西安科技大学自动控制原理教学同步教程-第二章

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1、第二章 控制系统的数学模型,2.1控制系统时域数学模型 2.2拉普拉斯变换和传递函数 2.3控制系统的结构图与信号流图 2.4 MATLAB在系统建模中的应用,主要内容,控制系统的微分方程-建立和求解 控制系统的传递函数 控制系统的结构图-等效变换 控制系统的信号流图-梅逊公式 脉冲响应函数 各种数学模型的相互转换,重 点 与 难 点,重 点,1.传递函数的定义和性质 2.典型环节的传递函数 3.控制系统的结构图及化简 4.自动控制系统的传递函数,难 点,如何由实际的物理系统建立系统的数学模型 系统结构图的等效变换,2.1控制系统时域数学模型,2.1.1 线性系统的微分方程,列写方法： （1）

2、确定元件的输入、输出变量。 （2）从输入端开始，根据物理、化学基本定律写出原始方程式。 （3）消去中间变量，写出只含输入、输出变量的微分方程。 （4）标准化将与输入有关的各项放在等号的右边,与输出有关的各项放在等号的左边，各阶导数按降幂排列。,例2-1试列写图2-1所示电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压（V）为输入量，电动机转速为输出量。图中、分别是电枢电路的电阻和电感，是折合到电动机轴上的总负载转矩。激磁磁通为常值。,图2-1 电枢控制直流电动机原理图,解： 1. 电枢回路电压平衡方程：,2电磁转矩方程：,3电动机轴上的转矩平衡方程：,（2-1）,（2-2）,（2-3）,由式（2-

3、1）、式（2-2）和式（2-3）中消去中间变量、及便可得到以为输出量，以为输入量的直流电动机微分方程为：,在工程应用中，由于电枢电路电感较小，通常忽略不计，因而式（2-4）可简化为:,式中 是电动机机电时间常（s）， , 是电动机传递系数。,例2.2 速度控制系统,1、运放：,2、运放：,3、功放：,4、电机：,5、测速机：,最后合并上述方程有：,令,可见： 既与 有关又与 有关。 当 为变化量，系统实现转速跟踪时，为速度 随动系统， 一般不变：,则有,当两方程的系统相同时，从动态性能的角度看，两系统是相同的。这就有可能利用电气来模拟机械系统进行实验研究，而对系统理论来说，就有可能撇开系统的物

4、理属性进行普遍意义的分析研究。,2.1.2 非线性特性的线性化,在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该系统 为线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线性叠加原理，即系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到。,若描述系统的数学模型是非线性（微分）方程，则相应的系统称为非线性系统，这种系统不能用线性叠加原理。在经典控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程应用中，除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大的情况，一般采用近似的线性化方法。对于非线性方程，可在工作点附近用泰勒级数展开，取前面的线性项。可以得到等效的线性环节。

5、,设具有连续变化的非线性函数为:y=f（x)，若取某一平衡状态为工作点，如右图中的 。A点附近有点为 ，当 很小时，AB段可近似看做线性的。,设f(x)在 点连续可微， 则将函数在该点展开为泰勒级 数，得：,若 很小，则 ，即 式中，K为与工作点有关的常数，显然，上式是线性方程， 是非线性方程的线性近似。为了保证近似的精度，只能在工作点附近展开。,对于具有两个自变量的非线性方程，也可以在静态工作点附近展开。设双变量非线性方程为： ，工作点为 。则可近似为： 式中： ， 。 为与工作点有关的常数。,注意：上述非线性环节不是指典型的非线性特性（如间隙、库仑干摩擦、饱和特性等），它是可以用泰勒级数展

6、开的。 实际的工作情况在工作点附近。 变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作点附近的非线性情况及变量变化范围有关。,2.2拉普拉斯变换和传递函数,2.2.1拉普拉斯变换与反变换,若令 是复数，上式就是拉普拉斯变换，简称拉氏变换，记为,式中，称 为原函数；称 为象函数。拉氏变换就是由原函数求象函数的过程。,定义：,当已知象函数,，可用,求出与,唯一对应的原函数,称上式为拉普拉斯反变换，简称拉氏反变换。,定义：,，,2.2.2传递函数的定义与性质,传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之一。利用传递函数，在系统的分析和综合中可解决如下问题：,不必求解微分方程就可以研究初始条件为零的系统在输入

7、信号作用下的动态过程。,可以研究系统参数变化或结构变化对系统动态过程的影响，因而使分析系统的问题大为简化。,可以把对系统性能的要求转化为对系统传递函数的要求，使综合问题易于实现。,系统或环节的微分方程为： 式中：x（t）输入，y（t） 输出 为常系数,一、传递函数的基本概念,将上式求拉氏变化，得(令初始值为零）,称为系统或环节的传递函数，即：环节的传递函数是它的微分方程在零初始条件下输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换之比。也可写成：Y(s)=G(s) X(s)。通过拉氏反变换可求出时域表达式y(t)。,总结: 传递函数是由线性微分方程（线性系统）当初始值为零时进行拉氏变化得到的。,已知传递函数G

8、(s)和输入函数X(s)，可得出输出Y(s)。通过反变换可求出时域表达式y(t)。,可以由环节的微分方程直接得出传递函数，只要将各阶导 数用各阶s代替即可。即：,传递函数的概念适用于线性定常系统，它与线性常系数微分方程一一对应。且与系统的动态特性一一对应。 传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数。而研究某传递函数所得结论可适用于具有这种传递函数的各种系统。 传递函数仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无关。只反映了输入和输出之间的关系，不反映中间变量的关系。 传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。若系统有多个输入信号，在

