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1、 第4讲 圆锥曲线的综合问题知识梳理1.直线与圆锥曲线C的位置关系将直线的方程代入曲线C的方程，消去y或者消去x，得到一个关于x（或y）的方程（1）交点个数当 a=0或a0，=0 时,曲线和直线只有一个交点;当 a0,0时,曲线和直线有两个交点; 当0）曲线上两点的中点在对称直线上3.求动点轨迹方程轨迹类型已确定的，一般用待定系数法动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的，一般用直接法一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转移法重难点突破重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法； 理解和掌握求曲线方程的方法与步骤，能利用方程求圆锥曲线的有关范围与
2、最值难点：轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题重难点：综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题1.体会“设而不求”在解题中的简化运算功能求弦长时用韦达定理设而不求弦中点问题用“点差法”设而不求2.体会数学思想方法（以方程思想、转化思想、数形结合思想为主）在解题中运用问题1：已知点为椭圆的左焦点，点，动点在椭圆上，则的最小值为 点拨：设为椭圆的右焦点，利用定义将转化为，在结合图形，用平面几何的知识解决。，当共线时最小，最小值为热点考点题型探析考点1 直线与圆锥曲线的位置关系题型1：交点个数问题例1 设抛物线的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线与抛物线有公共点，则直线l的斜
3、率的取值范围是（）AB2，2C1，1D4，4【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法解析 易知抛物线的准线与x轴的交点为Q (-2 , 0)，于是，可设过点Q (-2 , 0)的直线的方程为，联立其判别式为，可解得 ，应选C.【名师指引】（1）解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法：一是判别式法；二是几何法（2）直线与圆锥曲线有唯一交点，不等价于直线与圆锥曲线相切，还有一种情况是平行于对称轴（抛物线）或平行于渐近线（双曲线）（3）联立方程组、消元后得到一元二次方程，不但要对进行讨论，还要对二次项系数是否为0进行讨论【新题导练】1已知圆与抛物线的准线相切，则的值等于（ ）A B
4、C D2.已知将圆上的每一点的纵坐标压缩到原来的,对应的横坐标不变,得到曲线C；设，平行于OM的直线在y轴上的截距为m(m0),直线与曲线C交于A、B两个不同点.(1)求曲线的方程；(2)求m的取值范围.3. 求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点.答案：1.解析D；抛物线的准线为，将圆化为标准方程，圆心到直线的距离为2解析（1）设圆上的动点为压缩后对应的点为，则，代入圆的方程得曲线C的方程：（2）直线平行于OM，且在y轴上的截距为m,又,直线的方程为. 由 , 得 直线与椭圆交于A、B两个不同点， 解得.m的取值范围是. 3解析 当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，所以即轴，它正
5、好与抛物线相切.当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行轴，它正好与抛物线只有一个交点.一般地，设所求的过点的直线为,则，令解得,所求直线为综上，满足条件的直线为： 题型2：与弦中点有关的问题例2已知点A、B的坐标分别是，.直线相交于点，且它们的斜率之积为2.()求动点M的轨迹方程;()若过点的直线交动点M的轨迹于C、D两点, 且N为线段CD的中点，求直线的方程.【解题思路】弦中点问题用“点差法”或联立方程组，利用韦达定理求解解析 ()设，因为,所以化简得:() 设 当直线x轴时,直线的方程为,则,其中点不是N,不合题意设直线的方程为 将代入得(1) (2) (1)-(2)整理得: 直线的方
6、程为即所求直线的方程为解法二: 当直线x轴时,直线的方程为,则,其中点不是N,不合题意.故设直线的方程为,将其代入化简得由韦达定理得,又由已知N为线段CD的中点,得,解得,将代入(1)式中可知满足条件.此时直线的方程为,即所求直线的方程为【名师指引】通过将C、D的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减这里，代点相减后，适当变形，出现弦PQ的斜率和中点坐标，是实现设而不求（即点差法）的关键两种解法都要用到“设而不求”，它对简化运算的作用明显，用“点差法”解决弦中点问题更简洁【新题导练】1.椭圆的弦被点所平分，求此弦所在直线的方程2.已知直线y=x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB
