数形结合发现不同知识框架形和数的密切关系，在古代就被人们注意到了．古希腊人发现的形数就是非常有趣的例子．最初的数和最简的图相对应．1 和·(点)2 和(线：两点连成一条直线)3 和(平面：三点确定一个平面)4 和(立体：不在同一平面上的四个点构成一个四面体)这是古希腊人的观点，他们说一切几何图形都是由数产生的．例题精讲【例1】 我国在春秋战国时代就有了“洛图”(见下图)．图中也是用“圆点”表示数，而且还区分了偶数和奇数，偶数用实心点表示，奇数用空心点表示．你能把这张图用自然数写出来吗?【例2】 古希腊数学家毕达哥拉斯发现了“形数”的奥秘．比如他把l，3，6，10，15，…叫做三角形数．因为用圆点按这些数可以堆垒成三角形，见下图．请写出第100个三角形数例3】 三角形数的奇偶性是很有规律的，1，3，6，10，15，2l，28，36，…奇、奇、偶、偶、奇、奇、偶、偶……想一想，这是为什么?【例4】 毕达哥拉斯还发现了四角形数，见下图．因为用圆点按四角形数可以堆垒成正方形，因此它们最受毕达哥拉斯及其弟子推崇．第25个四角形数是多少？【例5】 第8个三角形数恰是第6个四角形数，因为你还能试着找到一个这样的例子吗?【例6】 类似地，还有四面体数见下图．第七个四面体数是多少？【例7】 五面体数，见下图．第五个五面体数是多少？【例8】 按不同的方法对图中的点进行数数与计数，可以得出一系列等式，进而可猜想到一个重要的公式．由此可以使人体会到数与形之间的耐人导味的微妙关系．方法l：先算空心点，再算实心点：．方法2：把点图看作一个整体来算．因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：用上述同样的方法推导一下接下去的两个图课堂检测【随练1】 请你试着画一画五角形数和六角形数的图形．并试着把第，n个五(六)角形数拆成以1为首页、有n项的等差数列之和的形式．【随练2】 按不同的方法对下图中的点进行数数与计数，得出一系列等式，进而猜想出一个公式来，从中体会数与形之间的微妙关系．如：方法l：先算空心点，再算实心点，得：方法2：把点图看成一个整体来算，得：因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：请你照此继续做下去．【随练3】 模仿，用不同的方法分别对下两图中的点进行数数与计数，先得出一系列等式，进而猜想出一个重要的公式．家庭作业【作业1】 第25个三角形数是几?【作业2】 第50个三角形数是几?【作业3】 第1000个三角形数是几?【作业4】 观察下列图形，你能发现什么?【作业5】 第99个与第100个三角形数的和等于多少?【作业6】 每一个四角形数(或叫正方形数)(除1外)都能拆成两个三角形数吗?比如，100是哪两个三角形数的和?【作业7】 写出前10个四面体数．【作业8】 写出前10个五面体数．。
