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1、1,奥赛典型例题,分析(静力学),2,静 力 学,1.如图1所示，长为2m的匀质杆AB的A端用细线AD拉住，固定于墙上D处，杆的B端搁于光滑墙壁上，DB1m，若杆能平衡，试求细线AD的长度.,3,例1 解：,以杆为研究对象，作出其受力图（如图）.,由于杆处于平衡状态，所以它所受的三个力的作用线必相交于AD线上的同一点O.,由几何关系得,4,2.如图2所示，放在水平地面上的两个圆柱体相互接触，大、小圆柱的半径分别为R和r，大圆柱体上缠有绳子，现通过绳子对大圆柱体施加一水平力F，设各接触处的静摩擦因数都是，为使大圆柱体能翻过小圆柱体，问应满足什么条件？,5,例2 解：,系统的受力情况如图所示.,(
2、1)由于小圆柱既不滑动，也不滚动，而大圆柱在小圆柱上作无滑滚动，故B、C两处都必定有静摩擦力作用.,(2)大圆柱刚离开地面时，它受三个力作用：拉力F，重力G1，小圆柱对它的作用力R1.由于这三个力平衡，所以它们的作用线必相交于一点,这点就是A点.角不大于最大摩擦角,(3)由于小圆柱受力平衡，所以它所受的三个力作用：重力G2，大圆柱对它的作用力R1，地面对它的作用力R2必组成一个闭合三角形.,即有,6,如图2所示，同样应该有,所以由上面三式得,由图2 知,由图1得,所以,于是,7,3.如图3所示，三个完全一样的小球，重量均为G，半径为 R10cm，匀质木板AB长为l=100cm，重量为2G，板端
3、A用光滑铰链固定在墙壁上，板B端用水平细线BC拉住，设各接触处均无摩擦，试求水平细线中的张力.,8,例3 解：,由平衡条件得,对O2轴：,由以上三式可解得,9,AB板受力情况如图3所示，,10,对A轴有,可解得,11,4.如图4所示，一长为L的轻梯靠在墙上，梯与竖直墙壁的夹角为，梯与地面，梯与墙壁之间的摩擦系数都是，一重为G的人沿梯而上，问这人离梯下端的距离d最大是多少时梯仍能保持平衡？,12,例4 解：,临界平衡时，在BCD和ACD中利用正弦定理可得,13,即,又,由以上三式可解得,14,15,例5 解：,因为W0的作用点O1是AB的中点，故必有 ，而A端不滑动的条件是,即,(2)杆平衡时，
4、再在AB间挂上重物W，静摩擦角 必发生变化，若W挂在O1点与B点之间，W+W0的作用点在O1点的右侧，此时 角减少，平衡不会受破坏.,16,当WW0时，W+W0W，这时W+W0的作用点P可以认为就是W的作用点 .要使杆仍能保持平衡，必须满足,由图2可见,由以上两式可解得,17,6. 半径为r，质量为m 的三个相同的球放在水平桌面上，两两相互接触，用一个高为1.5r 的圆柱形圆筒（上下均无底）将此三个球套在筒内，圆筒的半径取适当的值，使得各球间以及球与圆筒壁之间均保持无形变接触. 现取一质量也为m、半径为R的第四个球，放在三球的上方正中，设第四个球的表面、圆筒的内壁表面均由相同的材料构成，其相互
5、之间的最大静摩擦因数为 ，问R取何值时，用手轻轻竖直向上提起圆筒即能将四个球也一起提起来？,18,例6 解：,由图1可见，,图2为球1的受力图.,当竖直向上提起圆筒时，能把4个球一起提起，下面两式应得到满足,否则上、下球之间及球与筒壁之间会发生相对滑动.,以球1为研究对象，取O1为轴，由力矩平衡条件易得,19,以图2中的A为轴，可得,由此式易知，N1 N2 ,所以只要(2)式得到满足，(1)式就自然得到满足.,又以图2中的B为轴，可得,再以4个球为整体作为研究对象，有,20,由(3)、(5)、(6)式可得,再结合(2)式可得,两边平方，整理后可得,21,由此可解得,（另一解 舍去）,设 Rnr
6、 ,由图2的几何关系可得,所以,22,故,又为使第4个球不至于从下面三个球中间掉下，因此须,结合上面两式可知第4个球的半径必须满足下式,23,7. 如图6所示，边长为a的均匀立方体对称地放在一个半径为r的半圆柱面顶部，假设静摩擦力足够大，足以阻止立方体下滑，试证明这立方体稳定平衡的条件是:,24,例7 解：,方法1（回复力矩法）,如图1所示，当立方体偏离一个很小的角度时，它沿圆柱体无滑滚动地使接触点从B移到D，如图可见,故,显然，当重心C在过D点的竖直线的左方时，重力矩会使立方体恢复到原来位置.此时应有,(对顶角相等),所以,25,所以,于是据(1)式可得,26,方法2（能量法）,如图2所示，
