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1、专题2 函数概念与基本初等函数 第1节 函数的概念及其表示 600分基础 考点&考法 700分综合 考点&考法 600分基础 考点&考法 v考点8 函数的定义域、值域及其表示 v考点9 分段函数及其应用 返回 考点8 函数的定义域、值域及其表示 v考法1 求函数的解析式 v考法2 求函数的定义域 v考法3 求函数的值域 返回 考点8 函数的定义域、值域及其表示 1函数的有关概念 函数有三要素：定义域、值域和对应法则即在函数yf(x)，xA中，x叫做 自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的 集合f(x)|xA叫做值域 函数的值域由定义域和对应法则f唯一确定，因此
2、，定义域和对应法则都相同 的函数才是相等函数(同一函数)函数的对应法则是否相同与自变量具体的字母 x，t等无关，只要自变量的任一取值相同时函数值相同即是相等函数应注意的 是，对应法则施加的对象与解析式中表述的对象一致时才可以正确地施加法则 具体见考法1. 2函数的三种表示法 解析法、列表法、图象法 考点8 函数的定义域、值域及其表示 考点8 函数的定义域、值域及其表示 考法1 求函数的解析式 求函数解析式的实质是用函数对应法则施加的对象表示对 应法则即对于函数f(x)x，左端是对x施加法则，右端是关于 x的解析式，满足函数解析式实质；但对于f(x1)x22x，左 端是对x1施加法则，右端是关于
3、x的解析式，此时应通过换元 或配凑等方法求函数解析式 方法1：待定系数法 方法2：凑配法 方法3：换元法 方法4：特值思想 【易错点击】在求解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问 题求出解析式后要标注x的取值范围 返回 考法1 求函数的解析式 方法1：待定系数法 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数、对数函数 等形式已知的函数)，可以先设函数的解析式即若是一次函数 ，可以设为yaxb(a，b待定)；若是二次函数，可以设为y ax2bxc(a，b，c待定)再根据已知条件(图象上的点、函数 值等)代入求得系数的值，从而得到解析式 返回 考法1 求函数的解析式 返回 考法1 求函数的解析
4、式 返回 方法2：凑配法 若已知f g(x)F(x)求f(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式 ，然后以x替代g(x)，即得f(x)的解析式常见的配凑形式有: f(xa)x22axb(xa)2ba2， ， 等 考法1 求函数的解析式 方法3：换元法 已知复合函数f g(x)求f(x)可令tg(x)，由此解出x的表达式( 用t表示x)，将其代入fg(x)中得f(t)，最后再把t换成x得到f(x)的 解析式此时要注意自变量的取值范围，即t的取值范围 返回 考法1 求函数的解析式 返回 考法1 求函数的解析式 方法4：特值思想 (1)解方程组法：已知f(x)与f ( ) (或f(x)满足的等
5、式时，可令x为 1x(或x)，得到f(x)与f ( )(或f(x)满足的另一个等式，由此构成方程 组，通过消元法求得f(x)的解析式具体见例2(3) (2)赋值法：对于抽象函数f(x)，如果满足条件中“对一切实数成立” ，那么对于特殊值仍然成立，此时可以用赋值法求解析式如f(x)满足 f(0)1，且对任意x，yR都有f(xy1)f(x)f(y)f(y)x2，求f(x) 时可以对x，y赋予一些特殊值，如令xy0，则f(1)f 2(0)f(0)0 22；令y0，则f(1)f(0)f(x)f(0)x2，故f(x)x1.常见的赋 值为0，1，1，x与 ，x与 - 等 返回 考法2 求函数的定义域 函数
6、的定义域就是使函数解析式有意义的所有自变量组成 的集合，应根据具体情况列不等式(组)，求得解集求定义域一 般有两种类型： 类型1 已知函数解析式求定义域 类型2 抽象函数的定义域 返回 考法2 求函数的定义域 函数的定义域就是使函数解析式有意义的所有自变量组成 的集合，应根据具体情况列不等式(组)，求得解集求定义域一 般有两种类型： 类型1 已知函数解析式求定义域 类型2 抽象函数的定义域 返回 注意 (1)函数f g(x)的定义域指的还是x的取值范围，而不是g(x)的 取值范围 (2)求函数定义域时，对于解析式先不要化简 (3)求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式 考法2 求函数的定
7、义域 类型1 已知函数解析式求定义域 已知函数的具体解析式，首先要明确掌握有关函数的定义域，其次，根据函数的 具体形式求解，即 (1) f(x)由一些基本初等函数通过四则运算而成，则其定义域为各基本初等函数的定 义域的交集 (2)(常见考查形式)f(x)gh(x)是由一些基本初等函数复合而成，则求函数定义域时 应注意内层函数的值域为外层函数的定义域的子集，从外向内层层计算先由外 层函数g(t)的定义域为D，得到h(x)D，再结合h(x)自身自变量满足的取值范围 两者取交集即可 此外，由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束 返回 考法2 求函数的定义域 返回 解析 由(log2x)2
8、-10,得log2x1或log2x0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k0)在公共定义域内与y f(x)， 单调性相反； 函数yf(x)(f(x)0)在公共定义域内与 单调性相同； 奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间 上单调性相反 考点10 函数的单调性和最值 考点10 函数的单调性和最值 考法1 判断函数的单调性和求单调区间 1给定函数解析式判断函数单调性 主要应用以下几点： (1)利用函数的单调性规则判断首先应掌握基本初等函数的单调性以及复 合函数单调性的规则“同增异减”，将所给函数分为基本初等函数的和、差或 复合函数 对于复合函数，首先将函数fg(
