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1、,第八章 第六节,偏导数的几何应用,应用一元函数导数的几何意义，可以求出平面曲,线的切线和法线方程。,应用多元函数偏导数的几何意义，同样可以求解,一些几何问题。,本节的主要内容,一、空间曲线的切线和法平面方程,二、空间曲面的切平面和法线方程,1、切线与法平面的概念,切线：在空间曲线上点M0处割线的极限位置上的,直线，称为曲线在该点的切线。,法平面：通过点M0且与该,点切线垂直的平面。,.,一、空间曲线的切线和法平面方程,2、切线和法平面的方程,（1）空间曲线由参数方程给出的情形,割线的方程为,切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.,法平面：过M点且与切线垂直的平面.,解,切线方程,法平面方程
2、,解,切线方程,法平面方程,情形1.空间曲线方程为：,法平面方程,特殊地曲线方程为：,切线方程,情形2.空间曲线方程为：,看成是两柱面的交线,可看成是参数方程,情形3.空间曲线方程为,视x为自变量，方程组确定的隐函数为y=y(x),z=z(x),两边对x求导,所求切线方程为,法平面方程为,解：,情形1.直线：,几种特殊曲线的切线,情形2.平面曲线方程为：,情形3.平面曲线方程为：,设曲面方程为,曲线在M处的切向量,在曲面上任取一条通过点M的曲线,二、空间曲面的切平面和法线方程,令,则,切平面方程为,法线方程为,曲面在M处的法向量即,垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.,特殊地：如果空间曲面方程形为,曲面在M处的切平面方程,曲面在M处的法线方程,令,8.6.3 全微分的几何意义,空间曲面方程形为二元函数：,曲面在M 处的切平面方程,切平面上点的竖坐标的改变量,因为曲面在M处的切平面方程为,全微分的几何意义：,解,切平面方程为,法线方程为,解,令,切平面方程,法线方程,解,设 为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面，得,因为 是曲面上的切点，,所求切点为,满足方程,切平面方程(1),切平面方程(2),空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线,小 结,思考题,思考题解答,设切点,依题意知平面法向量为,切点满足曲面和平面方程,练 习 题,练习题答案,