7、C是立方体的重心，立方体在圆柱体上偏离了一个很小的角度.,由图2易得,原来重心C（离圆柱体顶点）的高度为a/2,偏离后重心C 的高度为h：,因为,故,即,27,于是,那么,要使立方体处于稳定平衡，必须满足后来的势能大于原来的势能，即,即,由此得,28,8. 如图7所示，质量一样的两个小木块由一根不可伸长的轻绳相连放在倾角为的斜面上，两木块与斜面之间的静摩擦系数分别为1和2，且12 , tan ，求绳子与斜面上最大倾斜线AB之间的夹角应满足什么条件，两木块才能在斜面保持静止？,29,例8 解：,则表明木块1可以单独在斜面上保持静止，而木块2不能单独在斜面上保持静止.现两木块用轻绳连接，当木块1在
8、高处且绳子平行AB时，因最大静摩擦力,这表明系统能在斜面保持静止 . 当绳子与AB线的夹角为且系统能静止，为使最大，应有木块1所受静摩擦力不大于其最大静摩擦力.设此时绳子的拉力为T，木块1、木块2的受力情况如图2所示.,30,由于木块2处于平衡，所以它所受的三个力组成一个闭合三角形.故,要使T有实数解，应有,因为,由以上两式可解得,31,方程(1)的解为,（本来方程有两个解，但结合木块1的力三角形及f11Gcos,可知只能取根号前是负号的这一个解）,由于tan2,所以G sin2Gcos,由图3易知，当T2Gcos时，取最大值.,此时,32,由图3易得木块1所受的静摩擦力为,为了木块1能静止，
9、f1必须满足,由以上三式可得,这表明当 时， 的最大值可取,33,但当 时， 的最大值不能取上述值. 即此时T与 不垂直，为使此时 取最大值，木块1和木块2均应受最大静摩擦力.,对木块1，由平衡条件得（注意：此时图3中的f1取最大静摩擦力， 取最大值 m）,对木块2，由平衡条件得,由这两式可解得,34,综上所述得,当 时， 的最大值为,当 时， 的最大值为,( 或 ),35,9. 长方形风筝如图8所示，其宽度a40cm,长度b40cm,质量M200g（其中包括以细绳吊挂的纸球“尾巴”的质量M20g，纸球可当作质点），AO、BO、CO为三根绑绳，AO=BO，C为底边的中点，绑绳以及放风筝的牵绳均
10、不可伸缩，质量不计，放风筝时，设地面的风速为零，牵绳保持水平拉紧状态，且放风筝者以速度v持牵绳奔跑，风筝单位面积可受空气作用力垂直于风筝表面，量值为pkvsin，k=8Ns/m3,为风筝平面与水平面的夹角，风筝表面为光滑平面，各处所受空气作用力近似认为相等，取g= 10m/s2，放飞场地为足够大的水平地面，试求：,(1)放风筝者至少应以多大的速度持牵绳奔跑，风筝才能作水平飞行？这时风筝面与水平面的夹角应为何值？假设通过调整绑绳长度可使风筝面与水平面成任意角度 . (2)若放风筝者持牵绳奔跑速度为v=3m/s，调整绑绳CO的长度等于b，为使风筝能水平稳定飞行，AO与BO的长度应等于多少？,36,
11、例9 解：,其竖直分量Fy应与风筝重力平衡,即,当45时， 有极大值1/2，此时v0取极小值v0min.,37,(2),所以,故,于是,因为风筝在水平方向受力平衡，所以风筝所受总的水平拉力为,38,分别代入,得,自O点至AB的中点D，连接一紧绳OD，替代AO和BO，如图3所示.,则牵绳拉力T和纸球重力对风筝纸面中心 产生的力矩平衡：,分别代入 值可得,39,所以，O与C的竖直高度差为,由图3可见,分别代入、r、b值可得,因为COD是等腰三角形，所以,40,代入b、值得,又由 可得,或,41,10. 有一半径为R的圆柱体A，静止在水平地面上，并与竖直墙壁相接触，现有另一质量与A相同、半径为r的较
12、细圆柱体B，用手扶着圆柱A，将B放在A的上面，并使之与竖直墙壁接触，如图10所示，然后放手.已知圆柱A与地面的摩擦系数为0.20，两圆柱之间的静摩擦系数为0.30，若放手后两圆柱能保持图示的平衡，问圆柱B与墙壁的静摩擦系数和圆柱B的半径r的值各应满足什么条件？,42,例10 解：,圆柱体A、B的受力情况如图2所示.,据平衡条件可列出如下平衡方程：,对圆柱体A有：,（对O1轴）,对圆柱体B有：,（对O2轴）,43,式(7)、(8)、(9)、(10)、(11)是平衡时所需要的力.N1、N2、N3没有问题，但F1、F2、F3却不一定能达到要求，因为要受到该处摩擦系数的制约.这三个力只要有一个达不到所要求的值，该处就要发生滑动而不能平衡.,44,首先讨论圆柱体B与墙壁的接触点，不发生滑动的要求是（设B与墙壁的摩擦系数为2）：,由(7)、(8)式得,所以,再讨论圆柱体A与地面的接触点，不发生滑动的要求是（设A与地面的摩擦系数为1）：,由图2可见,45,由以上三式及10.20可得：,只有满足(16)式，圆柱体A才不会在地面滑动.,最后讨论两个圆柱体的接触点，不发生滑动的要求是（设A与B的摩擦系数为3）：,46,由(14)、(15)、(17)式及30.30可得：,显然r的上限为R，结合(16)、(18)式可得,
