵成立。 设矩阵A为不可约按行对角占优矩阵 如果A奇异，则存在非零向量x,使得Ax=0，记，显然且I非空，则 （1）如果则 与对角占优矛盾。如果令，则J非空且 由对角占优性及（1）可知： 即 当即时，故上式立即得到，因此 与矩阵
11、A不可约矛盾。证毕。2.4对角占优引理1：假设A为对角占优矩阵，那么A的分块形式如下： 为K阶方阵 那么有 证明：易知我们只需证明其中一个包含关系成立即可。 下面证明 令，其中为列向量， 那么我们只要证明可以由线性表示 即可。 在中，若，那么若，那么在中的第一 个元为零。 若那么的一，二个元为零；否则， 中的第一，二元为零，其中： 一直进行下去，可将列向量全部变为零向量。 由此我们可以知道，存在数使得，这意味着 可由线性表出。显而易见，对一个对角占优矩阵来说，它的置换与上述形式相似的话，也有以上的结果。引理2：设，那么矩阵其中，说明的奇异性相同。那么A为对角占优矩阵时，也是对角占优矩阵；对于A中的严格对角占优行，中都有相应的行严格对角占优。引理3：设非空，假设，使得