9、x)分解成f(x)和g(x)，讨论(判断)这两 个函数的单调性，最后根据复合函数的规则进行判断 对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各基本初等函数的增减 性以及“增函数增函数增函数，增函数减函数增函数，减函数减函 数减函数，减函数增函数减函数”性质判断即可 返回 考法1 判断函数的单调性和求单调区间 返回 1. 给定函数解析式判断函数单调性 (2)利用函数图象(平移)进行判断例如，对于函数f(x) 1，先判断 函数g(x) 1的单调性，再根据“左加右减”的原则相应平移g(x) 1 的单调区间，从而得出函数f(x) 1的单调区间利用此方法的关键是 注意左右平移改变函数的单调区间，上下平移不
10、影响函数的单调区间 除此之外，如果函数图象易得，可根据图象判断单调性利用导数判断 单调性也是重要方法之一，具体见专题3考点21. 考法1 判断函数的单调性和求单调区间 返回 考法1 判断函数的单调性和求单调区间 返回 2求函数的单调区间 此类问题一般是求复合函数的单调区间，此时应充分注意定义域的作用 因此， a首先应确定函数的定义域，将函数fg(x)分解成简单函数f(x)和g(x) b根据所求的是增区间还是减区间以及外层函数f(x)的单调性，确定需 求的是内层函数g(x)的单调增区间还是单调减区间，将问题转化为求简单函数 g(x)(此函数一般常见函数)的单调区间，继续求解即可 c特别需要注意的
11、是，求出g(x)的单调区间后，一定与函数fg(x)的定 义域取交集 考法2 函数的最值与利用函数单调性求参数的取值范围 返回 1函数的最值问题 在求函数f(x)的最大值时，解题的目标应为“确定给定区间上的一个函数值M， 使得在给定区间上f(x)M”，即解题过程中要瞄准“”这一目标；同理，求函数 f(x)的最小值时，解题过程中要瞄准“”这一目标具体思路如下： (1)函数的最大(小)值，实际上是函数图象的最高(低)点的纵坐标因此，当函数 图象易得时，可以根据函数图象直观求出函数的最值 (2)利用函数的单调性求最值时，注意函数的单调性对函数最值的影响即对于 定义在m，n上的函数f(x)，若f(x)单
12、调递增，则f(x)的最大值为f(n)，最小值为f(m)；若 f(x)单调递减，则f(x)的最大值为f(m)，最小值为f(n) (3)函数的最值与函数的值域有着密切的联系事实上，若在函数的值域中存在 最大数(最小数)，则这个数就是函数的最大值(最小值)，因此可借助函数值域的求法确 定最值 考法2 函数的最值与利用函数单调性求参数的取值范围 返回 2恒成立问题与存在性问题 (1)解决恒成立问题的关键是将其进行等价转化，使之转化为函数的最值问 题，或者区间上的最值问题，使问题得到解决 具体转化思路为：若不等式f(x)A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上 f(x)minA；若不等式f(x)A；若在区
13、间D上存在实数x使不 等式f(x)0或f(x)0的解集；当yf(x)的图象在x轴下方时，函数值小于0，相应图 象上的点的横坐标的集合为不等式f(x)g(x)或f(x)g(x)的解集；当f(x)的图象在g(x)的图象的 下方时，此时自变量x的取值范围便是不等式f(x)0)，则二次函数在闭区间m， n上的最大值、最小值有如下的分布情况： 考法2 二次函数的性质 返回 对于开口向下的情况，讨论类似其实质是：无论开口向上还是向 下，都有： 二次函数在闭区间上一定存在最小值和最大值，它们只能在区间 的端点或二次函数图象的顶点处取得(若对称轴不在给定区域内则只考虑 端点)，可分别求出函数值再通过比较大小确
14、定最值 【注意】研究二次函数的性质要注意二次项系数 a的正负及对称轴的位置，这两点不应被忽视求最值时，也可考虑 先用导数法确定单调性或根据极值与最值关系求解 考法2 二次函数的性质 返回 考法2 二次函数的性质 返回 考点14 幂函数 v考法3 幂函数的图象和性质 返回 考点14 幂函数 考点14 幂函数 3幂函数的性质 考法3 幂函数的图象和性质 1判断幂函数的图象 在考查幂函数yx的图象时，常依据下面的规律： (1)所有的幂函数在(0，)上都有定义，并且图象都过点(1，1)； (2)如果0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间0，)上为 增函数； (3)如果1或00且a1) 在xlogaN中
15、，a叫做对数的底数，N叫做真数 (2)几种常见对数 对对数形式特点记记法 一般对对数底数为为a(a0且a1)logaN 常用对对数底数为为10lg N 自然对对数底数为为eln N 考点16 对数函数图象与性质的应用 考点16 对数函数图象与性质的应用 考法3 对数函数图象的应用 返回 考法3 对数函数图象的应用 返回 考法4 对数函数性质的应用 1比较对数式的大小 (1)当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较 若a1, f(x)0，g(x)0，则f(x)g(x)0log af(x)log ag(x)； 若00，则f(x)g(x)0log af(x)b1，当f(x)1时，logbf(x)logaf(x)；当0log af(x)；当01b0，当f(x)1时，log af(x)0log bf(x)；当00且a1)的复合函数的值域的求解步骤为： 分解成yat，tf(x)两个函数； 求f(x)的定义域； 求t的取值范围； 利用yat的单调性求解 【注意】 解决与对数有关的问题时:(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数 底数的取值范围 返回 700分综合 考点&考法 v考点17 指数、对数函数综合问题 返回 考点17 指数、对数函数综合问题 v考法5 指数、对数函数关系(反函数)的应用 v考法6 指数、对数函数的综合应用