9、求传递函数时，除了一个有关的输入外，其它的输入量一概视为零。 传递函数忽略了初始条件的影响。 传递函数传递函数是s的有理分式，对于大多数实际系统，分母的阶次n大于分子的阶次m，此时称为n阶系统。,关于传递函数的几点说明,传递函数的几种表现形式：,表示成零点、极点形式：,写成时间常数形式：,若再考虑有n个零值点， 则传递函数的通式可以写成：,从上式可以看出：传递函数是一些基本因子的乘积。这些基本因子就是典型环节所对应的传递函数，是一些最简单、最基本的一些形式。,式中：,或：,传递函数具有以下性质： 1.传递函数是复变量的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质。其中，且所有系数均为实数。 2.传递

10、函数是系统或元件数学模型的另一种形式，是一种用系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式。它只取决于系统或元件的结构和参数，而与输入量的形式无关，也与系统的初始条件无关。 3.传递函数与微分方程有相通性。只要把系统或元件微分方程中各阶导数用相应阶次的变量代替，就很容易求得系统或元件的传递函数。 4.传递函数的拉氏反变换是脉冲响应。,2.2.3 典型环节及其传递函数,2、传函：G(s)=K. 既无零点也无极点。,（一）比例环节：,3、响应：若r(t)=1(t)，则c(t)=K 1(t)。 输出与输入成比例，不失真也不延时，如无弹性 变形的杠杆、放大器、分压器、齿轮、减速器等。,1.微分方程：,2

11、.传递函数：,只有一个零值极点。,（二）积分环节：,3.阶跃响应：,象积分器：,1微方：,3响应：,（三）惯性环节：,如RC网络、LR回路。,（四）微分环节：,脉冲函数,因此,运放组成的微分器：,实际系统中，微分环节常带 有惯性，如右图的RC网络：,（五）一阶微分环节：,1微方：,同样实际中常带有惯 性，如右图的RC网络：,令,（六）振荡环节：,1微方：,2传函：,有两个极点：,一对共轭复数根。,3处理方法：,2传函：,如皮带传输机、晶闸管整流装置等。,1微方：,即将延迟环节近似为惯性环节。,2.3控制系统的结构图与信号流图,2.3.1控制的基本构成,2组成：4个基本单元。,信号线：带箭头的直

12、线，表示信号传递的方向， 线上标注信号所对应的变量，信号传递 具有单向性。,比较点：表示两个或两个以上信号在该点相加减， 运算符号必须表明，一般正号可省略。,方框：表示输入、输出信号之间的动态传递 关系，方框的输出信号等于方框的输 入信号与方框中G(s)的乘积。,2.3.2 结构图的等效变换与化简,1.环节的串联,环节的串联是很常见的一种结构形式，其特点是， 前一个环节的输出信号为后一个环节的输入信号， 如下图所示。,2.环节的并联,环节并联的特点是，各环节的输入信号相同，输出信号相加（或相减），如图所示。,3.环节的反馈连接,若传递函数分别为和的两个环节如图(a)形式连接，则称为反馈连接。“

13、+”号为正反馈，表示输入信号与反馈信号相加，“-”号则表示相减，为负反馈。构成反馈连接后，信号的传递形成了封闭的路线，形成了闭环控制。按照控制信号的传递方向，可将闭环回路分成两个通道，前向通道和反馈通道。前向通道传递正向控制信号，通道中的传递函数称为前向通道传递函数，如图(a)中 的。反馈通道是把输出信号反馈到输入端，它的传递函数称为反馈通道传递函数，如图 (a)中 的。当时，称为单位反馈。,4.比较点和引出点的移动,在系统结构图简化过程中，有时为了便于进行方框的串联、并联或反馈连接的运算，需要移动比较点或引出点的位置。这时应注意在移动前后必须保持信号的等效性，而且比较点和引出点之间一般不宜交

14、换位置。 表2-1列出了结构图简化（等效变换）的基本规则。利用这些规则可以将比较复杂的系统结构图进行简化。,表2-1 结构图简化（等效变换）的基本规则,下面举例说明结构图的等效变换和简化过程。 例2-11 试求图2-16所示多回路系统的闭环传递函数。,图2-16 例2-11系统的结构图 解：按照图2-17所示的步骤，根据环节串联、 并联和反馈连接的规则简化。可以求得,图2-17 例2-11结构图的化简,2.3.3 系统传递函数,1.系统开环传递函数,系统的开环传递函数，是用根轨迹法和频率法分析系统的主要数学模型。在图2-21中，将反馈环节的输出端断开，则前向通道传递函数与反馈通道传递函数的乘积

15、 称为系统的开环传递函数。相当于 。,作用下的系统闭环传递函数,图2-20 闭环控制系统的典型结构图,3. 作用下的系统闭环传递函数,令 ，图2-20简化为图2-21，输出 对输入 的传递函数为 称为作用下的系统闭环传递函数。,图2-21 作用下的系统结构图,为了研究扰动对系统的影响，需要求输出 对 的传递函数。令 ，图2-20转化为图2-22由图可得 称 为 作用下的系统闭环传递函数。,图2-22 作用下的系统结构图,4.系统的总输出,当给定输入和扰动输入同时作用于系统时，根据线性叠加原理，线性系统的总输出应为各输入信号引起的输出之总和。因此有,5.闭环系统的误差传递函数,误差大小直接反映了系统的控制精度。在此定义误差为给定信号与反馈信号之差，即,作用下闭环系统的给定误差传递函数 令 ，则可由图2-20转化得到的图2-23（a）求得,作用下闭环系统的扰动误差传递函数,取 ，则可由图2-23（b）求得,图2-23 、 作用下误差输出的结构图,(a),(b),系统的总误差 根据叠加原理，系统的总误差为 对比上面导出的四个传递函数 、 、 和 的表达式，可以看出，表达式虽然各不相同