7、的中点在直线L：x2y=0上，求此椭圆的离心率答案：1.解析设弦所在直线与椭圆交于两点，则，两式相减得：，化简得，把代入得故所求的直线方程为，即2.解析设，AB的中点为,代入椭圆方程得，,两式相减,得. AB的中点为在直线上，而题型3：与弦长有关的问题 例3已知直线被抛物线截得的弦长为，为坐标原点（1）求实数的值；（2）问点位于抛物线弧上何处时，面积最大？【解题思路】用“韦达定理”求弦长；考虑面积的最大值取得的条件 解析（1）将代入得， 由可知， 另一方面，弦长AB，解得； （2）当时，直线为，要使得内接ABC面积最大，则只须使得，即，即位于（4，4）点处 【名师指引】用“韦达定理”不要忘记用
8、判别式确定范围【新题导练】1. 已知椭圆与直线相交于两点（1）当椭圆的半焦距，且成等差数列时，求椭圆的方程；（2）在（1）的条件下，求弦的长度；2.已知点和，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线交于D、E两点，求线段DE的长答案：1.解析（1）由已知得：，所以椭圆方程为：（2），由，得2.解：根据双曲线的定义，可知C的轨迹方程为联立得设，则所以故线段DE的长为考点2：对称问题题型：对称的几何性质及对称问题的求法（以点的对称为主线，轨迹法为基本方法） 例4 若直线过圆的圆心M交椭圆=1于A、B两点，若A、B关于点M对称，求直线L的方程解析 ，设，则又，两式相减得：，化简得，
9、把代入得故所求的直线方程为，即所以直线l的方程为 ：8x-9y+25=0.【名师指引】要抓住对称包含的三个条件：(1)中点在对称轴上(2)两个对称点的连线与轴垂直(3)两点连线与曲线有两个交点(),通过该不等式求范围【新题导练】1. 已知抛物线上有一内接正AOB，O为坐标原点.求证：点A、B关于x轴对称； 2在抛物线上恒有两点关于直线对称，求k的取值范围.3.若抛物线，总存在不同的两点A、B关于直线y+x=0对称，求实数a的范围.答案：1.解析设，即，故点A、B关于x轴对称2.解析 （1）当时，曲线上不存在关于直线对称的两点（2）当时，设抛物线上关于直线对称的两点，AB的中点为，则直线直线的斜
10、率为直线 ，可设 代入得 ，在直线上，代入得即 又恒成立，所以综合（1）（2），k的取值范围是3分析：若存在A、B关于直线y+x=0对称，A、B必在与直线y+x=0垂直的直线系中某一条与抛物线相交的直线上，并且A、B的中点M恒在直线y+x=0上.解：如图所示，设与直线y+x=0垂直的直线系方程为y=x+b由 得 令 0 即 整理得 在的条件下，由可以得到直线y=x+b、抛物线的交点A、B的中点M的坐标为（,）,要使A、B关于直线y+x=0对称，则中点M应该在直线y+x=0上，所以有+（）=0 即代入解不等式得 因此，当时，抛物线上总存在不同的两点A、B关于直线y+x=0对称.考点3 圆锥曲线中
11、的范围、最值问题题型：求某些变量的范围或最值 例5已知椭圆与直线相交于两点当椭圆的离心率满足，且（为坐标原点）时，求椭圆长轴长的取值范围【解题思路】通过“韦达定理”沟通a与e的关系 解析由，得由，得此时由，得，即，故由，得由得，所以椭圆长轴长的取值范围为【名师指引】求范围和最值的方法：几何方法：充分利用图形的几何特征及意义，考虑几何性质解决问题代数方法：建立目标函数，再求目标函数的最值【新题导练】1. 已知P是椭圆C：的动点，点关于原点O的对称点是B，若|PB|的最小值为，求点P的横坐标的取值范围。2已知椭圆，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：（1）求的最小值；（
12、2） 求|PA|+|PB|的最小值和最大值答案：1.解析由，设，解得或又或2解析（1）最小值为（2）最大值为10+|BC|=；最小值为10-|BC|=考点4 定点，定值的问题题型：论证曲线过定点及图形（点）在变化过程中存在不变量例6 已知P、Q是椭圆C：上的两个动点，是椭圆上一定点，是其左焦点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。 求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；【解题思路】利用“|PF|、|MF|、|QF|成等差数列”找出两动点间的坐标关系证明：设知同理当，从而有设线段PQ的中点为，得线段PQ的中垂线方程为当线段PQ的中垂线是轴，也过点【名师指引】定点与定值问题的处理一般有两
13、种方法：（1）从特殊入手，求出定点和定值，再证明这个点（值）与变量无关;（2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点（定值）【新题导练】1.已知抛物线C的方程为，则抛物线C恒过定点_ 2 试证明双曲线=1（a0，b0）上任意一点到它的两条渐近线的距离之积为常数.3.设抛物线y2=2px (p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，C在抛物线上，且BC/x轴。证明直线AC经过原点O。 答案：1.解析(-1,0) 令x=-1得y=02.解析 双曲线上任意一点为，它到两渐近线的距离之积3.解析：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由BC/x轴，且点C在准线x=上，所以点C的坐标为(,y2)。要证直线AC经过原点O，只需证明kOC=kOA，kOA=，kOC=,下面的问题是如何将两者联系起来
